人教版八下数学 第十七章《 勾股定理》全章PPT课件
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17.1 第1课时 勾股定理.ppt

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资料简介
小结与复习 第十七章 勾股定理 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a , b ,斜边 为 c ,那么 a 2 + b 2 = c 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 在 直角三角形 中才可以运用 2. 勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形: a 2 = c 2 - b 2 , b 2 = c 2 - a 2 , A B C c a b 二、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ,那么这个三角形是直角三角形 . 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数,称为勾股数 . 2. 勾股数 3. 原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反,那么把其中 一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题 . A B C c a b 例 1 在Rt△ ABC 中,∠ ACB =90°, CD ⊥ AB 于 D , AC =20, BC =15 . (1)求 AB 的长; (2)求 B D 的长. 解:(1)∵在Rt△ ABC 中,∠ ACB =90°, (2)方法一:∵ S △ ABC = AC • BC = AB • CD , ∴20×15=25 CD , ∴ CD =12. ∴在Rt△ BC D 中, 考点一 勾股定理及其应用 考点讲练 方法二:设 BD = x , 则 AD =25- x . 解得 x =9.∴ BD =9. 方法总结 对于本题类似的模型,若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查,若是同本题 (2) 中两直角三角形共一边的情况,还可利用勾股定理列方程求解 . 针对训练 1. Rt△ ABC 中,斜边 BC =2,则 AB 2 + AC 2 + BC 2 的值为 (  ) A . 8 B . 4 C . 6 D . 无法计算 A 3. 一直角三角形的三边分别为2、3、 x ,那么以 x 为边长的正方形的面积为 ___________. 2. 如图,∠ C =∠ ABD =90°, AC =4, BC =3, BD =12,则 AD 的长为 ______ . 13或5 13 4.已知Rt△ ABC 中,∠ C =90°,若 a + b =14cm, c =10cm,求△ ABC 的面积 . 解:∵ a + b =14, ∴ ( a + b ) 2 =196 . 又∵ a 2 + b 2 = c 2 = 1 00 , ∴2 ab =196- ( a 2 + b 2 ) =96, ∴ ab =24. 例 2 我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解:如图,设水池的水深 AC 为 x 尺, 则这根芦苇长 AD = AB = ( x +1 )尺, 在直角三角形 ABC 中, BC =5 尺 由勾股定理得 BC 2 + AC 2 = AB 2 , 即 5 2 + x 2 = ( x +1) 2 25+ x 2 = x 2 +2 x +1 , 2 x =24 , ∴ x =12 , x +1=13. 答:水池的水深 12 尺,这根芦苇长 13 尺 . D B C A 例 3 如图所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点 C 1 处,问怎样走路线最短?最短路线长为多少? 解析: 蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C 1 点,有三种方式: ①沿 ABB 1 A 1 和 A 1 B 1 C 1 D 1 面;②沿 ABB 1 A 1 和 BCC 1 B 1 面;③沿 AA 1 D 1 D 和 A 1 B 1 C 1 D 1 面,把三种方式分别展成平面图形如下: 解:  在Rt△ ABC 1 中,  在Rt△ A C C 1 中,  在Rt△ A B 1 C 1 中, ∴ 沿路径 走路径最短,最短路径长为 5 . 化折为直:长方体中求两点之间的最短距离,展开方法有多种,一般沿最长棱展开,距离最短 . 方法总结 针对训练 5. 现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上,它们的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到达建筑物的高度是 ______ 米. 4 在 Rt△ ABO 中, OA =2 米, DC = OB =1.4 米, ∴ AB 2 =2 2 -1.4 2 =2.04 . ∵ 4-2.6=1.4,1.4 2 =1.96, 2. 04>1.96, 答:卡车可以通过,但要小心. 解:如图,过半圆直径的中点 O ,作直径的垂线交下底边于点 D ,取点 C ,使 CD =1.4 米,过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于 B 点,交半圆于 A 点 . 6 . 如图,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是 一个 半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装 满家 具后,高 4 米,宽 2.8 米,请问这辆送家具的卡车能 否通 过这个通道? 7. 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处 . ( 1 ) 此时快艇航行了多少米 ( 即 AB 的长 ) ? 北 东 O A B 60° 45° C 解:根据题意得 ∠ AOC =30 °, ∠ COB =45 °, AO =1000 米 . ∴ AC =500 米, BC = OC . 在 Rt △ AOC 中,由勾股定理得 ∴ BC = OC = 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处 . ( 2 )距离哨所多少米(即 OB 的长) ? 