2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解6-1 平面向量的概念及其线性运算
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2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解6-1 平面向量的概念及其线性运算

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资料简介
专题 6.1 平面向量的概念及其线性运算 【考纲解读与核心素养】 1.平面向量的实际背景及基本概念:理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量 相等、平行向量、向量夹角的概念. 2. 向量的线性运算:掌握向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义. 3.本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测: (1)以考查向量的线性运算、共线为主,且主要是在理解它们含义的基础上,进一步解题,如利用向量的 线性运算求参数等; (2)考查单位向量较多. (3)常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查共线等问题;也易同解析几何知识相结合,以 工具的形式出现.. 5.备考重点: (1) 理解相关概念是基础,掌握线性运算的方法是关键; (2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题,注意运用数形结合的思想方法. 【知识清单】 知识点 1.向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 知识点 2.平面向量的线性运算 一.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (1)交换律: ; (2)结合律: a b b a+ = + ( +( )a b c a b c+ ) + = +平行四边形法则 减法 求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 二.向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ  a b a b>  a b b c   ∥ ,∥ a c ∥ 0b =  a b b c   ∥ ,∥ a c综上,以上正确的命题个数是 0. 故选 A. 【典例 2】(2020·衡水市第十四中学高一月考)下列说法错误的是( ) A.向量 的长度与向量 的长度相等 B.零向量与任意非零向量平行 C.长度相等方向相反的向量共线 D.方向相反的向量可能相等 【答案】D 【解析】 A.向量 与向量 的方向相反,长度相等,故 A 正确; B.规定零向量与任意非零向量平行,故 B 正确; C.能平移到同一条直线的向量是共线向量,所以长度相等,方向相反的向量是共线向量,故 C 正确; D.长度相等,方向相同的向量才是相等向量,所以方向相反的向量不可能相等,故 D 不正确. 【易错提醒】 1.有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混淆. (4)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点. (5)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定. 【变式探究】 1. 给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若 是不共线的四点,则 = 是四边形 为平行四边形的充要条件; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为(  ) A.1            B.2 C.3 D.4 【答案】 【解析】 ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线. ②正确.∵ = ,∴| |=| |且 ∥ . 又∵ 是不共线的四点, OA AO OA AO A B C D, , , AB DC ABCD C AB DC AB DC AB DC A B C D, , ,∴四边形 是平行四边形. 反之,若四边形 是平行四边形,则 且 与 方向相同,因此 = . ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λa=μb,但 a 与 b 不一定共线. 选 . 2. 设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|·a0;②若 a 与 a0 平行,则 a= |a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0,假命题的个数是(  ) A.0          B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综 上所述,假命题的个数是 3. 【总结提升】 (1)非零向量 a 与 a |a|的关系: a |a|是与 a 同方向的单位向量,- a |a|是与 a 反方向的单位向量. (2)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小. (3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件. (4)几个重要结论 ①向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; ②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 高频考点二 平面向量的线性运算 【典例 3】(2018 年新课标 I 卷理)在△ 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据向量的运算法则,可得 ABCD ABCD AB CD∥ AB DC AB DC 0λ µ= = C , 所以 ,故选 A. 【典例 4】(2020·湖南衡阳·三模(文))在平行四边形 中,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵ ∴ ∴ . 故选: D. 【规律方法】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形 法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. ABCD 4CE ED=  BE = 3 4 AB AD− +  4 5 AB AD−  4 5AB AD− +  4 5 AB AD− +  4CE ED=  4 5CE CD = 4 4 5 5BE BC CE BC CD AB AD= + = + = − +      【变式探究】 1.(2019·浙江高一期末)已知点 G 为 的重心,若 , ,则 =( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 是 中点,则 ,又 为 的重心,∴ . 故选 B. 2.