2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数与实际问题

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数与实际问题 1．羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 y＝－ 1 4 x2+ 3 4 x+1 的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不 正确的是（ ） A．出球点 A 离地面点 O 的距离是 1m B．该羽毛球横向飞出的最远距离是 3m C．此次羽毛球最高可达到 25 16 m D．当羽毛球横向飞出 3 2 m 时，可达到最高点 【答案】B 【解析】【分析】 A、当 x=0 时代入解析式求出 y 的值即可； B、当 y=0 时代入解析式求出 x 的值即可； C、将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； D、由抛物线的顶点式可以得出结论． 【详解】 解：A.当 x＝0 时，y＝1， 则出球点 A 离地面点 O 的距离是 1m，故 A 正确； B.当 y＝0 时，﹣ x2+ x+1＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故 B 错误； C. ∵y＝﹣ 1 4 x2+ x+1， ∴y＝﹣ (x﹣ 3 2 )2+ 25 16 ， ∴此次羽毛球最高可达到 m，故 C 正确； D. ∵ 21325-()4216yx ， ∴当羽毛球横向飞出 m 时，可达到最高点．故 D 正确． ∴只有 B 是错误的． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解 答时将二次函数的解析式的一般式化为顶点式是关键． 2．某工厂 2015 年产品的产量为 100 吨，该产品产量的年平均增长率为 x（x＞0），设 2017 年该产品的产量 为 y 吨，则 y 关于 x 的函数关系式为（ ） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x）2 C．y＝ 2 100 (1 )x D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 【答案】B 【解析】根据题意，由“2017 年的产量=2015 年的产量×（1+年平均增长率）2”得：y 关于 x 的函数关系式为 y=100（1+x）2. 故选 B． 【点评】 本题主要考查列二次函数解析式，得到 2017 年产量的等量关系是解决本题的关键． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线 1l 的解析式为 2yx ，将抛物线 平移后得到抛物线 2l ，若抛物线 经过点  3 , 1 ，且对称轴为 1x  . (1)求抛物线 的解析式； (2)求抛物线 的顶点坐标； (3)若将抛物线 沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线 3l ，设抛物线 的顶点坐标为 B ，直线 OB 与抛物 线 的另一个交点为 C ，当 O B O C 时，求点 的坐标. 【答案】(1) 的解析式为   213yx    ；(2)抛物线 的顶点坐标为(1，3)；(3)点 坐标为  1, 2 . 【解析】【分析】 （1）根据题意可设抛物线 l2 的解析式：y=-（x-1）2+k，又由抛物线 l2 经过点（3，-1），即可求得抛物线 l2 的解析式； （2）由抛物线 l2 的解析式即可得抛物线 l2 的顶点坐标； （3）首先设 l3 的解析式为：y=-（x-1）2+3+m，然后由抛物线 l3 的顶点坐标为 B，可求得 B 的坐标，又由 直线 OB 于抛物线 l3 的另一个交点为 C，当 OB=OC 时，可得点 C 的坐标，然后代入函数解析式，即可求得 答案． 【详解】 (1)根据题意，设抛物线 的解析式为  21y x k    ，将点 3, 1 代入函数解析式， ∴ 14k    . 解得 3k  ， ∴ 的解析式为 . (2)抛物线 2l 的顶点坐标为(1，3). (3)设 3l 的解析式为   213yxm ， ∴点 B 坐标为  1,3 m . ∵ 、O 、C 三点共线且OB OC ， ∴点 坐标为  1, 3 m   . ∵ 在 上， ∴  21133 mm . ∴ 1m  . ∴点 坐标为  1 , 2 . 【点评】此题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方 法等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 4．一座隧道的截面由抛物线和长方形的构成，长方形的长为 8 米，宽为 2 米，隧道的最高点 P 位于 AB 的 中央且距地面 6m. (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线解析式； (2)如果隧道为单行道，一辆货车高 4 米，宽 3 米，能否从隧道内通过，说明理由． 【答案】(1) y=- 1 4 (x﹣4)2+6；(2)货车可以通过． 【解析】【分析】 （1）建立如图所示的坐标系，可得抛物线的顶点坐标(4，6)，再利用待定系数法求函数的解析式即可；（2） 令 y＝4，解方程求得 x 的值，计算|x1﹣x2|的值与 3 比较即可解答. 【详解】 解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标(4，6)， 设抛物线的方程为 y＝a(x﹣4)2+6， 又∵点 A(0，2)在抛物线上， ∴2=a(0-4)2+6， ∴a=- 1 4 因此有：y=- (x﹣4)2+6． (2)令 y＝4，则有 4=- (x﹣4)2+6， 解得 x1＝4+2 2 ，x2＝4﹣2 ， |x1﹣x2|＝4 >3， 故货车可以通过． