必修四数学总复习
平面向量复习
概念
表示
综合
关系
运算
向量概念
线性运算
向量表示
数量积
平面向量知识复习注意要点
1
、平面向量的物理背景及含义
3
、平面向量运算的几何意义
4
、向量运算的代数符号体系
2
、向量的运算及运算性质
5
、向量的坐标运算
向量应用
数形结合思想、函数与方程思想
平面向量的基本概念
向量
：
既有大小又有方向的量
向量的模
(
向量的大小
);
向量的方向
特殊向量
：零向量 、单位向量
向量间的关系
:
平行向量
(
共线向量
)
：
判断方法
相等向量：
定义及判断方法
返回
平面向量的表示
几何表示法
:
(
用有向线段表示，与线段位置没有关系
)
等长且同向的有向线段表示的都是同一向量
代数表示法
:
(
分符号表示或坐标表示两种
)
(1)
向量
(2)
若
O(0, 0)
、
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
, y
2
)
则
=(x
1
, y
1
); =(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
).
例题
返回
平面向量的线性运算
向量加法
:
(1)
三角形法则
(
首尾相连
,
头起尾终
);
(2)
平行四边形法则
(
起点重合
,
头同尾异
).
向量减法：
向量加法的逆运算
(
注意三角形法则与加法的区别
)
实数与向量的积
：
线性运算的运算律
：
线性运算的坐标表示：
非零向量 与向量 共线
(
λ
存在且唯一
)
例题
返回
平面向量的数量积
数量积：
向量的夹角
数量积的几何意义：
一个向量的长度
(
模
)
与另一个向量在其上投影
(
模
×
夹角余弦
)
的乘积
向量数量积的运算律：
数量积的坐标运算：
数量积运算的重要性质
:
例题
返回
平面向量的解题应用
平面向量解决平面几何问题：
解题方法：
平面向量基本定理、向量坐标运算
平面向量在物理中的应用：
各种物理矢量的研究
(
如力的分解
;
速度合成
)
平面向量与相关数学知识的综合应用：
(1)
求角度
; (2)
求距离
; (3)
证垂直
;
(4)
证共线
(
或平行
); (5)
构建函数等
.
例题
返回
题例
1:
以下各种判断中正确的是
(1)
长度为
0
的向量都是零向量
; (2)
零向量的方向都是相同的
; (3)
单位向量的长度都相等
; (4)
单位向量的方向都是相同的
; (5)
任意向量与零向量都共线
; (6)
平行向量的方向都是相同的
; (7)
共线向量一定要在同一直线上作出
; (8)
模相等的两向量是相等向量
; (9)
向量的模是实数，模大的向量也大
; (10)
返回
(1)(3)(5)
返回
题例
2
: (1)
化简
(2)
已知菱形
OACB
的两邻边
,
其对角线交点为
D,
求
题例
3:
已知向量 不共线， 求证：
A
、
B
、
C
三点共线。
题例
4:
已知 ，若 与 平行
,
则
题例
5:
已知 ， 与 的夹角 为
30
o
,
求
题例
6:
已知
(1)
求 与 的夹角的余弦；
(2)
若向量 与 垂直
,
求
λ
的值
.
返回
题例
7:
