专题 3.9 函数的实际应用
【考纲解读与核心素养】
1. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；
（2）函数的综合应用.
（3）常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇．
4.备考重点
（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.
（2）函数的综合应用.
【知识清单】
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函数模型：y＝
k
x(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴
平行
随 x 的增大逐渐表现为与
x 轴平行
随 n 值变化
而各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax 4850 4500 5000 55000.7
− + =
3200 5500 8700+ =
( )8700 5000 0.7 5000 0.9 7090− × + × =
( )2880 4850 7090 640+ − =4 268 600 0．45
5 388 1000 0．40
6 568 1700 0．35
7 788 2588 0．30
（I）写出“套餐”中方案 的月话费 （元）与月通话量 （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时
之和）的函数关系式；
（II）学生甲选用方案 ，学生乙选用方案 ，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生
甲的电话资费；
（III）某用户的月通话量平均为 320 分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理
由.
【答案】(1) （2） 元. （3）见解析
【解析】
(1)由题意得，当 时， ;
当 时， 。
故所求解析式为
（2）设该月甲乙两人的电话资费均为 元,通话量均为 分钟.
①当 时, 甲乙两人的电话资费分别为 元, 元,不相等；
②当 时, 甲乙两人的电话资费分别为 （元）,
元, , ；
③当 时, 甲乙两人的电话资费分别为 （元）,
（元）, 解得
所以该月学生甲的电话资费 元.
（3）月通话量平均为 320 分钟，方案 的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；
1 y t
1 2
30,0 48,{ 0.6 1.2, 48.
ty t t
≤ ≤= − > 98
0 48t≤ ≤ y 30=
48t > ( )30 0.6 48 0.6 1.2y t t= + × − = −
30,0 48,{ 0.6 1.2, 48.
ty t t
≤ ≤= − >
a b
0 48b≤ ≤ 30 98
170b > ( )1 30 0.6 48y b= + −
( )2 98 0.6 170y b= + − 2 1 5.2 0y y− = − < 2 1y y<
48 170b< ≤ ( )30 0.6 48a b= + −
98a = 484.3b =
98
1方案 的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；
方案 的月话费为 168 元. 其它方案的月话费至少为 268 元.
经比较, 选择方案 更合算.
【总结提升】
1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，
验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大
于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)．
3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构
成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵
循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量
的范围，特别是端点．
高频考点二：二次函数模型
【典例 3】（2020·北京高三期末）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 天内,这种水果每
箱的销售利润 (单位:元)与时间 ,单位:天)之间的函数关系式为 , 且日销售
量 (单位:箱)与时间 之间的函数关系式为
①第 天的销售利润为__________元;
②在未来的这 天中,公司决定每销售 箱该水果就捐赠 元给 “精准扶贫”对象.为保证销售
积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间 的增大而增大,则 的最小值是__________．
【答案】1232 5
【解析】
①因为 ， ，所以该天的销售利润为 ；
②设捐赠后的利润为 元，则 ，
化简可得， ．
令 ，因为二次函数的开口向下，对称轴为 ，为满足题意所以，
2
3
3
20
r 1 20( ,t t t N≤ ≤ ∈ 1 104r t= +
y t 120 2y t= −
4
20 1 )( *m m N∈
t m
( ) 14 4 10 114r = × + = ( )4 120 2 4 112y = − × = 11 112 1232× =
W ( ) ( ) 1120 2 104W y r m t t m = − = − + −
( )21 2 10 1200 1202W t m t m= − + + + −
( )W f t= 2 10t m= +，解得 ．
故答案为：①1232；②5．
【典例 4】（山东省青岛市 2018 年春季高考二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色
农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经
理按市场价格 元/千克在本市收购了 千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的
市场价格每天每千克将上涨 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合
计 元，而且香菇在冷库中最多保存 天，同时，平均每天有 千克的香菇损坏不能
出售.
（1）若存放 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数关系
式；
（2）李经理如果想获得利润 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购
成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） （2）将这批香菇存放 天后出售（3）存放 天后
出售可获得最大利润为 元.
【解析】
（1）由题意得， 与 之间的函数关系式为：
.
（2）由题意得， ；
化简得， ；
解得， ， （不合题意，舍去）；
因此，李经理如果想获得利润 元，需将这批香菇存放 天后出售.
（3）设利润为 ，则由（2）得，
；
因此当 时， ；
又因为 ，所以李经理将这批香菇存放 天后出售可获得最大利润为 元.
( )
*
2 10 20
1 0
m
f
n N
+ ≥
>
∈
5m ≥【易错提醒】
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
【规律方法】
根据已知条件确定二次函数解析式，一般 用待定系数法，选择规律如下：
【变式探究】
1.（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.
研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是
养殖密度 （单位：尾/立方米）的函数.当 时， 的值为 2 千克/年；当 时， 是 的
一次函数；当 时，因缺氧等原因， 的值为 0 千克/年.
（1）当 时，求 关于 的函数表达式.
（2）当养殖密度 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1） （2）当养殖密度 为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以
达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米.
【解析】
（1）由题意得当 时， .
当 时，设 ，
由已知得 解得 所以 .
