人教版高中数学必修22.1.3空间中直线与平面之间的位置关系PPT课件

2.1.4《空间中平面与平面之间 的位置关系》 研探新知: 提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢? 观察思考: （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左 右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）如图，围成长方体AC’的六个面， 两两之间的位置关系有几种？ 在问题（1）中，通过观察可以发现，两本书可 以平行，也可以是相交，注意平面是无限延展的。 在问题（2）中上下面，左右面，前后面是平行 的，相邻的两个面是相交的，所以位置关系有平 行与相交两种。  两个平面之间的关系有且只有两种： （1）两个平面平行――没有公共点； （2）两个平面相交――有一条公共直线。 想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画? 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行 图1 图2 ×√ 图形 文字语言(读法) 符号语言 小结：空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线 两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β 例2：已知a ∥β， 则直线a和直线b的位置关系如何？ a bb 1.直线与直线，直线与平面，平面与平面之间 没有公共点就平行，平行就没有公共点，这句 话对吗？为什么？ 2.直线与直线，直线与平面，平面与平面之间有 两个公共点时，它们的位置关系如何？ 3.如果平面与平面有三个公共点时位置 关系如何？ 练习巩固： 1.如果三个平面两两相交，那么它们的 交线有多少条？交线有什么位置关系？ 画出图形表示你的结论。 答:有可能1条，也有可能3条交线。 （1） （2） b α β γ a l （3） 相交于一条交线 三条交线 三条交线 2.切割长方体 • 一个长方体切一刀可以分成多少块 ？ • 一个长方体切两刀可以分成多少块 ？ A B D C A′ D′ B′ 2 3或4 课堂讨论 3.不妨再思考一题？ 1)、一个平面把空间分为几部分？ 2)、二个平面把空间分为几部分? 2 3或4 3. 3个平面把空间分成几部分？ 练习巩固： （2）（1） （3） （4） （5） 4 6 6 7 8 图形 文字语言(读法) 符号语言 A a A a 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 （1）空间中点与线、点与面的位置关系 归纳总结 图形 文字语言(读法) 符号语言 a∥b （2）空间中线与线的位置关系 两直线不共面且无 公共点两直线异面 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 两直线共面且无公 共点两直线平行 a、b异面 aIb=Ab a A b a b a 图形 文字语言(读法) 符号语言 a A a a∥ （3）空间中线与面的位置关系 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线与平面无公共点 直线与平面平行 a a a a 图形 文字语言(读法) 符号语言 （4）空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线 两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β • 截面问题 绿色通道 新课导入 2.1.3 空间中直线与平面之间的 位置关系 教学目标 知识与能力 了解空间中直线与平面的位置关系。 培养学生的空间想象能力。 过程与方法 情感态度与价值观 学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理 解、掌握。 让学生感受到掌握空间中直线与平面的关系的 必要性，提高学生的学习兴趣。 教学重难点 重点 难点 空间直线与平面之间的位置关系。 用图形表达直线与平面的位置关系。 （1）一支笔所在的直线与一个作业本所在 的平面，可能有哪几种位置关系？ 思 考 （2）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，直线AB与 面AB'，与面AD'，与面A'C'各是什么位置关系？ （3）空间中直线与平面的位置关系有哪些？ 靠什么来划分呢？ ①直线在平面内---有无数个公共点； ②直线与平面相交---有且只有一个公共点； ③直线与平面平行---没有公共点。 直线与平面的位置关系只有三种： （1）直线在平面内 （2）直线与平面相交 （3）直线与平面平行 直线在平面外 直线和平面相交或平行的情况统称为直线 在平面外。 判断直线与平面的位置关系关键在于—判断 直线与平面的交点个数。 图形表示 α a a α a α 符号表示 a a∩＝A a∥ 下面画法是错误的： a α α a α a 直线画应在面内 位置 关系 a在α内 公共点 有无数个公 共点 有且仅一个 公共点 没有公共点 符号表示 a a∩＝A a∥ 图形 表示 直线与位置平面的关系 a与α相交 a与α平行 例4 给出下列四个命题： (1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。 (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一 条直线都平行。 (3) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。 (4) 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一 条直线都没有公共点 。 其中正确命题的个数共有 __个。1 课堂小结 空间中直线与平面的三种位置关系： 直线在平面内——有无数个公共点 直线在平面外 相交——有且只有一个公共点 平行——没有公共点 α a a α a α a a∩＝A a∥ 练习答案 B 随堂练习 1. 判断正误 ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α( ) l α × ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一 条直线都平行( ) α l b c × ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行( ) α l b × 如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面 平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ）√ ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条 直线都没有公共点( )√ 2填空 ①如果一条直线和一个平面_____________，那么我 们就说这条直线和这个平面平行。 ②直线a在平面α外，是指直线a和平面α_______或 ________。 ③直线与平面的位置关系按三种分为_____或 ________或 ________________。 按两种分为_______________或____________。 没有公共点 相交 平行 相交 平行 直线在平面外直线在平面内 直线在平面外 作业 优化设计2.1.3： 课前预习， 自我测评， 随堂训练. b 3、下图是一个长方体，则B´B所在的直线与D´D所在的直线 的位置关系是 ，则A´A所在的直线与C´D´所在的直线 所成的角是 度；若∠BA´B´=30º, 则A´B所在的直线与 D´D所在的直线所成的夹角是 度。 一、课前练习 1、空间中两条直线的位置关系有 、 、 。 