2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解5-5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用
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2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解5-5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用

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资料简介
专题 5.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用 【考纲解读与核心素养】 1.了解函数 y=A sin (ωx+φ) 的物理意义,掌握 y=A sin (ωx+φ) 的图象,了解参数 A, ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测: (1) “五点法”作图; (2)函数图象的变换; (3)三角函数模型的应用问题. (4)往往将恒等变换与图象和性质结合考查 4.备考重点: (1)掌握函数图象的变换; (2)掌握三角函数模型的应用. 【知识清单】 知识点 1.求三角函数解析式 (1) 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相, 表示一个振动量时 (2)用五点法画 一个周期内的简图 用五点法画 一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: - 知识点 2.三角函数图象的变换 1.函数图象的变换(平移变换和上下变换) 平移变换:左加右减,上加下减 ( )siny A xω ϕ= + ( )siny A xω ϕ= + ( )0, 0A ω> > [ )0,x∈ +∞ A 2T π ω= 1 2f T ω π= = xω ϕ+ ϕ ( )siny A xω ϕ= + ( )siny A xω ϕ= + x ϕ ω− 2 ϕ π ω ω− + π ϕ ω − 3 2 ϕ π ω ω− + 2π ϕ ω − xω ϕ+ 0 2 π π 3 2 π 2π ( )siny A xω ϕ= + 0 A 0 A 0把函数 向左平移 个单位,得到函数 的图象; 把函数 向右平移 个单位,得到函数 的图象;+网】 把函数 向上平移 个单位,得到函数 的图象; 把函数 向下平移 个单位,得到函数 的图象. 伸缩变换: 把函数 图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ,得到函数 的图象; 把函数 图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,得到函数 的图象; 把函数 图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 ,得到函数 的图象; 把函数 图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 ,得到函数 的图象. 2. 由 的图象变换出 的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才 能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种 变形,请切记每一个变换总是对字母 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少. 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 的图象向左 或向右 平移 个单 位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍( ),便得 的图象. 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍 ( ),再沿 轴向左( )或向右( )平移 个单位,便得 的图象. 注意:函数 的图象,可以看作把曲线 上所有点向左(当 时)或向右(当 时)平行移动 个单位长度而得到. 知识点 3.函数 的图象与性质的综合应用 (1) 的递增区间是 ,递减区间是 . (2)对于 和 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 的图象有无穷多条对称轴,可由方程 解出;它还有无穷多个对 ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= + ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= − ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= + ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= − ( )y f x= 1 ω ( )( )0 1y f xω ω= < < ( )y f x= 1 ω ( )( )1y f xω ω= > ( )y f x= A ( )( )1y Af x A= > ( )y f x= A ( )( )0 1y Af x A= < < siny x= ( )siny xω ϕ= + ( )0ω > x siny x= ( )0ϕ > ( )0ϕ < ϕ 1 ω 0ω > ( )siny xω ϕ= + siny x= 1 ω 0ω > x 0ϕ > 0ϕ < ω ϕ || ( )siny xω ϕ= + sin( ) y xω ϕ= + siny xω= 0ϕ > 0ϕ < ϕ ω ( )siny A xω ϕ= + xy sin=     +− 2222 ππππ kk , )( Zk ∈     ++ 2 3222 ππππ kk , )( Zk ∈ sin( )y A xω φ= + cos( )y A xω φ= + sin )y A xω ϕ= +( ( ) 2x k k Z πω ϕ π+ = + ∈称中心,它们是图象与 轴的交点,可由 ,解得 ,即其对称中心 为 . (3)若 为偶函数,则有 ;若为奇函数则有 . (4) 的最小正周期都是 . 