湖北省武汉市新洲区部分高中2020高三(理)数学上学期期末考试试题(含解析)
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湖北省武汉市新洲区部分高中2020高三(理)数学上学期期末考试试题(含解析)

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资料简介
- 1 - 湖北省武汉市新洲区部分高中 2020 高三(理)数学上学期期末考试试 题(含解析) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的). 1.已知全集 U=R,集合 ,则 A∩( UB)=( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解指数不等式求得集合 ,解对数不等式求得集合 ,求得 ,由此求得 . 【详解】由 可得,x>-1,∴集合 A={x|x>-1}, 由 log3x<1 可得 0<x<3,∴ , 那么:A∩( )={x| 或 x≥3}. 故选:D 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算,考查指数不等式、对数不等式的解 法,属于基础题. 2.若复数 满足 ,则 的共轭复数的虚部是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析: ,所以 ,得虚部为 1,故选 B. 考点:复数的代数运算 3.已知条件 关于 的不等式 有解;条件 为减函数, 则 成立是 成立的( ) 3 1| 2 , { | 1}2 xA x B x log x = > = { }0 3U B x x x= ≤ ≥或 U B 1 0x− < ≤ 1i z i⋅ = + i :p x 1 3x x m− + − < ( ) ( ): 7 3 xq f x m= − p q- 2 - A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 条件 因为 ,而关于 的不等式 有解, 所以 ,条件 为减函数,所以 ,解得 , 所以 成立是 成立的必要不充分条件. 4.已知函数 f(x) ,若角 的终边经过点 ,则 的值 为( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 先 利 用 三 角 函 数 的 定 义 求 出 , 在 代 入 函 数 的 解 析 式 , 即 可 求 出 的值. 【详解】∵ 的终边经过点 , ∴ , ∴ , ∴ . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,以及分段函数求函数值,是基础题. 5.若 是等差数列 的前 项和,其首项 , , ,则使 成立的最大自然数 是( ) A. 198 B. 199 C. 200 D. 201 【答案】A 【解析】 【分析】 :p 1 3 3 1 2x x− + − ≥ − = x 1 3x x m− + − < 2m > ( ) ( ): 7 3 xq f x m= − 0 7 3 1m< − < 72 3m< < p q 5 4, 0 3 , 0x x x x +=  ≥ < α ( )3, 4P − − ( )sinf f α   4sin 5 α = − ( )f x ( )sinf f α   α ( )3, 4P − − ( ) ( )2 2 4 4sin 53 4 α −= = − − + − ( ) 4sin 05f fα  = − =   ( ) ( )sin 0 1f f fα  = = nS { }na n 1 0a > 99 100 0a a+ > 99 100 0a a⋅ < 0nS > n- 3 - 先根据 , , 判断出 ;然后再根据等差数列前 项和公式和等差中项的性质,即可求出结果. 【详解】∵ , ∴ 和 异号; ∵ , , 有等差数列的性质可知,等差数列 的公差 , 当 时, ;当 时, ; 又 , , 由等差数列的前 项和的性质可知,使前 项和 成立的最大自然数 是 . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质.考查了学生的推理能力和运算能力. 6.设双曲线 ( , )的渐近线与抛物线 相切,则该双曲线的 离心率等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为 ,与抛物线方程组成方程组 消 y 得, ,即 ,所以 ,选 D. 【点睛】 双曲线 ( , )的渐近线方程为 . 直线与抛物线交点问题,直线与抛物线方程组方程组, 当直线与抛物线对称轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点. 当直线与抛物线对称轴不平行时,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点. 1 0a > 99 100 0a a+ > 99 100 0a a⋅ < 99 1000, 0a a> < n 99 100 0a a⋅ < 99a 100a 1 99 1000, 0a a a> + > 99 1000, 0a a∴ > < { }na 0d < 99, *n n N≤ ∈ 0na > 100, *n n N≥ ∈ 0na < ( ) ( )1 198 99 100 198 198 198 02 2 a a a aS + × + ×= = > ( )1 199 199 100 199 199 02 a aS a + ×= = < n n 0nS > n 198 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 2 1y x= + 3 2 6 5 by xa = 2 , 1 by xa y x  =  = + 2 21 0, ( ) 4 0b bx xa a − + = ∆ = − = 2( ) 4b a = 21 ( ) 5be a = + = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > by xa = ± > 0∆- 4 - 当 时,直线与抛物线相切,只有一个交点. 当 时,直线与抛物线相离,没有交点. 7.某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表: 广告费用 2 3 4 5 销售额 26 39 49 54 根据上表可得回归方程 ,据此模型预测,广告费用为 6 万元时的销售额为( ) 万元 A. 65.5 B. 66.6 C. 67.7 D. 72 【答案】A 【解析】 , , 代 入 回 归 直 线 方 程 , ,解得 ,所以回归直线方程为 ,当 时, ,故选 A. 8.