2、相交直线的特点是① 共面；② 有且只有一个公共点，则 平行直线的特点是：① ② ； 异面直线的特点是：① ② 。 A B CD A´ B´ C´D´ 30º 相交 平行 异面 共面 没有公共点 异面 没有公共点 平行 90 60 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义: 相交直线 平行直线 异面直线 空间两直线的位置关系 上节回顾： 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 异面直线的求法: 一作(找)二证三求 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补．等角定理： 异面直线的画法 用平面来衬托 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 A B G F H E D C 上节 回顾 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又  BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45oo O 连接HA、AF， 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o (2)连接FH， 所以FO与BD所成的夹角是30o ∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 ∵HD EA，EA FB ∴HD FB∥ = ∥ = ∥ = 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 4、探究性练习 如下图所示，在长方体ABCD-A´B´C´D´中， （1）A´B所在的直线与平面A´A B B´有 个公共点； （3）A´B所在的直线与平面C´CDD´有 个公共点； CD A´ B´ C´D´ A B （2） A´B所在的直线与平面A´A D D´有 个公共点； A´B所在的直线与平面B´B C C´有 个公共点； A´B所在的直线与平面A´B´C´D´有 个公共点； A´B所在的直线与平面ABCD有 个公共点； 无数 一 一 一 一 零 ③直线与平面平行——没有公共点； 1、交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点（交点）； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； α 2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置 关系? a a ① α ③ 二、新课 a α ② 错误画法： α a α ②① a a α ③ 3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。 ①直线a在平面α内，记作a α； ②直线a与平面α相交于A点，记作a∩α=A； ③直线a与平面α平行，记作a∥α； ④若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都 没有公共点；( ) ②若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都 平行；( ) 4、判断正误 ①若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L∥α； ( ) ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一 条也与这个平面平行；( ) l α α l b c α l b ⊙如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行， 那么另一条直线也与这个平面平行；（ ） × × √ √ × 三、随堂练习 1、若直线a不平行于平面α ，且a α， 则下列结论成立的是（ ）： (A)α内的所有直线与a异面 (B)α内不存在与a平行的直线； (C)α内存在唯一的直线与a平行；(D)α内的直线与a都相交； 2、判断题： （1）a∥α，b α，则a∥b；（ ） （2）a α，则a∥α或a和α 相交；（ ） （3）a∩α=A， a α； （ ） （4）若a α，b α，则a、b无公共点。 （ ） B × √ √ × aα b α b a b a α c 四、小结： 1、空间中直线与平面的三种位置关系： 直线在平面内——有无数个公共点（交点）； 直线在平面外 相交——有且只有一个公共点； 平行——没有公共点； 2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系： 3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系： ① a α ② a∩α=A ③ a∥α αα a ① ② a α ③ a 第一、二层的底面αα和和ββ无 论怎样延伸都没有公共点； 前、后两面房顶γγ和和δδ则 有一条交线AB． 二层楼房示意图 探究平面与平面之间的位置关系 一、两个平面的位置关系一、两个平面的位置关系 （1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说 这两个平面互相平行． （2）两个平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于 一条过该公共点的直线，我们就说这两个平 面相交 ． （3）两个平面的位置关系只有两种 ①两个平面平行——没有公共点；记为 ②两个平面相交——有一条公共直线,记为 两个平面的位置关系 两平面平行 没有公共点 有一条公共直线 两平面相交 α∥β α∩β=a 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1， 而不应画成图2那样． （4）两个平面平行的画法 图1 图2 五、小测： （一）填空。 1、如果一条直线和一个平面 ，那么我们就说这条 直线和这个平面平行。 2、直线a在平面α外，是指直线a和平面α 或 。 3、直线与平面的位置关系按三种分为 或 或 。 按两种分为 或 。 （二）判断正误。 1、直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；（ ） 2、若直线a在平面α外，则a ∥α； （ ） 3、若直线a ∥b，直线b α，则a ∥α； （ ） 4、若直线a ∥b，b α，那么直线a就平行于平面α 内的无数条直线； （ ） （三）画出满足下列条件的图形。 a α，A∈α，A∈a，b∩α=A 没有公共点 相交 平行 相交 平行 直线在平面内 直线在平面内 直线在平面外 × × × √ A 1.练习。P49-p50 1.画出满足下列条件的图形。 六、作业: a∥α，b∩α=A，a∩b=B 2.导与练 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 思考?(一) 线段A′B所在直线与长方 体ABCD-A′B′C′D′ 的六个面所在平面有几种位置 关系? A B CD A′ B′ C′D′ （1）直线在平面内-----有无数个公共点 如图： （2）直线在平面外： ①直线a和面α相交 ： 如图： ②直线a和面α平行 ： 如图： .A a a a a a a 直线与平面的位置关系有且只有三种: 尝 试 练 习 例1、判断下列命题的正确 （1）若直线l上有无数个点不在平面 内， 则 l// 。（ ） （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条 直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么 另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ） X ∨ X X 例2、若直线a不平行平面 ，且 则下列结论成立的是（ ） （A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交 B 反 思 与 延 伸 • 问题1、平行于同一平面的两条直线一定是 两条平行直线吗？ • 问题2、两条平行线中的一条平行一个平面， 则另一条也一定平行于这个平面吗？ • 问题3、无公共点的两条直线一定是平行直 线吗？ A B CD A′ B′ C′D′ 平面与平面之间的位置关系 • 思考? A B D C A′ D′ C′ B′ 围成长方体的 六个面, 两两之间的位 置关系 有几种? 复习：公理3 ｝｛P∈a P∈b a∩b=l P∈l 若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。 思考：两平面有哪几种位置关系?如何分类？ 图形 文字语言(读法) 符号语言 小结：空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线 两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β 例2：已知a ∥β， 则直线a和直线b的位置关系如何？ a bb 图形 文字语言(读法) 符号语言 A a A a 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 （1）空间中点与线、点与面的位置关系 归纳总结 图形 文字语言(读法) 符号语言 a∥b （2）空间中线与线的位置关系 两直线不共面且无 公共点两直线异面 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 两直线共面且无公 共点两直线平行 a、b异面 aIb=Ab a A b a b a 图形 文字语言(读法) 符号语言 a A a a∥ （3）空间中线与面的位置关系 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线与平面无公共点 直线与平面平行 a a a a 图形 文字语言(读法) 符号语言 （4）空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线 两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β 小结： 本节课我们学了： 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 作业:课本P56第4题 空间中直线 与平面之间 的位置关系 1. 空间两直线有哪几种位置关系? 相交、平行、异面 2. 空间直线和平面有哪几种位置关系？ 有哪些相关理论？ 引入 1.从直线和平面的公共点个数来分析,有 哪几种可能？ 2.如果一条直线和一个平面分别有两个公 共点,仅有一个公共点,没有公共点,那么这 条直线和平面的图形位置关系如何? 讨论 3. 怎样定义直线和平面相交、平行？ 一条直线和一个平面有且只有一个公 共点，叫做直线与平面相交，这个公共点 叫做直线与平面的交点. 一条直线与一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行. 4. 如何用图形、符号语言表示直线和 平面的位置关系？ 相交 平行 β α P 5. 过平面外一点可作多少条直线和这 个平面平行？相交？ 6. 过直线外一点可作多少个平面和这 条直线平行？相交？ 7. 若 ,则直线 与平面α内的直 线的位置关系如何？ 8. 若两条平行直线中有一条平行于一 个平面,则另一条也平行于这个平面吗？ 下列命题正确的个数是（ ）B 练习 1. 直线与平面的位置关系； 2. 会用图形、符号语言表示直 线和平面的位置关系. 小结 问题提出 1.空间点与直线，点与平面分别有 哪几种位置关系？空间两直线有哪几种 位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？ 探究（一）直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本 所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其 公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方 体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平 面有几种位置关系？ B A DC A'B' D'C' 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面 有三种位置关系，即直线在平面内，直线与 平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的 基本特征是什么 ? （1）直线在平面内---有无数个公共点 （2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符 号语言描述这三种位置关系？ α a α a .P α a 思考6:直线与平面相交或平行的情况统 称为直线在平面外. 用符号语言怎样表 述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面 平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α 内的直线的位置关系如何？ 思考8:若两条平行直线中有一条平行于 一个平面，那么另一条也平行于这个平 面吗？ 例1.判断下列命题的正确 （1）若直线 l上有无数个点不在平面 内,则 l // 。（ ） （2）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内 的任意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行.（ ） （4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内 的任意一条直线都没有公共点。（ ） X ∨ X X 例题讲练: 例2、若直线a不平行平面 ，且 则下列结论成立的是（ ） （A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交 B 探究（一）平面与平面之间的位置关系 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、 左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几 种变化？ 思考2:如图，围成 长方体ABCD- A′B′C′D′的六 个面，两两之间的 位置关系有几种？ C′ A′ B′ D′ A B CD 思考3：由上面的观察和分析可知，两 个平面的位置关系只有两种，即两个平 面平行，两个平面相交.这两种位置关 系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置， 如何用符号语言描述这两种位置关系？ α β 思考5:已知平面α，β和直线a，b，且 α∥β, ,则直线a与平面 β的位置关系如何？直线a与直线b的位 置关系如何？ α β a b • 一个长方体切一刀最多可以分成多少块？ • 一个长方体切两刀最多可以分成多少块？ • 一个长方体切三刀最多可以分成多少块？ 2 4 8 例题讲练: A B CD A′ B′ C′D′ 例2 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8，M，N，P分别是A′B′，AD， B B′的中点. （1）画出过点M，N，P的平面与平面 ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线； （2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长. A′ B′ C′D′ A B CD M N PN A′ B′ C′D′ A B CD M N P N E Q F 作业: 练习. 习题2.1A组：4.