【典例剖析】 高频考点一 求三角函数解析式 【典例 1】(2020·湖南娄星�高一期末)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲 线 ,再将 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 ,则 的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ,则 的解析式为 ,再将 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 ,则 的解析 式为 故选:A 【典例 2】(2020·山东五莲�高三月考)函数 的部分图象如图所示,则 __________;将函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 __________. x ( )x k k Zω ϕ π+ = ∈ ( )kx k Z π ϕ ω −= ∈ ( ),0k k Z π ϕ ω −  ∈   sin( )y A xω ϕ= + ( )2k k Z πϕ π= + ∈ ( )k k Zϕ π= ∈ ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 2 | |T π ω= sin 2y x= π 6 1C 1C 2C 2C πsin 3y x = +   πsin 6y x = +   πsin 3y x = −   πsin 4 3y x = +   sin 2y x= π 6 1C 1C sin 2( ) sin(2 )6 3y x x π π= + = + 1C 2C 2C 1sin( 2 ) sin( )2 3 3y x x π π= × + = + ( ) sin( ) 0,| | 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > ( )0ϕ < ϕ ( )siny x ϕ= + 1 ω 0ω > ( )siny xω ϕ= + A 0A > ( )siny A xω ϕ= +【解析】根据函数 的部分图象知, ,解得 ,根 据五点法画正弦函数图象,知 时, ,解得 ,将 的图象 向左平移 个单位后,得到 ,故选 B. 2.(2020·江苏南通�高三其他)已知函数 的最小正周期是 ,若将 该函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称,则函数的解析式 ________. 【答案】 【解析】 因为函数 的最小正周期是 , 所以 函数的图象向右平移 个单位长度后得到 , 因为 关于原点对称, 所以 因此 故答案为: 【总结提升】 根据函数的图象确定函数 中的参数的主要方法: (1) 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定; (2) 主要由最小正周期 确定,而 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定; (3) 主要是由图象的特殊点的坐标确定. ( ) ( )( )sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < π 3 π ( )f x = 2sin 2 3x π +   ( ) ( )( )sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < π 2 2 ππ ωω= ∴ = 3 π sin 2( )3y x π ϕ = − +   sin 2( )3y x π ϕ = − +   2 2( ) ( )3 3k k Z k k Z π πϕ π ϕ π− + = ∈ ∴ = + ∈ 20 3 πϕ π ϕ< < ∴ = ( )f x = 2sin 2 3x π +   2sin 2 3x π +   sin( )y A xω ϕ= + A ω T T ϕ高频考点二 三角函数图象的变换 【典例 3】(2018·浙江镇海中学)函数 的部分图象如图所 示,则 ________,为了得到 的图象,需将函数 的图象最少向左平移________ 个单位长度. 【答案】 【解析】 由图知 , ,所以 ,所以 把点 代入,得 ,所以 即 ,又 ,所以 所以 因为 ,所以要得到函数 的图象需将函数 的图象最少向左平移 个单位长度. 故答案为: ; 【典例 4】(2020·浙江高一课时练习)已知函数 的最小正周期为 ,则 将 的图象向________平移________个单位长度可得到函数 的图象. 【答案】左 【解析】 ( ) sin( )( 0, 0, 0)f x A x Aω ϕ ω π ϕ= + > > − < < ϕ = ( ) cosg x A xω= ( )y f x= 6 π− 3 π 2A = 2 3 6T π π π = + =   2 2T πω = = ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + ,23 π     2sin 13 π ϕ + =   2 2 ( )3 2 k k Z π πϕ π+ = + ∈ 2 ( )6 k k Z πϕ π= − + ∈ 0π ϕ− < < 6 πϕ = − ( ) 2sin 2 6f x x π = −   ( ) 2cos2 2sin 2 2sin 22 3 6g x x x x π π π    = = + = + −         ( )g x ( )f x 3 π 6 π− 3 π ( ) sin ( , 0)4f x x x R πω ω = + ∈ >   π ( )y f x= ( ) cosg x xω= 8 π由于 ,则 ,因此 . 又因为 , 假设将 的图象平移 个单位, 则 , 故 ,得 ,所 以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度就得到函数 的图象. 故答案为:左, . 【规律方法】 函数的图象变换除了平移变换外,还有对称变换.如本例.一般地,函数 f(x)的图象与 f(-x)的图象关于 y 轴对称;-f(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称;-f(-x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称;f(|x|)的图象关 于 y 轴对称. 【变式探究】 1.(2020·浙江高一单元测试)如图是函数 在区间 上的图象.为了得到 这个函数的图象,只要将 的图象上所有的点( ). A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标仲长到原来的 ,纵坐标不变 C.把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 T π= 2ω = ( ) sin 2 4f x x π = +   ( ) cos2 sin 2 2g x x x π = = +   ( )f x ϕ ( ) sin 2( ) sin 2 24 4f x x x π πϕ ϕ ϕ   + = + + = + +      2 4 2 π πϕ + = 8 πϕ = ( )y f x= 8 π ( ) cosg x xω= 8 π sin( )( )y A x x Rω ϕ= + ∈ 5,6 6 π π −   sin ( )y x x R= ∈ 3 π 1 2 6 π 1 2 1 2 6 π 3 π【答案】AC 【解析】 由图象知,A=1,T=π,所以 =2,y=sin(2x+ ),将( ,0)代入得:sin( )=0,所以 =kπ, ,取 = ,得 y=sin(2x+ ), 向左平移 ,得 .