2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-5 指数与指数函数

专题 3.5 指数与指数函数 【考纲解读与核心素养】 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 3.了解指数函数的变化特征. 4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5. 高考预测： （1）指数幂的运算； （2）指数函数的图象和性质的应用； （3）与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等 6.备考重点： （1）有理指数幂的运算； （2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； （3）图象过定点； （4）底数分类讨论问题. 【知识清单】 1．根式和分数指数幂 1．n 次方根 定义 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的__n 次方根__，其中 n＞1，且 n∈N* a＞0 x＞0 n 是奇数 a＜0 x＜0 x 仅有一个值，记为n a n 是偶数 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a 个数 a＜0 x 不存在 2.根式 (1)概念：式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质： ①(n a)n＝a. ②n an＝Error! 3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a m n＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 a－ m n＝ 1 n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象和性质 (1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是变量，函数的定义域是 R，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 01； 当 x 1)a ≠ 1( ,1)2 1 ( 0, 1)xy a a aa = − > ≠A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵ ，∴ ，∴函数 需向下平移 个单位，不过（0,1）点，所以排除 A， 当 时，∴ ，所以排除 B， 当 时，∴ ，所以排除 C，故选 D. 【总结提升】 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换 而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x＝1 得到底数的值再进行比较． 3.识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. 0a > 1 0a > xy a= 1 a 1a > 10 1a < < 0 1a< < 1 1a >(2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象 (1)画指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的 图象过定点（0，1）； (2) 与 的图象关于 y 轴对称； (3)当 a＞1 时，指数函数的图象呈上升趋势，当 0＜a＜1 时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺 减． 【变式探究】 1.（2020·上海高一课时练习）函数 和 （其中 且 ）的大致图象只可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由于 过点 ，故 D 选项错误. xy a＝ xy a−＝ xy a= ( 1)y a x= + 0a > 1a ≠ ( 1)y a x= + ( )1,0−当 时， 过 且单调递增； 过点 且单调递增，过 且 .所以 A 选 项错误. 当 时， 过 且单调递减， 过点 且单调递增，过 且 . 所以 B 选项错误. 综上所述，正确的选项为 C. 故选：C 2.如图所示是下列指数函数的图象： (1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx. 则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是 (　　) A．a