第五章 第二节.ppt

第二节　矩形、菱形、正方形 知识点一 矩形的性质与判定 1 ．矩形：有一个角是 _______ 的平行四边形叫做矩形． 直角 2 ．矩形的性质 (1) 矩形的对边 ___________ ； (2) 矩形的四个角都是 _______ ； (3) 矩形的对角线 _______ ； (4) 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ____ 条对称轴． 平行且相等 直角 相等 2 3 ．矩形的判定 (1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2) 对角线 _______ 的平行四边形是矩形； (3) 有三个角是 _______ 的四边形是矩形． 相等 直角 知识点二 菱形的性质与判定 1 ．菱形：有一组邻边 _______ 的平行四边形叫做菱形． 2 ．菱形的性质 (1) 菱形的四条边都 _______ ； (2) 菱形的对角 _______ ； (3) 菱形的对角线互相 _______ ，每条对角线平分一组对角； (4) 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ____ 条对 称轴． 相等 相等 相等 垂直 2 3 ．菱形的判定 (1) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2) 四边 _______ 的四边形是菱形； (3) 对角线互相 _______ 的平行四边形是菱形． 相等 垂直 知识点三 正方形的性质与判定 1 ．正方形：有一组邻边 _______ ，并且有一个角是 ______ 的平行四边形叫做正方形． 相等 直角 2 ．正方形的性质 (1) 正方形的四个角都是 _______ ，四条边都 _______ ； (2) 正方形的对角线相等且 _____________ ，每条对角线 _______ 一组对角； (3) 正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ____ 条对称轴． 直角 相等 互相垂直平分 平分 4 3 ．正方形的判定 (1) 有一组邻边 _______ 的矩形是正方形； (2) 对角线互相 _______ 的矩形是正方形； (3) 有一个角是 _______ 的菱形是正方形； (4) 对角线 _____ 的菱形是正方形． 相等 垂直 直角 相等 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，还是特殊的矩形，它们之间的关系如图： 考点一 矩形的性质与判定 (5 年 4 考 ) 例 1 (2015· 济南 ) 如图，在矩形 ABCD 中， BF ＝ CE. 求证： AE ＝ DF. 【 分析 】 根据矩形的性质得出 AB ＝ CD ，∠ B ＝∠ C ＝ 90° ，求出 BE ＝ CF ，根据 SAS 证得△ ABE≌△DCF. 【 自主解答 】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABE ＝∠ DCF ＝ 90° ， AB ＝ DC. ∵BF ＝ CE ， ∴ BF ＋ EF ＝ CE ＋ EF ，即 BE ＝ CF. ∴△ABE≌△DCF ， ∴ AE ＝ DF. (1) 矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相 等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看， 对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的 等腰三角形． (2) 矩形的判定方法：若四边形可以证为平行 四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角 较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证． 1 ． (2013· 济南 ) 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AB ＝ 4 ，∠ AOD ＝ 120° ，求 AC 的长． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO ＝ BO ＝ CO ＝ DO. ∵∠AOD ＝ 120° ，∴∠ AOB ＝ 60° ， ∴△ AOB 是等边三角形， ∴ AO ＝ AB ＝ 4 ，∴ AC ＝ 2AO ＝ 8. 2 ． (2014· 济南 ) 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 是边 AD 的中点．求证： EB ＝ EC. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝∠ D ＝ 90° ， AB ＝ DC. ∵ 点 E 是边 AD 的中点，∴ AE ＝ DE ， ∴△ ABE≌△DCE ， ∴ EB ＝ EC. 考点二 菱形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 例 2 (2016· 济南 ) 如图，在菱形 ABCD 中， CE ＝ CF. 求证： AE ＝ AF. 【 分析 】 根据菱形的性质，利用 SAS 判定△ ABE≌△ADF ，从而证得 AE ＝ AF. 