人教版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系课件ppt

第二节 直线与圆的位置关系 一、圆周角 定理 圆周角的度数等 于 O为圆心，A、B、 C为圆上任意三点， 则有∠ACB＝其所对弧的度 数的一半 ∠AOB 推 论 1 同弧(或等弧)上 的圆周角 O为圆心，A、B、C、D 为圆上任意四点，则有 ∠ACB＝∠ADB＝ 同圆或等圆中， 相等的圆周角所 对的弧 O为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点，且 ∠CAD＝∠ACB，则有 相 等 相等 ∠AOB 推 论 2 半圆(或直径)上的 圆周角等于                      O为圆心，A、B 、                                              C为圆上三点，                           且BC为圆的直 径，则有∠BAC＝ 90°的圆周角所对 的弦为                       O为圆心，A、B 、                           C为圆上三点，                                      且∠BAC＝90° ，则BC为圆的 90° 直径 90° 直径 二、圆的切线 判 定 定 理 过半径外端且 与这条半径           的直线 是圆的切线                                 O为圆心，A为圆                                 上一点，直线l经 过                                 点A且            OA ，与                                 ⊙O相交于点A， 则直线l是圆的一条切线，切点为A 垂直 垂直 性 质 定 理 圆的切线              经 过切点的半径                      O为圆心， 直                              线l与圆相切                           于点A，则l OA 垂直于 垂直于 切 线 长 定 理 从圆外一点引圆的 两条切线，切线长                        O为圆心，C为圆 ]                       外的一点，由C向                         圆作切线，分别 交圆于点A、B则有 相等 CA＝CB 三、弦切角定理及其推论 定 理 弦切角的度数等 于所夹弧的度数 的 AB是⊙O的切线， ∠BAC的度数等 于 的度数 一半 推 论 同弧(或等弧)上的弦切角            ，同弧(或等弧)上的弦切角 与圆周角                       AB是 ⊙O的                            切线，  ∠BAC的度数等于                            的度数 相等 相等 ∠ADC 四、圆中的比例线段 相 交 弦 定 理 圆的两条相交弦，被交点 分成两段的积 PA·PB＝PC·PD 相等 割 线 定 理 从圆外一点引圆的两条割线， 这点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积 PA·PB＝PC·PD 相等 切 割 线 定 理 从圆外一点引圆的一条割线 和一条切线，切线长是这点 到割线与圆的两个交点的线 段长的 PA·PB＝PC2 等比中项 五、圆内接四边形的性质定理和判定定理 性 质 定 理 圆内接四边形对角                              四边形 ABCD                                       内接于⊙O， A＋C＝π，B＋D＝π 互补 判 定 定 理 如果四边形的对 角 ，则此四 边形内接于圆 在四边形ABCD中，                                 A＋C＝π或B＋ D                          ＝π，则四边形                          ABCD内接于圆 互补 1．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切      点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝      120°，则∠APB＝________. 解析：过C作⊙O的一直径CD，连结AD，BD，AO，BO， ∴∠CAD=∠CBD=90°. ∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD， ∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD， ∴∠ADC+∠BDC=∠ADB=60°， ∴∠AOB=120°. ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴∠APB+∠AOB=180°. ∴∠APB=60°. 答案：60° 2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且        与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝                    ________. 解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由 得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15 3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC    切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC=6，     AC=8，则DF=    . 解析：设圆的半径为r，AD＝x，连经OD，得OD⊥AC.故                   即                   故x＝      r. 又由切割线定理AD2=AE·AB， 即 由三角形相似，知                    则DF=3. 答案：3 4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于D，     且AD＝4DB，设∠COD＝θ，则cos2θ＝________. 解析：∵AD＝4DB， ∴OC＋OD＝4(OC－OD)， 即3OC＝5OD，cos2θ＝2cos2θ－1＝2 答案： 5．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的      垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，        且AE＝2，则AB＝________，AC＝________，       BC＝________. 解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝                               BC＝3. 答案： 6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________． 解析：连结OB、OC、AC，根据弦切角定理，可得 ∠BAD＝∠BAC＋∠CAD ＝        (180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. 答案：99° 1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出      角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角      的大小． 2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上      的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦      切角． 