专题 3.7 函数的图象
【考纲解读与核心素养】
1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2．培养学生的数学运算、数据分析、直观想象等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）函数图象的辨识
（2）函数图象的变换
（3）主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不
等式、方程等问题．常常与导数结合考查.
4.备考重点
（1）基本初等函数的图象
（2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.
【知识清单】
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性
等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象 ― ― →关于 x 轴对称
y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象 ― ― →关于 y 轴对称
y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象 ― ― →关于原点对称
y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象 ― ― →关于直线 y＝x 对称
y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x) ― ― →纵坐标不变
各点横坐标变为原来的1
a（a > 0）倍y＝f(ax).
y＝f(x) ― ― →横坐标不变
各点纵坐标变为原来的 A（A > 0）倍y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象 ― ― →x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象 ― ― →y 轴右侧部分翻折到左侧
原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.
【典例剖析】
高频考点一 ：作图
【典例 1】（2020·全国高一）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，
（1）在给定坐标系下画出 的图像，并写出 的单调区间.
（2）求出 的解析式.
【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
（2）
【解析】
（1） 的图像如图所示：
( )f x R 0x ≥ ( ) ( 2)f x x x= −
( )f x ( )f x
( )f x
( ]1,1− ( , 1]−∞ − (1, )+∞
2
2
2 , 0( )
2 , 0
x x xf x
x x x
− ≥= − − ＜
( )f x可得其单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
（2）当 时， ，且 为奇函数，
可得当 时，
故可得 的解析式为： .
【典例 2】(2018 年全国卷Ⅲ理)设函数 ．
（1）画出 的图象；
（2）当 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
( ]1,1− ( , 1]−∞ − (1, )+∞
0x ≥ ( ) ( 2)f x x x= − ( )f x
0x＜ 2( ) ( ) [ ( 2)] ( 2) 2f x f x x x x x x x= − − = − − − − = − − = − −
( )f x
2
2
2 , 0( )
2 , 0
x x xf x
x x x
− ≥= − − ＜（1） 的图象如图所示．
（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故当且仅
当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 ．
【规律方法】
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的
关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
【变式探究】
1.对 、 ，记 ，函数 ．
（1）求 ， ．
（2）写出函数 的解析式，并作出图像．
a b∈R { } ,max , ,
a a ba b b a b
= 1,
所以 a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为
所以选项 A 是正确的，
故答案为：A.
2.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数 在 R 上为减函数，
则函数 的图象可以是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由函数 f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0 且 a≠1）在 R 上为减函数，故 0＜a＜1．函数 y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为 x＞1 或 x＜﹣1，
函数 y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1 时是把函数 y＝logax 的图象向右平移 1 个单位得到的，
故选：D．
3. （2010·山东省高考真题（文））函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为 2、4 是函数的零点，所以排除 B、C；
因为 时 ，所以排除 D,故选 A
高频考点三：用图
【典例 8】（山东省 2018 年普通高校招生（春季））奇函数 的局部图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为奇函数 ，所以 ,
因为 >0> ，所以 ,即 ，
选 A.
22xy x= −
1x = − 0y ∴ − ( ) ( )f x g x<
mA． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在同一直角坐标系中作出函数 f（x）=2x（x＜0）与 g（x）=ln（x+a）的图象，
当 y=lnx 向左平移 a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数 f（x）与 g（x）就不存在关于 y 轴对
称的点，所以 0＜a＜e，
当 y=lnx 向右平移 （a＜0）个单位长度，函数 f（x）与 g（x）总存在关于 y 轴对称的点，
当 a=0 时，显然满足题意，综上：a＜e，
故选：B．
【典例 11】（2020·全国高三其他（文））已知函数 在区间 的
值域为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
在 上为奇函数，图象关于原点对称，
是将上述函数图象向右平移
2 个单位，并向上平移 3 个单位得到，所以 图象关于 对称，则 ，故选 .
【总结提升】
函数图象应用的常见题型与求解策略
( ) ( )( )2 2 24 1x xf x x x e e x− −= − − + + [ ]1,5−
[ ],m M m M+ =
( )( )2 4 x xy x e e x−= − − + [ ]3,3−
( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 24 1 2 4 2 3x x x xf x x x e e x x e e x− − − − = − − + + = − − − + − +
( )f x ( )2,3 6m M+ = C【变式探究】
1.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数 ，若 且 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数 f（x）＝|lg（x﹣1）|，
∵1＜a＜b 且 f（a）＝f（b），
( ) ( )lg 1f x x= − 1 a b< < ( ) ( )f a f b= 2a b+
)3 2 2 + + ∞ ， ( )3 2 2+ +∞，
[ )6 + ∞， ( )6 + ∞，则 b＞2，1＜a＜2，
∴ ，即 ，
可得：ab﹣a﹣b＝0．
那么：a ．
则 2a+b ，当且仅当 b 时取等
号．满足 b＞2，
故选：A．
2.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
则方程 的所有解的和为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
∵ 是定义在 R 上的奇函数，且当 时，
∴当 时，
则
即
则
作出 的图象如图：
( ) ( )1
10
1 1log a lg b− = − 1 11 ba
= −−
1
b
b
= −
( ) ( )2 2 22 21 1 1 3 2 2 31 1 1
bb b b bb b b
− += + = + − + = − + + ≥ +− − − 2 1= +∵ 的图象与 的图象关于 对称
∴作出 的图象，由图象知 与 的图象有三个交点
即 有三个根，其中一个根为 1，另外两个根 a，b 关于 对称
即
则所有解的和为
故选：C．
3.（2018 届湖北省 5 月冲刺）已知 是奇函数， 是偶函数，它们的定义域均为 ，且它
们在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】
根据图像得当 时 异号；当 时 号；由 是奇
函数， 是偶函数，得当 时 ；因此不等式 的解集是
.
4．（2020·浙江省高一期末）若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围
是______.
x 22 2 2x x a+ − < ( ),0−∞ a【答案】
【解析】
关于 的不等式 在 上有解，即关于 的不等式 在 上有解，
作出两函数 图象，其中由 与 相切得
；
由 过点 得 .
由图可知 ，
故答案为：
5 ,22
−
x 22 2 2x x a+ − < ( ),0−∞ x 22 2 2x a x− < − ( ),0−∞
22 , 2 2y x a y x= − = − 2y x a= − 22 2y x= −
( )2 2 52 2 2 ,2 2 2 0, 4 8 2 0, 2x a x x x a a a− = − + − − = ∴∆ = + + = ∴ = −
(2 )y x a= − − (0,2) 2a =
5 51 24 2 2
a a− < < ∴− < <
5 ,22
−
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