第一章 三角函数
例1 如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这一天6～14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
6 10 14
y T/℃
x
t/h
10
20
30
O
探究一：根据图象建立三角函数关系
解:(1)最大温差是20℃
(2)从6～14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的
半个周期的图象,由图可知
6 10 14
y T/℃
x
t/h
10
20
30
O
将x=6,y=10代入上式,解得
所求出的函数模型只能
近似刻画这天某个时段
温度变化,因此应当特别
注意自变量的变化范围所以
A=30-20=10A=30-20=10 b=20b=20
例2 画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.
x
y
-1
1
O
y=|sinx|
解
周期为π
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
正弦函数y=sinx的图象保留x轴上方部分，将x轴
下方部分翻折到x轴上方，得到y=|sinx|的图象
δφ
θ
φ-δ
太阳光
例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此
时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间
的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为
h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年
不被前面的楼房遮挡,两
楼的距离不应小于多少?
课件演示
探究二：建立三角函数模型求临界值
分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影
长h之间的有如下关系：h0=htan
h
CBA
根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物
体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.
考 虑
太 阳
直 射
南 回
归 线
解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬
度为-23°26′,依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,有
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当
于楼高两倍的间距
背景知识介绍背景知识介绍
太阳光
地心
北半球
南半球
M
(地球表面某地M处)
那么这三个量之间的
关系是:
太阳光直射南半球太阳光直射南半球
太阳光地心
例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象
叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在
涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.
下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
探究三：根据相关数据进行三角函数拟合
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函
数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全
条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距离
),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在
2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么
该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
课件演示
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角
坐标系中画出散点图
3 6 9 12 15 18 21 24O x
y
6
4
2
根据图象,可以考虑用函数
y=Asin(x+)+h刻画水深与题
意之间的对应关系.
A=2.5,h=5,T=12,=0
所以,港口的水深与时间的关系可用
近似描述.
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:0
0
11:0
0
水深 5.00
0
6.25
0
7.16
5 7.5 7.16
5
6.25
0
5.00
0
3.75
4
2.83
5
2.50
0
2.83
5
3.75
4
时刻 12:0
0
13:0
0
14:0
0
15:0
0
16:0
0
17:0
0
18:0
0
19:0
0
20:0
0
21:0
0
22:0
0
23:0
0
水深 5.00
0
6.25
0
7.16
5 7.5 7.16
5
6.25
0
5.00
0
3.75
4
2.83
5
2.50
0
2.83
5
3.75
4
由 得到港口在整点时水深的近似值:
(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进
港 .
由计算器可得
SHIFT sin-1
MODE MODE 2
0.2 = 0.20135792≈0.2014
A B C Dy=5.5
y
O x5 10 15
2
4
6
8
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或
在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以
在港口停留5小时左右.
O 2 4 6 8 10 x
y
8
6
4
2
P
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同
一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函
数图象有一个交点.
通过计算.在6时的水深约
为5米,此时货船的安全小
深约为4.3米.6.5时的水深
约为4.2米,此时货船的安全
小深约为4.1米;7时的小深
约为3.8米,而货船的安全小
深约为4米.因此为了安全,
货船最好在6.5时之前停止
卸货,将船驶向较深的水域.
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模
型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预
测其未来等方面都发挥十分重要的作用。
具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的
“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获
得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决
相应的实际问题。
课堂练习
课本74页练习1,3
解决实际问题的步聚:
实际问题
读
懂
问
题
抽
象
慨
括
数学建模
推
理
演
算
数学模型的解
还
原
说
明
实际问题的解
读懂概念丶字母
读出相关制约.
在抽象、简化、明确变量
和参数的基础上建立一个
明确的数学关系.
审题
关键
课堂小结:
小结
实际问题 函数模型
函数拟合
“散点图”
数据
解决
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