北 东 O A B 60° 45° C 解: 在 Rt △ BOC 中,由勾股定理得 例 4 在△ ABC 中, AB = c , BC = a , AC = b , ,2 c - b =12,求△ ABC 的面积. 解:由题意可设 a =3 k ,则 b =4 k , c =5 k , ∵2 c - b =12, ∴10 k -4 k =12, ∴ k =2, ∴ a =6, b =8, c =10, ∵6 2 +8 2 =10 2 , ∴ a 2 + b 2 = c 2 , ∴△ ABC 为直角三角形, ∴△ ABC 的面积为 ×6×8=24. 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 例 5 B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东 60 ° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进, 2 h 后,甲船到 M 岛,乙船到 P 岛,两岛相距 34 n mile ,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗? 解:甲船航行的距离为 BM = 16 ( n mile ) , 乙船航行的距离为 BP = 30 ( n mile ). ∵ 16 2 +30 2 =1156 , 34 2 =1156, ∴ BM 2 + BP 2 = MP 2 , ∴△ MBP 为直角三角形,∴∠ MBP =90° , ∴乙船是沿着南偏东 30 ° 方向航行的. 8 . 下列各组数中,是勾股数的为(  ) A.1,2,3 B.4,5,6 C.3,4,5 D.7,8,9 9. 已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上,可以判定三角形是直角三角形的有 ________ . 针对训练 (2)(4) C 10. 如图,在四边形 ABCD 中, AB =20cm, BC =15cm, CD =7cm, AD =24cm,∠ ABC =90°.猜想∠ A 与∠ C 关系并加以证明. 解:猜想∠ A +∠ C =180°. 连接 AC . ∵∠ ABC =90°, ∴在Rt△ ABC 中,由勾股定理得 ∵ AD 2 + DC 2 =625=25 2 = AC 2 , ∴△ ADC 是直角三角形,且∠ D =90°, ∵∠ DAB +∠ B +∠ BCD +∠ D = 36 0°, ∴∠ DAB +∠ BCD =180°, 即∠ A +∠ C =180°. 考点三 勾股定理与折叠问题 例 6 如图,在长方形 ABCD 中, AB =3cm, AD =9cm,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF ,求△ ABE 的面积 . 解:∵长方形折叠,使点 B 与点 D 重合, ∴ ED = BE . 设 AE = x cm,则 ED = BE = ( 9- x ) cm, 在Rt△ ABE 中, AB 2 + AE 2 = BE 2 , ∴3 2 + x 2 = ( 9- x ) 2 , 解得 x =4 . ∴△ ABE 的面积为3×4× =6 ( cm 2 ). 方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题;如果只知一边和另两边的关系时,也可用勾股定理求出未知边,这时往往要列出方程求解. 针对训练 11. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC = 6 cm , BC = 8 cm , 将△ ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕是 DE ,则 CD 的长为 . 1.75cm 考点四 本章解题思想方法 方程思想 例 7 如图,在△ ABC 中, AB =17, BC =9, AC =10, AD⊥BC 于 D. 试求△ ABC 的面积. 解:在Rt△ ABD 和Rt△ ACD 中, AB 2 - BD 2 = AD 2 , AC 2 - CD 2 = AD 2 , 设 DC = x ,则 BD =9+ x , 故17 2 - ( 9+ x ) 2 =10 2 - x 2 , 解得 x =6 . ∴ AD 2 = AC 2 − CD 2 = 64 , ∴ AD =8 . ∴ S △ ABC = ×9×8=36. 解:当高 AD 在△ ABC 内部时,如图①. 在Rt△ ABD 中,由勾股定理, 得 BD 2 = AB 2 - AD 2 =20 2 -12 2 =16 2 , ∴ BD =16 . 在Rt△ ACD 中,由勾股定理, 得 CD 2 = AC 2 - AD 2 =15 2 -12 2 =81, ∴ CD =9.∴ BC = BD + CD =25, ∴△ ABC 的周长为25+20+15=60. 例 8 在△ ABC 中, AB =20, AC =15, AD 为 BC 边上的高,且 AD =12,求△ ABC 的周长. 分类讨论思想 题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中,易只考虑高 AD 在△ ABC 内的情形,忽视高 AD 在△ ABC 外的情形. 当高 AD 在△ ABC 外部时,如图②. 同理可得 BD =16, CD =9. ∴ BC = BD - CD =7, ∴△ ABC 的周长为7+20+15=42. 综上所述,△ ABC 的周长为42或60. 方法总结 例 9 有一圆柱体高为8cm,底面圆的半径为2cm,如图 . 在 AA 1 上的点 Q 处有一只蜘蛛, QA 1 =3cm,在 BB 1 上的点P处有一只苍蝇, PB =2cm.求蜘蛛爬行的最短路径长 ( π取3 ). 解:如图 , 沿 AA 1 剪开 , 过 Q 作 QM ⊥ BB 1 于 M , 连接 QP . 则 PM =8-3-2=3 ( cm ) , QM = A 1 B 1 = ×2×π×2=6 ( cm ) , 在Rt△ QMP 中,由勾股定理得 答:蜘蛛爬行的最短路径长是 cm. 转化思想 课堂小结 勾股定理  直角三角形边 长的数量关系   勾股定理 的逆定理   直角三角 形的判定   互逆定理 更多精彩视频内容,敬请关注微信公众号:我是好教师 微信扫描二维码下载更多资源

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