然后各点的横坐标缩短到原来的 ,得 .故 A 正确. 各点的横坐标缩短到原来的 ,得 .然后向左平移 个单位,得 .故 C 正确. 故选:AC 2.(2019·江苏高三开学考试)将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位,再将图象上的 所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为________. 【答案】 【解析】 将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度, 得到函数 的图象, 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变), 可得函数 的图象. 因此变换后所得图象对应的函数解析式为 ω ϕ 6 π− ϕ 3 π− ϕ 3 π− k z∈ ϕ 3 π 3 π siny x= 3 π sin 3y x π = +   1 2 sin 2 3y x π = +   siny x= 1 2 sin 2y x= 6 π sin 2 6y x π = +   sin 2 3x π = +   πsin 6y x = +   π 4 1 5sin 2 12y x π = +   sin 6y x π = +   4 π 5sin sin4 6 12y x x π π π    = + + = +         1 5sin 2 12y x π = +   1 5sin 2 12y x π = +  故答案为: . 【特别提醒】 1.图象的左右平移是针对 x 而言的,即平移多少是指自变量“x”的变化,x 系数为 1,而不是对“ωx+φ”而言 的. 2.图象的伸缩变换即周期变换也是针对 x 而言的,即只是自变量 x 的系数发生改变,变为原来的1 ω倍,而 不涉及 φ. 3.在进行图象变换时,先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换,且这两种变换中,平移的单位长度 不同,前者平移了|φ|个单位长度,而后者平移了|φ ω|个单位长度,这是因为由 y=sinωx 的图象变换为 y=sin(ωx +φ)的图象的过程中,各点的横坐标增加或减少了|φ ω|个单位长度,即 x→x+φ ω,ωx→ωx+φ. 高频考点三 三角函数模型的应用 【典例 5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观 测到该处水深 (米)是随着一天的时间 呈周期性变化,某天各时刻 的水深数据 的近似值如下表: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图,从 ① , ② ,③ 中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式;(Ⅱ)为保证队 员安全,规定在一天中的 5~18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练,根据(Ⅰ) 中的选择的函数 解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全. 【答案】(1) 选② 做为函数模型, ;(2) 这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全. 【解析】 (Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图,如图所示: 1 5sin 2 12y x π = +   y ( )0 24,t t≤ ≤ 单位小时 t ( )siny A tω φ= + ( )cos by A tω φ= + + siny A t bω= − + (A 0, 0, 0)ω π φ> > − < < ( )cos by A tω φ= + + 0.9sin 1.56y t π = +  - 依题意,选② 做为函数模型, (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 令 ,即 又 ( )cos by A tω φ= + + 2.4 0.6 2.4 0.60.9 1.52 2A b − +∴ = = = = 2 12 6T π πωω= = ∴ = 0.9cos 1.56y t π ϕ ∴ = + +   0.9 1.5 3 2.46 2.4 0.9 3 1.56 12 1 0 2 y cos t cos cos sin π ϕ π ϕ π ϕ ϕ π ϕ πϕ  = + +    ∴ = × × + +    ∴ + =   ∴ = − − < < ∴ = −   又 函数 的图象过点( , ) 又 0.9cos 1.5 0.9sin 1.56 2 6y t t π π π   ∴ = − + = +       0.9sin 1.56y t π = +   1.05y ≥ 0.9sin 1.5 1.056 t π  + ≥   1sin 6 2t π ∴ ≥ −   ( )72 26 6 6k t k k Z π π ππ π∴ − ≤ ≤ + ∈ 12 1 12 7k t k∴ − ≤ ≤ + 5 18t≤ ≤ ∴这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练, 才能确保集训队员的安全. 【规律方法】 三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问 题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题. 【变式探究】 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|< π 2 )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价格最低为 5 千 元.则 7 月份的出厂价格为 元. 【答案】6000. 【解析】 作出函数简图如图: 三角函数模型为 y=Asin(ωx+φ)+B, 由题意知:A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12, ∴ω= 2π T = π 6 . 高频考点四 函数 的图象与性质的综合应用 【典例 6】(2020·浙江高三专题练习)【多选题】先将函数 的图象上所有的点向右 平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后得到函数 的图象,则下列说法中正确的是 ( ). 5 7 11 18t t≤ ≤ ≤ ≤ 或 ( ) cos 2 16f x x π = − +   4 π ( )y g x=A. 