必修2第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积

教学目标： 1.熟记球的体积公式和表面积公式； 2.会用球的体积公式 和表面积公式 解决有关问题。 提出问题： 1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体 和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求 球的表面积与体积呢？ 2、球的大小是与球的半径有关，如何用球 半径来表示球的体积和面积？1．探究球的体积公式 回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几 何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果 截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一 定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公 式(见P32页)设球的体积为V,则有: 球的体积∴A OO. B2C2 BiCi A O 已知球的半径为R问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.定理:半径是R的球的体积2. 探究球的表面积公式 设球O的半径为R，我们把 球面任意分割为一些“小 球面片”，它们的面积分 别用 表示 以这些“小球面片”为底， 球心为顶点的“小锥体”的 体积和等于球的体积，这些 “小锥体”可近似地看成棱 锥，“小锥体”的底面积. 可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半 径R近似地等于小棱锥的高 因此，第i 个小棱锥的体积 当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底 面几乎是“平的”，于是球的体积: 又因为             ，且O O 可得: 又因为  所以: 所以球的表面积 :例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距 离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积. 解:设截面圆心为O',连结OA, 设球半径为R .则: 在               中，∴　　　　　　　　　　， 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个 面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ,求 球的表面积和体积。 解：作轴截面如图所示， 设球半径为R ,则:例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高 是14,求这个正四棱柱的表面积。 解：设球半径为R ,正四棱柱底 面边长为a,则作轴截面如图， 又 ∴例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的　， 　　　(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。 证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为 R,高为2R。.因为 所以, (2) 因 为 ，所以,完成P28练习1,2,3题 补充练习： 1．三个球的半径之比为 那么最大的球的 体积是其余两个球的体积和的      倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体 积比原来增加      倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个 大球，则大球半径是       ； 4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是    ， 内切球的体积是      ．5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切， 正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的 表面积之比． 答案： 1. 3   2. 7     3. 6    4.   　,5 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次 为 , , . ∴  三个球的表面积之比 是小结归纳 ： 1、球的表面积公式的推导及应用； 2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有 关计算　　 　“分割 求近似和 化为准确和 ”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限 思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分” 内容的一个应用； 3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握.作业布置： P28  习题1.3  A组第5题；   课外 P29  B组第 1题.