2020-2021学年初三数学上册同步练习：直线和圆的位置关系

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：直线和圆的位置关系 1．如图，PA、PB 切⊙O 于点 A、B，PA=8，CD 切⊙O 于点 E，交 PA、PB 于 C、D 两点，则△ PCD 的周 长是（ ） A．8 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【解析】【分析】根据 PA，PB 切⊙O 于 A、B 两点，CD 切⊙O 于点 E，根据切线长定理可得：PB=PA=8， CA=CE，DB=DE，继而可得△ PCD 的周长=PA+PB． 【详解】 解：∵PA，PB 切⊙O 于 A、B 两点，CD 切⊙O 于点 E， ∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE， ∴△PCD 的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16． 故选：C． 【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 2．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任意一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，那么⊙P 与 OB 的位 置位置是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】B 【解析】【分析】由切线的判定，结合角平分线的性质，即可证明． 【详解】 解：设以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，切点为 N,连接 NP． ∵⊙P 与 OC 相切． ∴PN⊥OC． 即 PN 为圆半径， 作 PM⊥OB． 又∵OA 平分∠BOC，并由角平分线的性质． ∴PM=PN=圆半径． ∴⊙P 与 OB 的位置关系为相切． 故选：B． 【点评】此题综合运用了角平分线的性质、直线与圆的位置关系和数量之间的等价关系． 3．△ ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是 （ ） A．120° B．125° C．135° D．150° 【答案】C 【解析】【分析】CD 是 AB 边上的高，则∠ADC=90°，I 是△ ACD 的内心，则 AI、CI 分别是∠DAC 和∠DCA 的角平分线，由此可求得∠AIC 的度数；再根据∠AIB 和∠AIC 的关系，得出∠AIB． 【详解】 解：如图．∵CD 为 AB 边上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°； 又∵I 为△ ACD 的内切圆圆心， ∴AI、CI 分别是∠BAC 和∠ACD 的角平分线， ∴∠IAC+∠ICA=45°， ∴∠AIC=135°； 又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI； ∴△AIB≌△AIC（SAS）， ∴∠AIB=∠AIC=135°． 故选 C． 【点评】此题重点考查学生对等腰三角形的性质、三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形 的性质的理解，掌握相关性质定义和定理是解题的关键. 4．填表： 直线与圆的位置 关系 图形 公共点个 数 公共点名 称 圆心到直线的距离 d 与圆的半 径 r 的关系 直线的名 称 相交 相切 相离 【答案】答案见解析 【解析】【分析】设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d．直线和圆的三种位置关系：①相离：一条 直线和圆没有公共点⇔d＞r．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫 圆的切线，唯一的公共点叫切点⇔d=r．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线⇔d＜r． 【详解】 直线与圆的位置 关系 图形 公共点个 数 公共点名 称 圆心到直线的距离 d 与圆的半 径 r 的关系 直线的 名称 相交 2 交点 d＜r 割线 相切 1 切点 d=r 切线 相离 0 / d＞r / 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，直线和圆的三种位置关系：相离、相切和相交． 5．圆心 O 到直线 l 的距离为 d， O 的半径为 R，若 d，R 是方程 2 9200xx 的两个根，则直线和圆的 位置关系是________；若 d，R 是方程 2 20xmx 的两个根，则 m  ________时，直线与圆相切. 【答案】相离或相交 22 【解析】【分析】（1）先求解方程得到两个根，然后分情况讨论即可； （2）根据切线的判定可得 d=R，然后根据根的判别式△ =0 即可求得 m 的值. 【详解】 解：（1）∵ 2 9 20 0xx   ， ∴    450xx ， 解得：x1=4，x2=5， ∵d，R 是方程 的两个根， 当 d=4，R=5 时，直线和圆的位置关系是相交； 当 d=5，R=4 时，直线和圆的位置关系是相离； （2）∵直线与圆相切， ∴d=R， ∵d，R 是方程 2 20xmx 的两个根， ∴△=m2﹣4×2=0， 解得 22m  ， ∵d，R 均为正数， ∴m= 22 . 故答案为(1). 相离或相交；(2). . 【点评】本题主要考查圆和直线的位置关系，切线的判定，解一元二次方程及其根的判别式，解此题的关 键在于熟练掌握其知识点. 6．如图，△ ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 则 AF 的长为_____． 【答案】4 cm 【解析】【分析】设 AF=acm，根据切线长定理得出 AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出 BD=BF=（9-a）cm， CD=CE=（13-a）cm，根据 CD+BD=BC，代入求出 a 即可． 【详解】 设 AF=acm， ∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F， ∴AF=AE，CE=CD，BF=BD， ∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm， ∵BD+CD=BC=14cm， ∴（9-a）+（13-a）=14， 解得：a=4， 即 AF=4cm． 