的周期是 B. 是奇函数 C. 的图象关于点 对称 D. 在区间 上单调递增 【答案】AD 【解析】 由题意得 的最小正周期 ,A 正确; 为偶函数,B 错误; 将 的图象上所有的点向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位后, 得到函数 ,令 ,得 , , 令 ,得 ,则 的图象关于点 对称,C 错误; 若 ,则 ,则 在区间 上单调递增,D 正确. 故选:AD. 【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数 在[0,2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】由 , 得 或 , , . 在 的零点个数是 3, 故选 B. 【典例 8】(2017·山东高考真题(理))设函数 ,其中 .已知 ( )f x π 12f x π +   ( )g x 7 ,012 π     ( )g x 0, 3 π     ( )f x 2 2T π π= = cos2 112f x x π + = +   ( )f x 4 π ( ) sin 2 26g x x π = − +   2 6x k π π− = 2 12 kx π π= + k Z∈ 1k = 7 12x π= ( )g x 7 ,212 π     x∈ 0, 3 π     2 [ , ]6 6 2x π π π− ∈ − ( )g x 0, 3 π     ( ) 2sin sin2f x x x= − ( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos ) 0f x x x x x x x x= − = − = − = sin 0x = cos 1x = [ ]0,2πx∈ 0 π 2πx∴ = 、 或 ( )f x∴ [ ]0,2π. (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,求 在 上的最小值. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 (Ⅰ)因为 , 所以 由题设知 , 所以 , . 故 , ,又 , 所以 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 所以 . 因为 , 所以 , 当 , 即 时, 取得最小值 . 【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 2.研究 y=Asin(ωx+φ)的性质时可将 ωx+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题. 【变式探究】 1.(2020·嘉祥县第一中学高三其他)【多选题】已知函数 的 最大值为 ,其图像相邻的两条对称轴之间的距离为 ,且 的图像关于点 对称,则下列 结论正确的是( ). A.函数 的图像关于直线 对称 B.当 时,函数 的最小值为 C.若 ,则 的值为 D.要得到函数 的图像,只需要将 的图像向右平移 个单位 【答案】BD 【解析】 由题知:函数 的最大值为 ,所以 . 因为函数 图像相邻的两条对称轴之间的距离为 , 所以 , , , . 又因为 的图像关于点 对称, 所以 , , . 所以 , .因为 ,所以 . 即 . ( ) ( )sin 0, 0 2f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + >  , 2 2 π ( )f x ,012 π −   ( )f x 5π 12x = ,6 6x π π ∈ −   ( )f x 2 2 − 3 2 6 5f π α − =   4 4sin cosα α− 4 5 − ( )f x ( ) 2 cos2g x x= 6 π ( )f x 2 2A = ( )f x 2 π 2 2 T π= 2T π πω= = 2ω = ( ) ( )2 sin 2 f x x ϕ= + ( )f x π ,012  −   2 sin =012 6f π π ϕ           − = − + 6 kππ ϕ− + = k Z∈ 6 k πϕ π= + k Z∈ 2 πϕ < 6 π=ϕ ( ) 2 sin 2 6f x x π= +    对选项 A, ,故 A 错误. 对选项 B, , , 当 时, 取得最小值 , 故 B 正确. 对选项 C, , 得到 . 因为 , 故 C 错误. 对选项 D, 的图像向右平移 个单位得到 , 故 D 正确. 故选:BD 2. (2020·全国高三(文))已知 ,函数 . (Ⅰ)若 ,求 的单调递增区间; (Ⅱ)若 的最大值是 ,求 的值. 【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ) . 【解析】 (Ⅰ)由题意 由 ,得 . 2 sin 0 25 12f π π= =    ≠ ± ,6 6x π π ∈ −   2 ,6 6 2x π π π + ∈ −   π π2 6 6x + = - ( )f x 2 2 − 3 22 sin( 2 ) 2 cos26 2 5f π πα α α − = − = =   3cos2 5 α = ( )( )4 4 2 2 2 2 3sin cos sin cos sin cos cos2 5 α α α α α α α− = + − = − = − ( ) 2 cos2g x x= 6 π 2 cos2 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 26 3 2 3 6y x x x x π π π π π        = − = − = + − = +                 0 ϕ π≤ < 23( ) cos(2 ) sin2f x x xϕ= + + 6 π=ϕ ( )f x ( )f x 3 2 ϕ 2[ , ]3 6k k π ππ π− − k Z∈ 2 ϕ π= ( ) 1 3 1cos2 sin24 4 2f x x x= − + 1 1cos 22 3 2x π = + +   2 2 23k x k ππ π π− ≤ + ≤ 2 3 6k x k π ππ π− ≤ ≤ −所以单调 的单调递增区间为 , . (Ⅱ)由题意 ,由于函数 的最大值为 ,即 , 从而 ,又 , 故 . ( )f x 2 ,3 6k k π ππ π − −   k Z∈ ( ) 3 1 3 1cos cos2 sin sin22 2 2 2f x x xϕ ϕ = − − +    ( )f x 3 2 2 2 3 1 3cos sin 12 2 2 ϕ ϕ   − + =          cos 0ϕ = 0 ϕ π≤ < 2 πϕ =

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