2017年九下数学3.4圆周角与圆心角的关系（1）【北师大版】.ppt

九年级数学 · 下 新课标 [ 北师 ] 第三章 圆 学习新知 检测反馈 4 圆周角与圆心角的关系 （第 1 课时） 学 习 新 知 如图所示，有一只小蚂蚁从 C 点出发，沿着圆周的方向逆时针爬行，在爬行的过程中，蚂蚁所在的点 B 与点 A ， C 所组成的∠ ABC 的度数会发生变化吗 ? 若∠ AOC =60° ，那么∠ ABC 的度数可能是多少 ? 猜测 :∠ ABC 的度数应该不会发生变化，∠ ABC 的度数可能是 30° . 【 问题 】 　 ∠ ABC 是什么角 ? 圆心角∠ AOC 和∠ ABC 之间有什么样的关系 ? 圆周角的概念 如图所示，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角 (∠ ABC ) 有关 . 当球员分别站在 B ， D ， E 的位置上射门时，哪个位置进球的可能性大 ? 【 问题 】 　 图中的三个角∠ ABC ， ∠ ADC ， ∠ AEC ， 以前见过这种类型的角吗 ? 它们有什么共同特征 ? 三个角的共同特征 :(1) 角的顶点在圆上 ;(2) 角在圆的内部 ;(3) 角的两边都与圆相交 . 圆周角的概念 : 顶点在圆上 , 两边分别与圆还有另一个交点 , 像这样的角 , 叫做圆周角 . 判断下列图中的角是否是圆周角，并说明理由 . 不是 是 不是 是 不是 不是 是 不是 圆周角与圆心角的关系 问题 1 请你画出几个 所对的圆周角 , 这几个圆周角有什么关系吗 ? 请与同伴进行交流 . 操作并思考下面的问题 : 1 . 你所画出的圆周角的度数之间有什么关系 ? 你是怎么得到这个结论的 ? 2 . 你能画出多少个圆周角 ? 展示： 1 . 使用量角器进行测量可得 所对的圆周角的度数都相等 . 2 . 可以画出无数个相等的圆周角 . 问题 2 这些圆周角与圆心角 ∠ AOB 的大小有什么关系 ? 你是怎么发现的 ? 与同伴进行交流 . 利用量角器得出 所对的圆周角都等于 40 °, 都等于 所对的圆心角 80° 的一半 . 【 议一议 】 　 如果改变图中的 ∠ AOB 的度数 , 上面的结论还成立吗 ? 圆周角定理 : 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 . 如图所示， ∠ AOB= 80°. 圆周角定理的证明 圆周角与圆心的位置关系只有三种 : ( 1 ) 圆心在圆周角的一边上 ( 如图 ( 1 ) 所示）； ( 2 ) 圆心在圆周角的内部 ( 如图 ( 2 ) 所示 ); ( 3 ) 圆心在圆周角的外部 ( 如图 ( 3 ) 所示 ) . 证明一： 圆心在圆周角的一边上 思考下面的问题 : 1 . △ AOC 是什么三角形 ? 2 . ∠ AOB 与△ AOC 有什么关系 ? 如图 ( 1 ) 所示 , ∠ ACB 是 所对的圆周角 , ∠ AOB 是 所对的圆心角 . 求证 ∠ C = ·∠ AOB . 证明 : 圆心 O 在∠ C 的一条边上 , 如图 (1) 所示 . ∵∠ AOB 是△ AOC 的外角 , ∴∠ AOB =∠ A +∠ C. ∵ OA = OC , ∴∠ A =∠ C. ∴∠ AOB =2∠ C , 即∠ C = ∠ AOB. 证明二 : 圆心 O 在圆周角的内部 ( 如图所示 ) . 在☉ O 中作直径 CD , 由前面的结论可知∠ ACD = ∠ AOD ， ∠ BCD = ∠ BOD , ∴∠ ACD +∠ BCD = ∠ AOD + ∠ BOD. 即∠ ACB = ∠ AOB. 证明二 : 圆心 O 在圆周角的外部 ( 如图所示 ) . 在☉ O 中作直径 CD , 由前面的结论可知∠ ACD = ∠ AOD ,∠ BCD = ∠ BOD , ∴∠ ACD -∠ BCD = ∠ AOD - ∠ BOD. 即∠ ACB = ∠ AOB. 【 想一想 】 　 在射门游戏中 , 当球员在 B ， D ， E 处射门时 , 所形成的三个张角∠ ABC ， ∠ ADC ， ∠ AEC 的大小有什么关系 ? 你能用圆周角定理证明你的结论吗 ? 如图所示，因为∠ ABC ， ∠ ADC ， ∠ AEC 都是同一条 所对的圆周角 , 根据圆周角定理 , 它们都等于 所对的圆心角∠ AOC 度数的一半，所以这三个角都相等 . 【 问题 】 根据上述探究的结论 , 以及三个圆周角的共性 , 你还能得出什么样的结论 ? 圆周角定理推论 1 : 同弧或等弧所对的圆周角相等 . [ 知识拓展 ] 　 在同一个圆中 , 同弦所对的圆周角可能相等也可能互补 . 如图所示 . 【 强调 】 ( 1 ) “ 同弧 ” 指 “ 同一个圆 ” . ( 2 ) “ 等弧 ” 指 “ 在同圆或等圆中 ” . ( 3 ) “ 同弧或等弧 ” 不能改为 “ 同弦或等弦 ” . 检测反馈 1 . (2014· 温州中考 ) 如图所示 , 已知 A , B , C 在☉ O 上 , 为优弧 , 下列选项中与∠ AOB 相等的是 ( 　　 ) A.2∠ C B.4∠ B C.4∠ A D.∠ B +∠ C 解析 : 由圆周角定理可得∠ AOB =2∠ C. 故选 A . A 2 . 如图所示 , 在☉ O 中， AC∥OB ， ∠ BAO =25° ，则∠ BOC 的度数为 ( 　　 ) A.25° B.50° C.60° D.80° 解析 : ∵ OA = OB ， ∴∠ B =∠ BAO =25° ，∵ AC∥OB ,∴∠ BAC =∠ B =25° ，∴∠ BOC =2∠ BAC =50° . 故选 B . B 3 . 如图所示 ,☉ O 的直径 CD ⊥ AB ,∠ AOC =50° ，则∠ CDB 的大小为 　　　　 .  解析 : 由垂径定理 , 得 ，∴∠ CDB = ·∠ AOC =25° . 故填 25 ° . 25° 4 . 如图所示 ,☉ O 是△ ABC 的外接圆 , 点 D 为 上一点 ,∠ ABC =∠ BDC =60°, AC =3 cm, 求△ ABC 的周长 . 解 : ∴∠ BDC =∠ BAC. ∵∠ ABC =∠ BDC =60°, ∴∠ ABC =∠ BAC =60°,∴∠ ACB =60° . ∴△ ABC 为等边三角形 . ∵ AC =3 cm,∴△ ABC 的周长为 3×3=9(cm) .