故答案为 4cm. 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出 AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方 程思想． 7．（ 1）已知平面内任意一点 A，试在平面内作一条直线 m，使点 A 到直线 m 的距离是 2cm． （2）已知平面内任意一点 A，试在平面内作四条直线 1 2 3 4, , ,m m m m ，使点 A 到四条直线的距离是 2cm． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离的定义作图即可 （2）根据圆的切线的性质作图即可 【详解】 （1）如图所示，作线段 2 c mAB  ，过点 B 作 A B m ．则直线 m 即为所求． （2）如图所示，以点 A 为圆心，以 2R c m 长为半径画圆 A，在圆 A 上任取四点 P，Q，M，N，依次连 接 PA，QA，MA，NA．再分别过 P，Q，M，N 点作半径 PA，QA，MA，NA 的垂线 1m ， 2m ， 3m ， 4m ， 则这四条直线为所求． 【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握点到直线的距离的定义、圆的切线的性质 8．已知：如图，⊙O 是 Rt△ ABC 的内切圆，∠C=90°． (1)若 AC=12cm，BC=9cm，求⊙O 的半径 r； (2)若 AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O 的半径 r． 【答案】（1）r=3cm. (2) r= 1 2 （a+b-c）． 【解析】【分析】首先设 AC、AB、BC 与⊙O 的切点分别为 D、E、F；易证得四边形 OFCD 是正方形；那 么根据切线长定理可得： CD=CF= （AC+BC-AB），由此可求出 r 的长． 【详解】 （1）如图,连接 OD，OF； 在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm； 根据勾股定理 AB= 22A C B C =15cm； 四边形 OFCD 中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°； 则四边形 OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF； 则 CD=CF= （AC+BC-AB）； 即：r= （12+9-15）=3cm． （2）当 AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得： CD=CF= （AC+BC-AB）； 即：r= （a+b-c）．则⊙O 的半径 r 为： （a+b-c）． 【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形 OFCD 是正方 形是解题关键． 9．已知：如图，△ ABC 三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长为 r．求△ ABC 的面积 S． 【答案】S= 1 2 (a+b+c)r 【解析】【分析】设△ ABC 与⊙O 相切与点 D、E、F．连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据 S△ ABC=S△ AOB+S△ OBC+S△ OAC，即可求解 【详解】 如图，设△ ABC 与⊙O 相切与点 D、E、F．连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF． 则 OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC． ∵S△ AOB= AB•OD= cr，同理，S△ OBC= ar，S△ OAC= br． ∵S△ ABC=S△ AOB+S△ OBC+S△ OAC，即 S= cr+ ar+ br= (a+b+c)r 【点评】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ ABC 的面积的计算分解成几个三角形 的面积的计算是关键. 10．Rt ABC△ 的斜边 5cmAB  ，直角边 3cmAC  ，圆心为 C，半径为 2cm 和 3cm 的两个圆 1C 和 2C 与直线 AB 有怎样的位置关系？半径为多少时，AB 与 C 相切？ 【答案】 1C 与 AB 相离； 2C 与 AB 相交；当半径为 12 cm5 时，AB 与 C 相切. 【解析】【分析】过点 C 作 C D A B 于点 D，利用勾股定理求得 BC 的长，再利用三角形的面积公式求得 CD 的长，进而判定圆 和 与 AB 的位置关系，根据切线的判定得到 的半径. 【详解】 解：如图，过点 C 作 于点 D. 在 Rt ABC△ 中， 90ACB ， 224cmBCABAC ， 由面积公式，得 · ·AC BCABCD ，  3 4 12 cm55CD    ， 12 25  ， 1C 与 AB 相离； 12 35  ， 2C 与 AB 相交； 当半径为 时，AB 与 相切. 【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知 识点. 11．如图所示，PB 与 O 相切于点 B，OP 交 于点 A， B C O P 于点 C， 3 c mOA  ， 4 c mOP  ， 则 AC 的长为________. 【答案】 3 4 cm 【解析】【分析】连接 OB，根据切线性质可得 OB⊥BP，利用勾股定理求得 BP 的长，再利用三角形的面积 公式求得 BC 的长，在 Rt△ OBC 中利用勾股定理求得 OC 的长，进而得到 AC 的长. 【详解】 解：连接 OB， ∵PB 与 相切于点 B， ∴OB⊥BP， ∴ 227BPOPOB cm， 又∵ ， ∴S△ OBP= 11 22OB BP BC OP   ， ∴ 37 4 OBBPBC OP cm， ∴ 229 4OCOBBC cm， 则 AC=OA﹣OC=3﹣ 93 44 cm. 故答案为： 3 4 cm. 【点评】本题主要考查切线的性质，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，也可利用相似三 角形的性质进行解答.