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质及其应用，求出横坐标之间的距离与货车的宽作比较是解决第（2） 题关键． 5．某商场经营一批进价 2 元的小商品，在经营中发现此商品的日销售单价与日销量之间的关系如表： 日销售单价（元） 3 5 7 9 11 日销量（件） 18 14 10 6 2 （1）上表反映了日销售单价与日销量之间的关系，其中 是自变量， 是因变量． （2）如果用 x 表示日销售单价，y 表示日销量，那么 y 与 x 之间的关系式是 ； （3）日销售单价为 元时，商场日销售盈利最高？（盈利  日销售总额-日销售商品的总进价） 【答案】(1) 日销售单价，日销量；(2)y=24-2x；(3)7 【解析】【分析】 (1)根据自变量和因变量的定义得出答案； (2)用待定系数法求出一次函数的解析式，进而得到答案； (3)根据题中的公式，得出盈利与售价的关系为二次函数，再利用二次函数求最大值. 【详解】 解：(1)由题意可知：日销售单价与日销售量的关系，其中：日销售单价是自变量，日销量是因变量. 故答案为：日销售单价，日销量； (2)由表格中数据，设 y 与 x 之间的关系式是为：y=kx+b. 代入表格中的数据(3,18)和(5,14)，可得 3 18 5 14 kb kb    ，解之得： 2 24 k b    ， ∴ 224yx  故 y 与 x 之间的关系式是为： . (3)由题意知：    2242222848wxxxx  . 当   28 7222 bx a  时， w 有最大值，即此时商场日销售盈利最高. 故日销售单价为 7 元时，商场日销售盈利最高. 【点评】本题主要考察了一次函数解析式的求法、二次函数的最值问题以及实际应用，正确求出解析式是 解题关键. 6．王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用 30 分钟时 间进行自主学习．假设他用于解题的时间 x(单位：分钟)与学习收益量 y 的关系如图甲所示，用于回顾反思 的时间 x(单位：分钟)与学习收益量 z 的关系为 z= 2 10(05) 25(515) xxx x    ，且用于回顾反思的时间不超过用 于解题的时间． (1)求王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 30 分钟的学习收益总量最大？(学习收益总量＝解题的 学习收益量+回顾反思的学习收益量) 【答案】(1)y=2x. 自变量 x 的取值范围是：15≤x≤30；(2)解题的时间为 26 分钟，用于回顾反思的时间为 4 分钟时，学习收益总量最大． 【解析】【分析】 （1）设王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式为 y＝kx，观察图象可知该函数图 象过点（2,4），代入即可求得 k 值，由此即可求得函数解析式，根据题意直接确定 x 的取值范围即可；（2） 设王亮用于回顾反思的时间为 x(0≤x≤15)分钟，学习效益总量为 W，分当 0≤x≤5 时和当 5＜x≤15 时两种情况 求得 w 与 x 的函数关系式，根据函数的性质求得 w 的最大值，比较即可解答. 【详解】 解：(1)设 y＝kx，把(2，4)代入， 得：k=2， ∴y=2x. 自变量 x 的取值范围是：15≤x≤30． (2)设王亮用于回顾反思的时间为 x(0≤x≤15)分钟，学习效益总量为 W， 则他用于解题的时间为(30﹣x)分钟． 当 0≤x≤5 时，W＝﹣x2+10x+2(30﹣x)＝﹣x2+8x+60＝﹣(x﹣4)2+76． ∴当 x＝4 时，W 最大＝76． 当 5＜x≤15 时，W＝25+2(30﹣x)＝﹣2x+85． ∵W 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝5 时，W 最大＝75 综合所述，当 x＝4 时，W 最大＝76，此时 30﹣x＝26． 即王亮用于解题的时间为 26 分钟，用于回顾反思的时间为 4 分钟时，学习收益总量最大． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大 值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 7．如图，在 ABC 中， 90B ， 12AB  mm ， 24BC  ，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度移动（不与点 重合），动点 Q 从点 开始沿边 BC 向 C 以 4 的速度移动（不与点 重合）. 如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过______秒，四边形 APQC 的面积最小. 【答案】3 【解析】【分析】 根据等量关系“四边形 APQC 的面积等于三角形 ABC 的面积减去三角形 PBQ 的面积”列出函数关系求最小 值． 【详解】 解：设 P、Q 同时出发后经过的时间为 ts，四边形 APQC 的面积为 Scm2，则有： S=S△ ABC-S△ PBQ= 1 2 ×12×6- （6-t）×2t =t2-6t+36 =（t-3）2+27． ∴当 t=3s 时，S 取得最小值． 故填：3． 【点评】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据 二次函数的性质求出最值． 8．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点 O 最远的一条水流(如图②)， 其上的水珠的高度 y(米)关于水平距离 x(米)的函数解析式为 y＝－x2＋4x＋ 9 4 ，那么圆形水池的半径至少为 _______米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 【答案】 9 2 【解析】【详解】 当 y=0 时，即-x2+4x+ 9 4 =0， 解得 x1= 9 2 ，x2=- 1 2 （舍去）． 答：水池的半径至少 米时，才能使喷出的水流不落在水池外． 故答案是： ．