已知 P 是△ABC 所在平面内﹣点, ,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内, 则黄豆落在△PBC 内的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 推导出点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 .从而 S△PBC= S△ABC.由此能求出将一粒黄 豆随机撒在△ABC 内,黄豆落在△PBC 内的概率. 【详解】以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC, 则 = , ∵ ,∴ , 0∆ = ∆ < 0 x y x y  9.4y x a= + 2 3 4 5 3.54x + + += = 26 39 49 54 424y + + += = 42 9.4 3.5 a= × + 9.1a = ˆ 9.4 9.1y x= + 6x = 65.5y = 2 0PB PC PA+ + =    2 3 1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 PB PC+  PD 2 0PB PC PA+ + =    2PB PC PA+ = −  - 5 - ∴ ,∴P 是△ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点, ∴点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 . ∴S△PBC= S△ABC. ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,黄豆落在△PBC 内的概率为: P= = . 故选 B. 【点睛】本题考查概率 求法,考查几何概型等基础知识,考运算求解能力,考查化归与转 化思想、函数与方程思想,考查创新意识、应用意识,是中档题. 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 球体的组合体,其中四棱锥的是以侧视图为底 面,其体积为 而 球体的体积为 . 故组合体的体积为 故选 D 10.过函数 图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( ) 的 2PD PA= −  1 2 1 2 PBC ABC S S   1 2 16 24 3 π+ 16 16 3 π+ 8 8 3 π+ 16 8 3 π+ 1 4 1 164 2 2 .3 3 × × × = 1 4 ( )31 4 824 3 3 π π× × = 16 8 3 π+ ( ) 3 21 3f x x x= −- 6 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 求出函数的导函数,由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围,则倾斜角的范围可求. 【详解】由函数 ,得 f′(x)=x2﹣2x, 设函数 图象上任一点 P(x0,y0),且过该点的切线的倾斜角为 α(0≤α< π), 则 f′(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1≥﹣1, ∴tanα≥﹣1, ∴0≤α< 或 ≤α<π. ∴过函数 图象上一个动点作函数的切线,切线倾斜角的范围为[0, )∪[ ,π). 故答案为:B 【点睛】(1)本题考查导数的几何意义,考查直线倾斜角和斜率的关系,关键是熟练掌握正 切函数的单调性.(2)函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率,相应的切线方程是 11.已知椭圆和双曲线有共同焦点 , , 是它们的一个交点, ,记椭圆和 双曲线的离心率分别 , ,则 的最小值是( ) A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 设出椭圆与双曲线的标准方程,利用定义可得: ,解出 【 30, 4 π     30, ,2 4 π π π   ∪      3 ,4 π π    3 2 4 π π    , ( ) 3 21 3f x x x= − ( ) 3 21 3f x x x= − 2 π 3 4 π ( ) 3 21 3f x x x= − 2 π 3 4 π ( )y f x= 0x 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − 1F 2F P 1 2 60F PF∠ °= 1e 2e 2 2 1 2e e+ 3 2 + 3 2 2 3 3 1 2 1 2 12 , 2PF PF a PF PF a+ = − =- 7 - .利用余弦定理化简可得关于 的关系 ,再由基本不等式求得 的最小值. 【 详 解 】 不 妨 设 椭 圆 与 双 曲 线 的 标 准 方 程 分 别 为 : , 设 ,则 , . , 化为: . ∴ , ∴ 所以 , 当且仅当 时,取等号,则 的最小值是: . 故选:A. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题 12.已知函数 ,若方程 有四个不等实根 ,时,不等式 恒成立,则实数 的最 小值为() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 1 2,PF PF 1 2,e e 2 2 1 2 1 3 4e e + = 2 2 1 2e e+ ( )2 2 2 2 1 12 2 2 2 1 1 ( )1 0 , 1 0, 0x y x ya b a ba b a b + > > − = > >= ( )1 2, ,PF m PF n m n= = > 12 , 2m n a m n a+ = − = 1 1,m a a n a a∴ = + = − 2 2 24 1cos60 2 2 m n c mn + −° = = ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 14a a a a c a a a a+ + − − = + − 2 2 2 13 4 0a a c+ − = 2 2 1 2 1 3 4e e + = , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 31 1 3 1 1 34 4 2 3 14 4 4 2 e ee e e e e e e e          + =  + + = + + ≥ =  +  + 2 13e e= 2 2 1 2e e+ 31 2 + ( ) ( ) ln ,0 2, 4 ,2 4 x xf x f x x  < ≤=  − < = − −⋅< = = ⋅ ×      60θ = ° EN BMN 60°- 15 - 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定,折叠问题中的不变量,空间线面角的计算方法, 空间向量、空间直角坐标系的运用,有一定的运算量,属中档题. 19.