故函数
（2）设鱼的年生长量为 千克/立方米，依题意，由（1）可得
v
x 0 4x< ≤ v 4 20x< ≤ v x
20x > v
0 20x< ≤ v x
x
2,0 4,
1 5 ,4 20,8 2
x x N
v
x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
x
0 4x< ≤ 2v =
4 20x< ≤ v ax b= +
20 0,
4 2,
a b
a b
+ =
+ =
1 ,8
5 ,2
a
b
= −
=
1 5
8 2v x= − +
2,0 4,
1 5 ,4 20,8 2
x x N
v
x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
( )f x，
当 时， ， ；
当 时， ， .
所以当 时， 的最大值为 12.5，
即当养殖密度 为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米.
2.(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”
的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车
公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为 20 000 元，每生产一辆新样式单车需要增加投
入 100 元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数 h(x)＝Error!其中 x 是新样式单车
的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
【答案】
【解析】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则
y＝Error!
(2)当 0＜x≤400 时，y＝－
1
2(x－300)2＋25 000，故当 x＝300 时，ymax＝25 000；当 x＞400 时，y＝60 000
－100x 是减函数，故 y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为 300 辆时，自行车厂的利润最大，最
大利润为 25 000 元．
高频考点三：指数函数模型
【典例 5】（2015·四川高考真题（理））某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满
足函数关系 （ 为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 的保鲜时间设计 192
小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.
【答案】24
【解析】
由题意得： ，所以 时，
.
【典例 6】（2019·北京人大附中高考模拟（理））某种物质在时刻 的浓度 与 的函数关系为
（ 为常数）.在 和 测得该物质的浓度分别为 和 ,那么
2
2 ,0 4,
( ) 1 5 ,4 20,8 2
x x x N
f x
x x x x N
∗
∗
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
0 4x< ≤ ( ) 2f x x= ( )0 4x< ≤ ( ) ( )max 4 2 4 8f x f= = × =
4 20x< ≤ ( ) ( )221 5 1 25108 2 8 2f x x x x= − + = − − + ( ) ( )max 10 12.5f x f= =
0 20x< ≤ ( )f x
x在 时,该物质的浓度为___________ ;若该物质的浓度小于 ,则最小的整数 的值为
___________.
【答案】25.56；13.
【解析】
根据条件：ar0+24＝124，ar+24＝64；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
由 得： ；
∴ ；
∴ ；
∴t[lg2﹣（1﹣lg2）]＜﹣5；
∴t（2lg2﹣1）＜﹣5，带入 lg2≈0.301 得：﹣0.398t＜﹣5；
解得 t＞12.5；
∴最小的整数 t 的值是 13．
故答案为：25.56，13．
【规律方法】
1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问
题可以利用指数函数模型来表示．
2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函
数模型．
3．y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”
来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金
选择对数模型增长．
【变式探究】
1.（2019·广西高考模拟（文））一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有 的质量发生衰变,3
4剩余质量为原来的 .若该物质余下质量不超过原有的 ，则至少需要的年数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设原物质的质量为单位 1，一年后剩余质量为原来的 ，两年后变为原来的 ，依此类推，得到 年后
质量是原来的 ，只需要 故结果为 4.
故答案为：B.
2.（2018 届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学第四次考试）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储
存温度 （单位： ）满足函数关系 （ 为自然对数的底数， 为常数），若该食品
在 的保鲜时间是 小时，在 的保鲜时间是 小时，则该食品在 的保鲜时间是（ ）小时.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 时， x=22 时，y=48 代入 可得 ， 即有
则当 时，
故选 D
高频考点四：对数函数模型
【典例 7】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度
可以表示为函数 ，单位 ，其中 表示燕子的耗氧量. 则当燕子静止时的耗氧量时单位和
当一只燕子的耗氧量是 个单位时的飞行速度分别是（ ）
A．10 个 15 B. 10 个 8
C. 15 个 15 D. 50 个 15
【答案】A
【解析】由题意知，当燕子静止时，它的速度 ，代入 ，即 ，
解得 个单位. 所以 .
1
4 1%
3 4 5 6
1
4
21
4
n
1
4
n
1 1 34 100
n
n ≤ ⇒ >
y
x C kx by e += 2.718...e = ,k b
0 C 192 22 C 48 33 C
22 23 33 24
0x = 192,y = kx by e += 12be = 22 48k be + =
11 1 , 1922
k be e= = 33x = 33 1 192 248
k by e += = × =
25log 10
Ov = /m s O
80
/m s /m s
/m s /m s
0v = 25log 10
Ov = 20 5log 10
O=
10O = 2 2
805log 5log 8 1510v = = = /m s【典例 8】（2019 年高考北京理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与
亮度满足 m2−m1= ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星
的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足 ，
令 ，
则
从而 .
故选 A.
【总结提升】
指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型
中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属
于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图
象求解最值问题，必要时可借助导数．
【变式探究】
某种放射性元素的原子数 随时间 变化规律是 ，其中 、 为正的常数. 由放射性元素的这
种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间 为 .
【答案】
2
15
2 lg E
E
1
2 1
2
5 lg2
Em m E
− =
2 11.45, 26.7m m= − = −
( )1
2 1
2
2 2lg ( 1.45 26.7) 10.1,5 5
E m mE
= − = × − + =
10.11
2
10E
E
=
N t 0
tN N e λ−= 0N λ
t
0
1 ln Nt Nλ= −【解析】因为 ，所以 ，两边取以 为底的对数，所以 .
因为 f(x)在 R 上是单调递增的,
所以 .
0
tN N e λ−=
0
tN eN
λ−= e
0
1 ln Nt Nλ= −
( ) ( ) ( )1f a f f b<
微信/支付宝扫码支付