2020-2021学年初三数学上册同步练习：实际问题与一元二次方程

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：实际问题与一元二次方程 1．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划 7 天，每 天安排 4 场比赛.设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 满足的关系式为（） A． 1 ( 1 ) 2 82 xx B． 1 ( 1 ) 2 82 xx C． ( 1 ) 2 8xx D． ( 1) 2 8xx 【答案】A 【解析】 【分析】根据应用题的题目条件建立方程即可. 【详解】 解：由题可得： 1 ( 1 ) 4 72 xx   即： 故答案是：A. 【点评】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键. 2．如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个 无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小 正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ） A．10×6﹣4×6x=32 B．（ 10﹣2x）（ 6﹣2x）=32 C．（ 10﹣x）（ 6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】 分析：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的 面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 详解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（ 6−2x）＝32． 故选 B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线 AB 将它分成面积相等的两部分，则 x 的值是（ ） A．1 或 9 B．3 或 5 C．4 或 6 D．3 或 6 【答案】D 【解析】 以 AB 为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即 3×6=x×(9-x)，解得 x=3 或 x=6， 故选 D. 【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键． 4．某商品原价 100 元，连续两次涨价后，售价为 144 元.若平均每次增长率为푥，则푥 =__________． 【答案】20%． 【解析】 试题分析：根据原价为 100 元，连续两次涨价 x 后，现价为 144 元，根据增长率的求解方法，列方程求 x． 试题解析：依题意，有：100（1+x）2=144， 1+x=±1．2， 解得：x=20%或-2．2（舍去）． 考点：一元二次方程的应用． 5．如图,将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开,再把△ ABC 沿着 AD 方向平移,得到△ A′B′C′,当 两个三角形重叠部分的面积为 32 时,它移动的距离 AA′等于________. 【答案】4 或 8 【解析】 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设 A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即 x(12−x)，当 x(12−x)=32 时，解得：x=4 或 x=8，所以 AA′=8 或 AA′=4． 【详解】 设 AA′=x,AC 与 A′B′相交于点 E， ∵△ACD 是正方形 ABCD 剪开得到的， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠A=45∘ ， ∴△AA′E 是等腰直角三角形， ∴A′E=AA′=x， A′D=AD−AA′=12−x， ∵两个三角形重叠部分的面积为 32， ∴x(12−x)=32， 整理得,x 2 −12x+32=0， 解得 x 1 =4,x 2 =8， 即移动的距离 AA′等 4 或 8. 【点评】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 6．用一块长 80cm ，宽 60 cm 的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为 xcm 的小正方形，然后做成底面积 为 21500 cm 的没有盖的长方体盒子，为了求出 x ，根据题意列方程并整理后得________． 【答案】 2 708250xx 【解析】 【分析】本题设小正方形边长为 xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含 x 的代数式表示，从而这个长方 体盒子的底面的长是（80-2x）cm，宽是（60-2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面 面积，方程可列出． 【详解】 解：由题意得：（80-2x）（ 60-2x）=1500 整理得：x2-70x+825=0 故答案为 x2-70x+825=0． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的 关键． 7．“农民也能报销医疗费了!”这是国家推行新型农村医疗合作的成果．村民只要每人每年交 10 元钱，就 可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款，这一举措极大地 增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以 下的统计图． 根据以上信息，解答以下问题： （1）本次调查了______名村民，被调查的村民中，有______人参加合作医疗得到了返回款? （2）若该乡有 10000 名村民，请你估计有多少人参加了合作医疗? （3）要使两年后参加合作医疗的人数增加到 9680 人，假设这两年的年平均增长率相同，求年平均增长率． 【答案】（1）300，6；（ 2）8000；（ 3）10%. 【解析】 【分析】(1)根据样本容量为各组频数之和，可得共有 240+60=300（人）；其中有 2.5%即 6 人得到了返回款； (2)用样本估计总体即可得出答案． (3)根据一元二次方程的平均增长率的问题求解即可. 