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆 周上一点．BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD， AD分别与直线l、圆交于D、E，则∠DAC＝________；线 段AE的长为________． (1)∠BCF＝∠BAC＝30°，∠ACD＋∠BCF＝∠ACD ＋∠DAC＝90°； (2)可证明Rt△ABE≌Rt△BAC. 解：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB=30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°， 由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°， 故在Rt△ADC中，∠DAC=30°. 法一：连结BE，如图(1)所示， ∠EAB=60°=∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC， 所以AE=BC=3. 法二：连结EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知， ∠DCE=∠CAE=30°， 又∠DCA=60°，故∠ECA=30°， 又因为∠CAB=30°，故∠ECA=∠CAB， 从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l， 可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为 OA=OC，故四边形AOCE是菱形，故AE=AO=3. 答案：30°3 1.已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC    是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的    度数为     证明四点共圆的方法： 利用定理：若一个四边形的对角互补，则四点共圆． 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点， AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的 内部，点M是BC的中点． (1)证明A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM+∠APM的大小． (1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四 点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小． 证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切于 点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的 内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆． (2)连结OA，如图(2)所示． 由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM. 由(1)得OP⊥AP.又圆心O在∠PAC的内部，可知 ∠OPM+∠APM=90°. 所以∠OAM+∠APM=90°. 2.如图，AB、CD是两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，过      A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2，则        AB＝________，AC＝________. 解析：连结AD，由切割线定理得：PA2＝ PC·PD. ∴PD=4. 又PC=DE=1， ∴CE=2. ∴AB=2. 分别作AH⊥PD于H，BM⊥DE于M，连结BD， 则∠ACD=∠BDC=∠BED. 在Rt△APH中， AH= 在Rt△ACH中， AC=  答案：2  1．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线       段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及       圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如       线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有       关的相似三角形等． 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作 ⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直 线CA交⊙O2于点D. (1)如图所示，当点D与点A不重合时，试猜想线段 EA=ED是否成立？证明你的结论； (2)当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系 ？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径． 可作出两圆的公共弦，然后利用弦切角定理、切 割线定理解决. 解：(1)EA=ED成立． 连结AB，在EA的延长线上取点F，如图 (1)所示．∵AE是⊙O1的切线，切点为A ， ∴∠FAC=∠ABC. ∵∠FAC=∠DAE，∴∠ABC=∠DAE. ∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角， ∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D， ∴EA=ED. (2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所 以直线CA与⊙O2相切． 如图(2)所示，由弦切角定理知： ∠1=∠3，∠2=∠4， 又∠1=∠2，∴∠3＝∠4＝         ×180°＝90°， ∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径， ∴由切割线定理知： AC2＝CB·CE，而CB＝2，CE＝8， ∴AC2＝2×8＝16，AC＝4， 故⊙O1的直径为4. 3.如图所示，割线PAB与圆O相交于A，B两点，PC为圆O的     切线，圆O的半径为10，D为弧AB的中点，OD交AB于点     E，如果PA=4，PC=8，则OE的长度为    . 解析：由切割线定理可得PC2＝PA×PB，即64＝4PB，解 得PB＝16，所以AB＝16－4＝12，因为D为弧AB的中点， 所以OE⊥AB，且点E平分线段AB，所以EB＝6，圆O的半 径为10，所以OE＝ 答案：8 通过近两年高考题的统计分析，可以看出本节主要考 查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理及圆内接 四边形的性质，题型为填空题，难度不大，如2009年广东 卷15题就考查了该内容，注意“执果索因”这一分析问题 的方法在解题中的应用. (2009·广东高考)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4 ，∠ACB=45°，则圆O的面积等于    . [解析] ∵点A，B，C是圆O上的点，∴圆O是△ABC的外 接圆，设圆O的半径为R，则由正弦定理得：2R=                                                         解得R=2       ∴圆O的面积为 πR2=8π. [答案] 8π 本题考查的是直接应用正弦定理求三角形外接圆的半径，    较为直接，若将条件作稍微改动，同学们看如何求解． 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AC=4，∠ACB=45°， 则圆O的面积等于                   .