1、平面向量的实际背景及基本概念
2、平面向量的线性运算
3、平面向量的的基本定理及坐标运算
4、平面向量的数量积
复习课
年龄，身高，长度，体积，质量
重力，浮力，位移，
A类
B类
一、向量的物理背景与概念
（1）、向量的物理背景
生活中咱们常常会遇到两种量，一种是只有大小
没有方向的量，例如长度、质量等等， 这种量叫
数量（物理学上称标量）;另一种量既有大小又有
方向，如速度，力等，这种量叫向量（物理学上
称矢量）。
（2）、向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量
二、向量的表示
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头
所指的方向表示向量的方向。
在书本上用加粗加黑的字体来表示向量，平时手
写体在小写字母上面加一个箭头，或用表示向量
的有向线段的起点和终点字母书写。
（1）、向量的画法（用有向线段表示向量）
（2）、向量的书写
三、关于向量的一些概念
向量的大小就是向量所对应的有向线段的长度，也叫
向量的模，记做
向量无法比较大小，但向量的模可以比较大小
长度为零的向量称为零向量，记做：
零向量的方向任意
长度为1个单位长度的向量叫做单位向量
（1）、向量的模（大小）
（2）、零向量（大小）
（3）、单位向量
方向相同或相反的向量叫共线向量或平行向量，零
向量与任意向量共线（平行）。两向量共线或平行
记做：
（4）、共线向量（平行向量）
（5）、相等向量
大小和方向都相同的向量叫相等向量
一、向量的加法
一、向量的加法
一、向量的加法
一、向量的加法
一、向量的加法
二、向量的减法
二、向量的减法
（1）、相反向量
通过我们上节课的学习知道了向量是有方向的数量，
那么相反向量指数量（长度，大小，模）相等而方向
相反的两个向量互称为相反向量。
二、向量的减法(本质还是加法)
三、向量的数乘运算（一个数与一个向量的乘法）
三、向量的共线定理
一、向量的加法
二、向量的减法
三、向量的数乘运算（一个数与一个向量的乘法）
四、向量共线定理
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压
力为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
G
F1
F2
四、思考
5.在物理中，力是一个向量，力的合成
就是向量的加法运算.力也可以分解，
任何一个大小不为零的力，都可以分解
成两个不同方向的分力之和.将这种力
的分解拓展到向量中来，就会形成一个
新的数学理论.
四、思考
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2
，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1
e2 2e2
B C
O
3e1 Ae1 D
3e1＋2e2
e1-2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共
点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB
上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平
行四边形？
M
N
O A
B
CP
思考3：在下列两图中，向量
不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 ？
O A
B
C
M
N
OA
B
C
M
N
思考4：在上图中，设 =e1， =e2，
=a，则向量 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？
O A
B
C
M
N
OA
B
C
M
N
思考5：若向量a与e1或e2共线，a还能用
λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a=0e1+λ2e2
思考6：若上述向量e1，e2，a都为定向量，
且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在
？是否唯一？
O A
B
C
M
N
OA
B
C
M
N
思考7：根据上述分析，平面内任一向
量a都可以由这个平面内两个不共线的
向量e1，e2表示出来，从而可形成一个
定理.你能完整地描述这个定理的内容
吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
则对于这一平面内的任意向量a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，
不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底. 那么同一平面内可
以作基底的向量有多少组？不同基底对
应向量a的表示式是否相同？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
则对于这一平面内的任意向量a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
[0°，180°]
思考1：不共线的向量有不同的方向，对
于两个非零向量a和b，作 a， b，
如图.为了反映这两个向量的位置关系，
称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量
的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ba
a
b
A
B
O
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则
称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直
的两个向量能否作为平面内所有向量的
一组基底？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向
量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量
a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、
j为基底，向量a如何表示？
B
a
iO
j
A
P
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴
上的坐标，上式叫做向量
的坐标表示.那么x、y的
几何意义如何？
a
i x
y
O
j x
y
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向
量 a，则 (x，y)，此时点A是坐
标是什么？
A a
i x
y
O
j
A(x,y)
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向
量－2.5e1＋3e2.
e1 e2
C
OA －2.5e1
B
3e2
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
2 4
5
2 ab
c d
－4 －2
－5
－2
x
y
O
a=(2,3)b=(-2,3)
c=(-2,-3) d=(2,-3)
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
=a， =b，E、M分别是AD、DC的中
点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为
基底分别表示向量 和 .
A
B
E D
CF
M
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加
法和数乘运算基础上的向量分解原理，
同时又是向量坐标表示的理论依据，是
一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置
关系的一个几何量，平行向量的夹角是
0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐
标的对应关系，它使得向量具有代数意
义.将向量的起点平移到坐标原点，则平
移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业：
课时作业49到52页.
已知 ，
你能得出 ， ，
的坐标吗？
向
量
坐
标
向量坐标的加减及数乘
向量坐标的数量积
向量坐标的模
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标。
y
xO
B(x2,y2)
A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),
则
AB= OB - OA
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
y
xO
B(x2,y2)
A(x1,y1)
你能在图中标出坐标为
的P点吗？
P
已知a=(x,y)和实数λ，那么
λ a= λ(x, y)
即
λa=(λx, λy)
• 这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的
相应坐标。
例2 已知a＝（2，1），b＝（－3，
4），求a+b，a－b，3a+4b
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、
B、C的坐标分别为（－2，1）、
（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、
B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，
3）、（3，4），求顶点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且
知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB
坐标。
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那
么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，
使
a= λb
这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
问题：共线向量如何用坐标来表
示呢？
消去λ后得
也就是说，a//b的等价表示是
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
练习：下列向量组中，能作为表示它
们所在平面内所有向量的基底，正确
的有（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y），
且 a//b ，求 y 的值。
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2
，5），判断A、B、C三点的位置关系。
A
B
C
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