6.1
平方根
第六章 实 数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
3
课时 平方根
1.
了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系
;
2.
会求非负数的平方根．（重点、难点）
学习目标
1.
什么叫做算术平方根？
2.
判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根
.
100；1； ; 0; －0.0025; (
-
3)
2
; －25；
导入新课
回顾与思考
（
1
）
3
2
=
，（－3）
2
=
；
（2）
，
；
（
3
）0.8
2
=
，（－0.8）
2
=
.
9
0.64
0.64
3.
填空
9
思考：
反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这
个数？
问题
如果一个数的平方等于
9
，这个数是多少？
想一想：3和
-
3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是
3
或
-
3.
讲授新课
平方根的定义及性质
3
和
-
3
互为相反数，会不会是巧合呢
?
(1) 4
的平方等于
16
，那么
16
的算术平方根就是
_____
(2)
的平方等于 ，那么 的算术平方根就是
____
(3)
展厅地面为正方形，其面积是
49
m
2
，则其边长为
___m.
你发现了吗
4
7
问题：平方等于
16
， ，
49
的数还有吗？
填一填
1
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
-11
11
0.6
0
没有
x
2
x
8
-8
4
3
4
3
-
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
-4
-0.6
填一填
2
你发现了吗
64
121
0.36
0
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数
.
我们抽象出下述概念
：
如果有一个数
x
，使得
x
2
=
a
，那么我们把
x
叫作
a
的一个
平方根
，也叫作
二次方根
.
如果
x
是正数
a
的一个平方根，那么
a
的平方根有且只有两个：
x
与
-
x
.
即
平方根互为相反数
.
平方根的性质：
例如：
(
±
1)
2
=1
，
1
的平方根为
±
1
.
一、平方根的概念
1. 144
的平方根是什么？
2. 0
的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4
有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
通过这些题目的解答，你能发现什么
?
问题：（
1
）正数有几个平方根？
（
2
）
0
有几个平方根？
（
3
）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
想一想
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
平方根的性质：
1.
正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数
.
2.0
的平方根还是
0.
3.
负数没有平方根
.
要点归纳
判断下列说法是否正确，并说明理由．
（
1
）
49
的平方根是
7
；
（
2
）
2
是
4
的平方根；
（
3
）
-
5
是
25
的平方根；
（
4
）
64
的平方根是±
8
；
（
5
）
-
16
的平方根是
-
4
．
做一做
典例精析
例
1
一个正数的两个平方根分别是
2
a
＋
1
和
a
－
4
，
求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是
2
a
＋
1
和
a
－
4
，
则有
2
a
＋
1
＋
a
－
4
＝
0
，即
3
a
－
3
＝
0
，
解得
a
＝
1.
所以这个数为
(2
a
＋
1)
2
＝
(2
＋
1)
2
＝
9.
方法归纳
：
一个正数有两个平方根，它们互为
相反数
.
+1
-
1
+2
-
2
+3
-
3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫作
平方运算
.
回顾平方的概念
+1
-
1
+2
-
2
+3
-
3
1
4
9
？运算
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算
是什么？
求一个数
的平方根
的运算叫作
开平方
.
二、开平方的概念
例
2
分别求下列各数的平方根：
36
， ，
1.21.
解
由于
6
2
=36
，
因此
36
的平方根是
6
与
-6.
36
是正数
（
1
）
36
有两个平方根
即
典例精析
（
2
）
解
:
由于
2
=
，
有两个平方根
因此 的平方根是 与
.
解
:
由于
1.1
2
=1.21
，
有两个平方根
（
3
）
1.21
因此
1.21
的平方根是
1.1
与
-
1.1.
即
即
表示
a
的正的平方根
表示
a
的负的平方根
记作
a
﹙
a
≥0
﹚
的平方根表示为
一个
非负数
的平方根的表示方法：
(
算术平方根
)
三、平方根的数学符号表示
说一说
各表示什么意义？
表示
7
的
正
的平方根（即算术平方根）
表示
7
的
负
的平方根
表示
7
的平方根
例
3
求下列各式的值：
解
：
（
1
）
；
（
2
）
；
（
3
）
.
典例精析
归纳总结
1.
包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种
.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.
只有非负数才有平方根和算术平方根
.
3. 0
的平方根是
0
，算术平方根也是
0.
区别
：
1.
个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根
.
联系：
当堂练习
2.
下列说法不正确的是
______
A.0
的平方根是
0
B.
的平方根是
2
C.
非负数的平方根互为相反数
D.
一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.
下列说法正确的是
_________
① -3
是
9
的平方根
;
②
25
的平方根是
5;
③ -36
的平方根是
-6; ④
平方根等于
0
的数是
0; ⑤64
的算术平方根是
8.
①④⑤
B
3.
判断下列说法是否正确
.
正确
.
（
4）
(
-4
)
2
的平方根是-4.
（1）
是 的一个平方根；
（2）
是6的算术平方根；
（
3）
的值是±4；
正确
.
不正确，
是
4
.
不正确，是
±4.
4.
分别求
64
， ，
6.25
的平方根
.
64
的平方根是
8
与
-
8
，
的平方根是
与 ，
6.25
的平方根是
2.5
与
-
2.5.
解
:
解
:
（
1
）
（
2
）
5.
求下列各式的值：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
3
）
平方根
平方根的概念
课堂小结
开平方及相关运算
平方根的性质
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