【详解】 （1）调查的村民数=240+60=300 人， 参加合作医疗得到了返回款的人数=240×2.5%=6 人； （2）∵参加医疗合作的百分率为 240 300 =80%， ∴估计该乡参加合作医疗的村民有 10000×80%=8000 人， （3）设年增长率为 x，由题意知 8000×（1+x）2=9680， 解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍去）， 即年增长率为 10%． 答：共调查了 300 人，得到返回款的村民有 6 人，估计有 8000 人参加了合作医疗，年增长率为 10%． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分 比之和为 1，直接反映部分占总体的百分比大小． 8．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进 2008 年的月工 资为 2000 元，在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元，他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的 平均增长率继续增长． （1）尹进 2011 年的月工资为多少? （2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书 和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价 弄对换了，故实际付款比 2011 年 6 月份的月工资少了 242 元，于是他用这 242 元又购买了甲、乙两种工具 书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？ 【答案】（1）尹进 2011 年的月工资为 2420×(1＋0.1)=2662 元. （2）尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本. 【解析】 【分析】(1)先求出尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率，然后用这个增长率求 2011 年月工资； （2）设甲、乙两种工具书单价和本数，根据题意列出三个方程，解方程求出尹进总共捐献工具书本数，特 别是还要加上后来买的二本. 【详解】 解:（1）设尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率为 x,则 2000（1＋x）2＝2420． 解得 ，x1＝－2.1 , x2＝0.1, (2 分 ) x1＝－2.1 与题意不合，舍去. ∴尹进 2011 年的月工资为 2420×(1＋0.1)=2662 元. （2）设甲工具书单价为 m 元，第一次选购 y 本.设乙工具书单价为 n 元，第一次选购 z 本.则由题意， 可列 方程:m＋n＝242， ① ny＋mz＝2662， ② my＋nz＝2662－242． ③ 由②＋③，整理得，（m＋n）（ y＋z）＝2×2662－242 由①,∴242（y＋z）＝2×2662－242，∴ y＋z＝22－1＝21． 答：尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本. 9．如图，在 ABC 中， C90  ， 6cmAC  ， 8cmBC  ，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1 c m /s 的速度移动，点 Q 从点 出发沿边 CB 向点 B 以 2 c m / s 的速度移动． （1）如果点 PQ， 同时出发，几秒后，可使 PCQ 的面积为 28cm ？ （2）点 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形 APQB 的面积等于 的面积的 1 4 ？若 存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2 秒或 4 秒时， 的面积为 ．（ 2）不存在某一时刻使四边形 的面积等于 面积的 ． 【解析】 【分析】（1）设 x 秒后，可使 P C Q 的面积为 28cm ，根据三角形的面积公式即可列式求解； （2）设 y 秒时，四边形 A P Q B 的面积等于 ABC 的面积的 1 4 ，则 的面积是 的面积的 3 4 ， 根据三角形的面积公式列方程，根据根的判别式进行判断即可. 【详解】 解：（1）设 秒后，可使 的面积为 ． 由题意，得 1 (6 ) 2 82 xx   ． 解得 1 2x  ， 2 4x  ． 所以，2 秒或 4 秒时， 的面积为 ． （2）不存在．理由如下： 设 秒时，四边形 的面积等于 的面积的 ，则 的面积是 的面积的 ． 由题意，得 131(6)268242 yy ，即 2 6 18 0yy   ． 由于 36418360   ，方程没有实数根． 所以，不存在某一时刻使四边形 的面积等于 面积的 ． 【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式求解. 10．某电商销售一款时装，进价 40 元/件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一件需缴纳平台推广费 5 元．该电商计划开展降价促销活动，通过市场调研发现，该时装售价每降1元，每天销量增加 4 件．为保 证市场稳定，供货商规定售价不得低于80 元/件．问该电商对这款时装的每件售价定为多少元才能使每天扣 除平台推广费之后的利润达到 4500 元？ 【答案】每件售价定为90 元才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到 元 【解析】 【分析】设降价 x 元后利润达到 4500 元.则每天可售出(20+4x)件,每件盈利(110-40-5-x)元.再根据相等关系: 每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利;列方程求解即可. 【详解】 设降价 x 元后利润达到 4500 元, 由题意得: (110-40-5-x) (20+4x)=4500 解得: 1220, 40xx, 又∵售价不得低于 80 元/件, ∴取 x=20,即售价为 90 元/件, 答:每件售价定为 90 元才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到 4500 元. 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找到等量关系建立方程.