2020-2021学年高一数学课时同步练习 第15课 均值不等式的应用

第二单元 等式与不等式 第 15 课 均值不等式的应用 一、基础巩固 1．若 a＞1，则 a＋ 1 a－1的最小值是(  ) A．2    B．a    C. 2 a a－1    D．3 【答案】D  【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋ 1 a－1＝a－1＋ 1 a－1＋1≥2 (a－1)· 1 a－1＋1＝3. 2．已知 x＜0，则 y＝x＋1 x－2 有(  ) A．最大值为 0 B．最小值为 0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】C  【解析】∵x > { 2 0}x x− < < { 2 0}x x x< − >或 { 4 2}x x− < < { 4 2}x x x< − >或 0, 0a b> > 16 162 8a b a b b a b a + ≥ ⋅ = 4a b= 2 2 8x x+ < 4 2x− < < 0, 0x y> > 1 12 2x yx y + + + 3 2 4 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 3 22 2x y x yx y x y + + + ≥ ⋅ + ⋅ = + = 2 2,2 2x y= = A ( 0)a a > ( 0)b b > x 2 a bx += 2 a bx +≤ 2 a bx +> 2 a bx +≥  2, (1 ) (1 )(1 )x A x A a b∴ + = + + 2 2(1 ) (1 )(1 )x a b∴ + = + + 1 11 (1 )(1 ) 12 2 a b a bx a b + + + +∴ + = + + ≤ = + 2 a bx +∴ ≤ 1 1a b+ = + a b= , ,a b c ( )2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + 2 2 2a b ab+ ≥ a b= ( ) ( )22 2 2 22 2a b a ab b a b+ ≥ + + = + ( )2 2 2 2 a ba b ++ ≥ ∴ ，① 同理 ，② .③ ①+②+③，得 ，当且仅当 的时等号成立. 二、拓展提升 9. 若实数 满足 ,则 的最小值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解析】实数 满足 ，则 ,当且仅当 且 时等号成立.故 选 C. 10. 设 若 ，则 的最小值为______． 【答案】9 【解析】因为 ，且 ， 且 ， ， 当且仅当 时取等号， 结合 可解得 且 ， 故所求最小值为 9 故答案为：9 11. 若实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． 【答案】2 3 3   【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤(x＋y 2 )2＋1.∴3 4(x＋y)2≤1. 2 2 2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 b cb c ++ ≥ 2 2 2 c ac a ++ ≥ ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ca b b c c a a b c + ++ + + + + ≥ = + + a b c= = ,a b 0ab > 2 2 14a b ab + + ,a b 0ab > 2 2 1 14 4 4a b abab ab + + ≥ + ≥ 2a b= 1 2ab = 0, 1,a b> > 2a b+ = 4 1 1a b + − 0, 1,a b> > 0, 1,a b> > 1 0b − >∴ ( 1) 1a b+ − = 4 1 4 1( )[ ( 1)]1 1 a ba b a b + = + + −− −∴ 4( 1) 4( 1)5 5 2 91 1 b ba a a b a b − −= + + ≥ + ⋅ =− − 4( 1) 1 b a a b − = − ( 1) 1a b+ − = 2 3a = 4 3b = 12. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝ 1 □＋9 □，试求这两个数． 【答案】见解析 【解析】设1 a＋9 b＝1，a，b∈N*， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)(1 a＋9 b ) ＝1＋9＋b a＋9a b ≥10＋2 b a·9a b ＝10＋2×3＝16， 当且仅当b a＝9a b ，即 b＝3a 时等号成立． 又1 a＋9 b＝1，∴1 a＋ 9 3a＝1，∴a＝4，b＝12. 这两个数分别是 4,12.