设 ，则下列命 题中错误的是
A. B. C. D.
题例
8:
点
C
在线段
AB
上，且 ， 则
题例
9:
证明：一个平行四边形是菱形当 且仅当它的对角线互相垂直
题例
10:
已知
返回
概念
y=sinx
公式
图象变换
综合应用
y=cosx
y=tanx
任意角
弧度制
三角函数线
三角函数定义
三角函数复习要抓住的两条主线
1
、函数概念学习及公式变换
2
、函数图象、变换及性质应用
三角恒等变换
函数图象性质
数形结合思想、函数与方程思想
角的概念推广
返回
例题
任意角
：
正角、零角、负角
角是一个由顶点和两射线组成的几何图形；终边相对于始边的旋转方向产生了角的正负
终边相同的角
：
将角放入平面直角坐标系
角的始边与
x
轴非负半轴重合时终边也重合的角
所有与角
α
终边相同的角记为
2kπ+
α
（
k∈Z
）
象限角、轴线角
:
各象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示
例题
返回
弧度制与角度制
一弧度的角
：
1rad
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫一弧度的角
弧度制与角度制的互化
：
360°=2π
弧度；
π
弧度
=180°
；
1°=
；
1
弧度
=
弧度制下扇形的弧长及面积公式
:
弧长 ；面积
S=
任意角三角函数的定义
例题
返回
三角函数的基本关系式
（注意变形应用）
P(x,y)
y
x
O
1
1
以单位圆圆心为平面直角坐标系原点建系，设角
α
的终边交单位圆于点
P(x,y),
则
α
例题
返回
单位圆中的三角函数线
x
O
1
1
P
y
α
M
T
A
注
:
借助单位圆中的三角函数线
我们可以实现描点作图，同时还
能得出许多重要的三角函数性质
三角函数的诱导公式
例题
返回
公式一
：
2kπ+
α
α
（
k∈Z
）
公式二
：
π+
α
α
公式三
：
-
α
α
公式四
：
π-
α
α
公式五
：
-
α
α
公式六
：
+
α
α
口诀：奇变偶不变，符号看象限
公式作用：
化任意角三角函数求值为锐角三角函数求值
基本三角函数的图象与性质
例题
返回
正弦函数
y=sinx
的图象与性质
五点法作图
（思考怎样列表描点）
余弦函数
y=cosx
的图象与性质
五点法作图
正切函数
y=tanx
的图象与性质
思考该函数图象与正、余弦函数图象的区别
返回
三角函数的图象变换
函数 的图象
函数 的图象
函数 的图象
函数 的图象
例题
三角函数图象与性质解题应用
例题
返回
求定义域、值域、最值及相应的角
求周期
求单调区间、由单调性比较函数值大小
知角求值
(
用定义
)
、知值求值
解三角方程
(
知值求特殊角
)
、三角不等式
三角函数的图象
(
五点法
)
及图像变换
和、差、倍角公式及三角恒等变换
三角函数综合应用
三角恒等变换公式
例题
返回
余弦两角和差公式
：
cos(
α±β
)=
cos
α
cos
β
sin
α
sin
β
正弦两角和差公式
：
sin(
α±β
)=sin
α
cos
β
cos
α
sin
β
正切两角和差公式
：
tan(
α±β
)=
倍角公式
：
sin2
α
=2
sin
α
sin
β;
正弦函数
1
、定义域
2
、值域
3
、对称性
4
、奇偶性
5
、单调性
6
、最值
7
、周期
8
、图象
返回
余弦函数
1
、定义域
2
、值域
3
、对称性
4
、奇偶性
5
、单调性
6
、最值
7
、周期
8
、图象
返回
正切函数
1
、定义域
2
、值域
3
、对称性
4
、奇偶性
5
、单调性
6
、周期
7
、图象
返回
例
2
写出与 终边相同的角的集合
返回
例
1
判断下列各角分别是第几象限角
例
3
写出终边落在
x
轴上的角的集合
例
4
半径为
R
的扇形周长为
4R,
求该扇形
的面积
.
例
5
填写下表
角度
弧度
sinx
cosx
tanx
例
7
下列各三角函数值中取负值的是
返回
例
6
若角
α
的终边过点
P(2
，
3)
，则
sinα
=___; cosα
=___; tanα
=___.
例
8
化简或求值
例
10
求满足下列各条件的角的集合
返回
例
9
比较下列三角函数值的大小
例
12
化简
返回
例
11
已知
x
是第一象限角
,
指出下列各角的
终边位置，并将它们的三角函数值分
别用
sinx
、
cosx
、
tanx
写出
(1)
π
-x;(2)
π
+x;(3)2
π
-x.
返回
例
13
作出函数 的图象
,
并分别写出函数的周期、单调区间、
最值及取最值时的角。
五点法列表：
x
y
返回
例
14
函数 的图象可
由函数 的图象
怎样变换得到？
返回
例
16
化简或求值
例
15
已知向量
,
则
例
17
计算、化简、证明
返回
例
18
已知函数
(1)
求函数的最小正周期
(2)
求函数的最小值及相应角的集合
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