设 分别是椭圆 的左、右焦点. (1)若 是该椭圆上的一个动点,求 的最大值和最小值; (2)设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ,且 为锐角(其中 为坐标 原点),求直线 的斜率的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)设出点 P 的坐标,向量坐标化得到 的表达式,进而得到最值;(2) 为锐 角即 ,设出点 AB 的坐标,向量坐标化得到点积的表达式为:x1x2+y1y2,联立直线 和椭圆方程,由韦达定理得到结果. 【详解】(1)由已知得,F1(- ,0),F2( ,0),设点 P(x,y), 则 +y2=1,且-2≤x≤2. 所以 · =(- -x,-y)·( -x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1- = x2-2, 当 x=0,即 P(0,±1)时,( · )min=-2; 当 x=±2,即 P(±2,0)时,( · )max=1. (2)由题意可知,过点 M(0,2)的直线 l 的斜率存在. 设 l 的方程为 y=kx+2, 由 消去 y,化简整理得 (1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得 k2> . 1 2,F F 2 2 14 x y+ = P 1 2PF PF⋅  ( )0,2M l ,A B AOB∠ O l 2− ,1 3 32, ,22 2k    − − ∪       ∈   1 2PF PF⋅  AOB∠ 0OA OB⋅ > - 16 - 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= , 又∠AOB 为锐角,所以 · >0,即 x1x2+y1y2>0, 有 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)· +2k· +4>0,解得 k2<4, 所以 <k2<4,即 k∈ . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程 是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一, 尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 20.2018 年国际乒联总决赛在韩国仁川举行,比赛时间为 12 月 13﹣12 月 16 日,在男子单打 项目,中国队准备选派 4 人参加.已知国家一线队共 6 名队员,二线队共 4 名队员. (1)求恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率; (2)设随机变量 X 表示参加比赛的国家二线队队员的人数,求 X 的分布列; (3)男子单打决赛是林高远(中国)对阵张本智和(日本),比赛采用七局四胜制,已知在 每局比赛中,林高远获胜的概率为 ,张本智和获胜的概率为 ,前两局比赛双方各胜一局, 且各局比赛的结果相互独立,求林高远获得男子单打冠军的概率. 【答案】(1) ;(2)分布列见解析;(3) 【解析】 【分析】 (1)国家一线队共 6 名队员,二线队共 4 名队员.选派 4 人参加比赛,基本事件总数 ,恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数 ,由此能求出恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率.(2) 的取值为 0,1,2,3,4,分别求出相应的概率 ,由此能求出 X 的分布列.(3)分别求出 获胜、 获胜、 获胜的概率,由此利用 互斥事件概率加法公式能求出林高远获得冠军的概率. 【详解】(1)国家一线队共 6 名队员,二线队共 4 名队员.选派 4 人参加比赛, 基本事件总数 , 3 32, ,22 2    − − ∪          2 3 1 3 8 21 64 81 4 10n C= 3 1 6 4m C C= X 4:1 4: 2 4:3 4 10n C=- 17 - 恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数 , ∴恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率 p . (2) 的取值为 0,1,2,3,4, , , , , , ∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P (3) 获胜的概率 , 获胜的概率 , 获胜的概率 , 所以林高远获得冠军的概率为 . 【点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查互斥 事件概率加法公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 21.已知函数 . (1)当 ,求函数 的极值; 3 1 6 4m C C= 3 1 6 4 4 10 8 21 C Cm n C = = = X ( ) 10 14P X = = ( ) 81 21P X = = ( ) 32 7P X = = ( ) 43 35P X = = ( ) 14 210P X = = 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 4:1 3 1 2 8 3 27P  = =   4: 2 2 2 2 3 2 1 2 8 3 3 3 27P C  = × × × =   4:3 2 2 2 3 4 2 1 2 16 3 3 3 81P C    = × × × =       1 2 3 64 81P P P P= + + = ( ) ( ) 2ln 1 1f x a x a x+ − += 1 2a = ( )f x- 18 - (2)当 时,在函数 图象上任取两点 ,若直线 的斜率的绝对值都不小于 , 求 的取值范围. 