【 自主解答 】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ D ＝∠ B. ∵CE ＝ CF ，∴ BE ＝ DF. ∴△ABE≌△ADF ，∴ AE ＝ AF. (1) 判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形． (2) 运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值． 3 ． (2017· 商河一模 ) 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， OE⊥AB ，垂足为 E. 若∠ ADC ＝ 120° ，则∠ AOE ＝ _______ ． 60° 4 ． (2016· 历城一模 ) 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ， BD 为 AC 边的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E ，过点 A 作 BD 的平行 线，交 CE 的延长线于点 F ，在 AF 的延长线上截取 FG ＝ BD ，连 接 BG ， DF. 若 AB ＝ 12 ， BC ＝ 5 ，则四边形 BDFG 的周长为 _____ ． 26 5 ．如图，已知点 E ， F 分别是▱ ABCD 的边 BC ， AD 上的中点，且∠ BAC ＝ 90°. (1) 求证：四边形 AECF 是菱形； (2) 若∠ B ＝ 30° ， BC ＝ 10 ，求菱形 AECF 面积． (1) 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝ BC. 在 Rt △ABC 中，∵∠ BAC ＝ 90° ，点 E 是 BC 边的中点， ∴ AE ＝ BC ＝ CE ，同理 AF ＝ AD ＝ CF ， ∴ AE ＝ CE ＝ AF ＝ CF ，∴四边形 AECF 是菱形． (2) 解：如图，连接 EF 交 AC 于点 O ， 考点三 正方形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 例 3 (2017· 济南 ) 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于 点 O ， AD ＝ 3 ， E 为 OC 上一点， OE ＝ 1 ，连接 BE ，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F ，与 BD 交于点 G ，则 BF 的长为 ( 　　 ) 【 分析 】 根据正方形的性质得到 OB ，在 Rt △BOE 中求出 BE ，然后根据△ ABE 面积公式求得 AF ，进而运用勾股定理 求得 BF. 【 自主解答 】 (1) 证明一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等． (2) 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质． 6 ． (2015· 济南 ) 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交 于点 O ，∠ ACB 的角平分线分别交 AB ， BD 于 M ， N 两点．若 AM ＝ 2 ，则线段 ON 的长为 ( ) C 7 ． (2017· 历城二模 ) 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边 的中点， BD ， CE 交于点 H ， BE ， AH 交于点 G ，则下列结论： ① AG⊥BE ；② BG ＝ 4GE ；③ S △BHE ＝ S △CHD ； ④∠ AHB ＝∠ EHD. 其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 D 8. (2017· 枣庄 ) 已知正方形 ABCD ， P 为射线 AB 上的一点， 以 BP 为边作正方形 BPEF ，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连 接 EA ， EC. (1) 如图 1 ，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证： EA ＝ EC ； (2) 如图 2 ，若点 P 在线段 AB 的中点，连接 AC ，判断△ ACE 的 形状，并说明理由； (3) 如图 3 ，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC ，当 EP 平分∠ AEC 时， 设 AB ＝ a ， BP ＝ b ，求 a∶b 及∠ AEC 的度数． (1) 证明：∵四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形， ∴ AB ＝ BC ， BP ＝ BF ，∴ AP ＝ CF. 在△ APE 和△ CFE 中， ∴△ APE≌△CFE ，∴ EA ＝ EC. (2) 解：△ ACE 是直角三角形．理由如下： ∵ P 为 AB 的中点，∴ PA ＝ PB. 又∵ PB ＝ PE ，∴ PA ＝ PE ， ∴∠ PAE ＝ 45°. 又∵∠ BAC ＝ 45° ，∴∠ CAE ＝ 90° ， 即△ ACE 是直角三角形． (3) 解：如图，设 CE 交 AB 于点 G ， ∵EP 平分∠ AEC ， EP⊥AG ， ∴ AP ＝ PG ＝ a － b ， BG ＝ a － (2a － 2b) ＝ 2b － a. 又∵ BG ＝ 2b － a ＝ (2 － )b ， ∴ GH ＝ GB. 又∵ GH⊥AC ， GB⊥BC ， ∴∠ HCG ＝∠ BCG. ∵PE∥CF ，∴∠ PEG ＝∠ BCG ， ∴∠ AEC ＝∠ ACB ＝ 45°.