人教版高中数学必修41.4.2正弦函数余弦函数的性质ppt课件

正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数的图象 探究1:周期性 余弦函数的图象 观察发现：自变量x每经过2π个单位， 函数值y不断重复出现 1.周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在 一个非零常数T，使得当x取定义域内的每 一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数 的周期。 注：周期T并不一定唯一 2.正弦函数、余弦函数的性质（重要公式） 例：求下列函数的周期：(公式法) 例：求下列函数的周期：（定义法） 1)：y=3cosx x ∈R 解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。 2) y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需 z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=2π，即 变量z只要并且至少要增加到z+2π，函数 y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而 z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π 3) x∈R 解：令 ，那么x∈R必须并且只要 z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由 于 。所以自变量z只 要并且至少要增加到z+4π，函数值才能重复取 得，即T=4π 正弦函数的图象 探究2：奇偶性 余弦函数的图象 问题：你能从它们的图象看出它们有 何奇偶性吗？（从图像对称性分析） 复习回顾 奇函数—对于定义域内任意一个自变量 x,都有f(-x)=-f(x) 奇函数的图像关于原点对称 偶函数—对于定义域内任意一个自变量x, 都有f(-x)=f(x) 偶函数的图像关于y轴对称 正弦函数的图象 余弦函数的图象 y=sinx (xR) 图象关于原点对称 y=cosx (xR) 图象关于y轴对称 函数的奇偶性是如何定义的？你能 从这个角度证明正弦函数和余弦函 数的奇偶性吗？ （定义法） 奇偶性 为奇函数 为偶函数 正弦函数的图象 探究3：对称性 余弦函数的图象 问题：你能从它们的图象看出它们的 对称轴和对称中心分别是什么吗？ 正弦函数对称性 对称轴： 对称中心： 余弦函数对称性 对称轴： 对称中心： 例 题 • 求 函数的对称轴和对称中心 解（1）令 则 的对称轴为 解得：对称轴为 的对称中心为 对称中心为 整体换元整体换元 1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数. 探究4.正弦余弦函数的单调性 函数 若在指定区间任取 ，且 ，都有： 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 观察正余弦函数的图象，探究其单调性 2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数. 增函数：上升 减函数：下降 正弦函数的单调性及单调区间 当 在区间… …上时， 曲线逐渐上升， 其值由 增大到 。 当 在区间 上时， 曲线逐渐下降， 其值由 减小到 。 正弦函数的单调性 正弦函数的增区间为： 其值从－1增大到1； 正弦函数的减区间为： 其值从1减小到－1。 余弦函数的单调性及单调区间 当 在区间 上时， 曲线逐渐上升， 其值由 增大到 。 曲线逐渐下降， 其值由 减小到 。 当 在区间 上时， 探究：余弦函数的单调性 余弦函数的 其值从1减小到－1。 减区间为： 其值从－1增大到1 ； 增区间为： 1.求函数的单调增区间 y=sinzy=sinz的增区间的增区间 原函数的增区间原函数的增区间 整体换元整体换元 变式：求函数的单调增区间 √ 2.求函数的单调增区间 增增 减减 减减 增增 变式练习 整体换元整体换元 3.求函数的单调增区间 增增 为了防止出错，以及计算方便，遇到为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来负号要提出来 增增 增增 减减 4.求函数的单调增区间 增增 为了防止出错，以及计算方便，为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来遇到负号要提出来 增增 增增 增增 解： 应 用 举 例 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： 即 探究5：最大值和最小值 正弦函数的最大值和最小值 最大值：当 时，有最大值 最小值：当 时，有最小值 余弦函数的最大值和最小值 最大值：当 时，有最大值 最小值：当 时，有最小值 例题 求使函数 取得最大值、最小值的 自变量的集合，并写出最大值、最小值。 化未知为已知 分析：令 则 整体换元整体换元 必须 使原函数取得最大值的集合是 必须 使原函数取得最小值的集合是 1.1.求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值 整体换元整体换元 因为有负号， 所以结论要 相反 的最大值的最大值 最大最大 最小最小 练习：求函数练习：求函数 练习： 下列函数有最大值、最小值吗？如果有， 请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么？ 已知三角函数值求角 • 已知 求 已知三角函数值求角 • 已知 求 的范围 已知三角函数值求角 练习：已知 求 已知三角函数值求角 • 已知 求 的范围。 小 结 1.求单调区间 （1）化未知为已知 （2）负号：sin提出来；cos消去 2.已知三角函数值，求角 （1）在一个区间里找两个代表 （2）分别加上2kπ 函 数 性 质 y= sinx (k∈z) y= cosx (k∈z) 定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性 R R [-1,1] [-1,1] x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 周期为T=2π 奇函数 偶函数 在x∈[2kπ-π， 2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ ， 2kπ+π ] 上都是减函数 。 x= 2kπ+  时 ymax=1 x=2kπ-   时 ymin=- 1 π 2 π 2 在x∈[2kπ- , 2kπ+ ] 上都是增函数 在x∈[2kπ+  ,2kπ+ ] 上都是减函数. π 2 π 2 π 2 3π 2 作 业 • 求 的单调区间 • 解不等式 P46 2、 4 、5题 课 后 作 业