(2019·广东高考模拟(理))已知 , , 三点不共线,且点 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 已知 , , 三点不共线,且点 满足 ,所以 = + = ) ( )+ = ,所以 , 故选:A 【总结提升】 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线 等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解. 高频考点三 利用向量线性运算求参数 【典例 5】(2019·北京高考模拟(文))设 为 的边 的中点, ,则 的值分 ABC∆ AB a=  AC b=  BG 2 1 3 3a b+  2 1 3 3 − + a b 2 1 3 3a b−  2 1 3 3a b− −  D AC 1 ( )2BD BA BC= +   G ABC∆ 2 3BG BD=  2 1 ( )3 2 BA BC= × +  1 1 2 1( ) ( )3 3 3 3BA BC AB AC AB AB AC= + = − + − = − +       2 1 3 3a b= − +  A B C O 16 12 3 0OA OB OC− − =    12 3OA AB AC= +   12 3OA AB AC= −   12 3OA AB AC= − +   12 3OA AB AC  = − − A B C O 16OA 12OB 3OC 0− − =   16OA 12OB 3OC− −   12 12 3 3OA OB OA OC− + −    OA 12 OA OB ( − 3+ OA OC−  OA 0 12 3OA AB AC= +   E ABC AC +  BE mAB nAC= ,m n别为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵ ( ) - ∴m n 故选:A. 【典例 6】(2020·三亚华侨学校高一开学考试)已知四边形 ABCD 为正方形, ,AP 与 CD 交于 点 E,若 ,则 = . 【答案】 . 【解析】 由题作图如图所示, ∵ ,∴ ,∴ , ∴ , ∴ . 故答案为: . 【总结提升】 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求. 11, 2 − 1 , 12 − 1 ,12 − 11, 2 1BE 2  = BA BC+  BA BA AC 2 + += =    1AB AC2 +  1,= − 1 2 = 3BP CP=  PE mPC nPD= +   m n− 1 3 3BP CP=  3BP CP= 3AB CE CD= = ( )1 1 2 1 3 3 3 3PE PC CE PC CD PC PD PC PC PD= + = + = + − = +          2 1 1 3 3 3m n− = − = 1 3【变式探究】 1.(2019·山东高考模拟(文))在正方形 中, 为 的中点,若 ,则 的值为( ) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】 由题得 , . 故选:B 2.(2020·全国高一课时练习)已知 x,y 是实数,向量 不共线,若 ,则 ________, ________. 【答案】 【解析】 因为向量 不共线, 所以向量 均不为零向量, 解得 故答案为: ; 高频考点四 共线向量及其应用 【典例 7】设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b),求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【答案】(1)见解析;(2)k=±1. ABCD E DC AE AB ACλ µ= +   λ µ+ 1 2 − 1 2 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC= + = + = − + = − +          1 1, 1,2 2 λ µ λ µ∴ = − = ∴ + = ,a b  ( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − =  x = y = 1 2 1 2 ,a b  ,a b  ( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − =    1 0 0 x y x y + − =∴ − = 1 2 1 2 x y  =∴  = 1 2 1 2【解析】 (1)证明:∵AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b), ∴BD → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB → , ∴AB → ,BD → 共线. 又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)假设 ka+b 与 a+kb 共线, 则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0. 消去 λ,得 k2-1=0,∴k=±1. 【典例 8】已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若OP→ =xOA→ +yOB→ ,求 x+y 的值. 【答案】 【解析】由于 A,B,P 三点共线,所以向量AB→ ,AP→ 在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数 λ 使AP→ =λAB→ ,即OP→ -OA→ =λ(OB→ -OA→ ),所以OP→ =(1-λ)OA→ +λOB→ ,故 x=1-λ,y=λ,即 x+y=1. 【规律方法】 1.平面向量共线定理的三个应用 2.求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线 且有公共点时,才能得到三点共线. (3)直线的向量式参数方程:A,P,B 三点共线⇔OP → =(1-t)·OA → +tOB → (O 为平面内任一点,t∈R). 【变式探究】 1. 设 是不共线的两个向量,已知 , ,则( ) A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 由题意 , 则 , 即 ,所以 ,所以 三点共线. 2.(2020·上海高三专题练习)设 是不共线的两个向量,已知 , , 若 A、B、D 三点共线,求 k 的值. 【答案】 =1,k=-1 【解析】 由 A、B、C 三点共线,存在实数 ,使得 ∵ ∴ 故 又 a,b 不共线 ∴ =1,k=-1 【总结提升】 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. ,a b  2AB a kb= +  BC a b= +  2CD a b= −  λ λ AB BDλ=  , 2BC a b CD a b= + = −    2BD BC CD a b= + = −    ( )2 2a kb a bλ+ = −   λ(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线 且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不 重合.

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