【答案】(1)极大值为 ;(2) 【解析】 【分析】 (1)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极值; (2)结合直线的斜率公式可转化为函数的恒成立,结合导数可求. 【详解】(1)定义域为 , 1, , 由 可得 , ∴函数 在 上单调递增,在 单调递减; ∴ 的极大值为 , (2)设 ,不妨设 , , 所以 , 又 ,又 , 在定义域内恒成立,又 , 所以 ,所以 5, , 即 , 构造函数 , 所以 , 所以 在 上恒成立, 0a < ( )f x ,A B AB 5 a 1 3ln24 4 − + 2 3 6 4a −≤ (0, )+∞ 21 1ln2 2( )f x x x= − + 21 2'( ) 2 xf x x −= '( ) 0f x = 2 2x = ( )f x 20 2       , 2 2  + ∞    , ( )f x 1 3ln 24 4 − + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2x x< 2 1 2 1 AB y yk x x −= − 2 1 2 1 5y y x x − ≥− ( )( )' 2 1af x a xx = + − 0a < ( )' 0f x < 1 2x x< 1 2y y> 2 1 2 1 y y x x −− ≥− 2 2 1 15 5y x y x+ ≤ + 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( )ln 1 5 ln 1 5a x a x x a x a x x+ − + ≤ + − + 2( ) ( )ln 1 5g x a x a x x= + − + 2 1( ) ( )g x g x≤ '( ) 0g x ≤ (0, )+∞- 19 - 又 , 所以 恒成立, 又 ,只需要 , 所以 . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的的极值及导数几何意义的应用,属于中档试题. 22.在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),在以直角坐标系的原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求△AOB 的面积. 【答案】(1) (2)12 【解析】 试题分析:(1)利用消元,将参数方程和极坐标方程化为普通方程; (2)利用弦长公式求|AB|的长度,利用点到直线的距离公式求 AB 上的高,然后求三角形面 积 试题解析: (1)由曲线 C 极坐标方程 得 , 所以曲线 C 的直角坐标方程是 . 由直线 l 的参数方程 ,得 ,代入 中,消去 t 得 , 所以直线 l 的普通方程为 . (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 ,得 , 设 A,B 两点对应的参数分别为 . 则 =8, =7, 的 ( ) 22 1' ) 5( a x x ag x x − + += 2(2 1 0) 5a x x a− + + ≤ 0a < (25 8 1 0)a a∆ = − − ≤ 2 3 6 4a −≤ 1 3 x t y t = +  = − 2 2cosθρ sin θ= 4 0x y- - = 2 2cosθρ ,sin θ= 2 2 2sin cosρ θ ρ θ= 2 2y x= 1 3 x t y t = +  = − 3t y+= 1x t+= 4 0x y- - = 4 0x y- - = 2 2y x= 2 8 7 0t t +- = 1 2t t, 1 2t t+ 1 2t t- 20 - 所以|AB|= | |= × =6 , 因为原点到直线 x-y-4=0 的距离 d= =2 , 所以△AOB 的面积是 |AB|·d= ×6 ×2 =12 点睛:(1)过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为 (t 为参数),t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即 t=|PP0|时为距离.使用 该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对 应的参数为 (t1+t2). 23.已知函数 f(x)=|x-a|- x(a>0). (1)若 a=3,解关于 x 的不等式 f(x)<0; (2)若对于任意的实数 x,不等式 f(x)-f(x+a)<a2+ 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1){x|2<x<6}(2)(1,+∞) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)将 a 的值带入 f(x),原不等式等价于﹣ x<x-3< x,解之即可; (Ⅱ)求出 f(x)=|x﹣a|﹣|x|+ ,原问题等价于|a|<a2,求出 a 的范围即可. 试题解析: (1)当 a=3 时,f(x)=|x-3|- x,即|x-3|- x<0,原不等式等价于- <x-3< ,解得 2<x<6,故不等式的解集为{x|2<x<6}. (2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+ , 原不等式等价于|x-a|-|x|<a2, 由绝对值三角不等式的性质, 得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|, 原不等式等价于|a|<a2, 又 a>0,∴a<a2,解得 a>1. ∴实数 a 的取值范围为(1,+∞). 点睛:1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将 2 1 2t t− 2 ( )2 1 2 1 24t t t t+ − 2 4 1 1 − + 2 1 2 1 2 2 2 0 0 x x tcos y y tsin α α = +  = + 1 2 1 2 2 a 1 2 1 2 2 a- 21 - 原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法. 2.f(x)<a 恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a.

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