苏州市2021届高三（10月）苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题 （含答案）

高三八校联考数学试卷 第 1 页 共 11 页 2021 届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试卷 2020.10 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1． 已知集合 ，若 ，则 =（ ▲ ） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} 2．命题“ ”的否定是（ ▲ ） A． B． C． D． 3． 的部分图象大致是（ ▲ ） 4．函数 在 处的切线方程为（ ▲ ） A. B. C. D. 5．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 的 最大值为（ ▲ ） A. B. C. D. 6．如图直角坐标系中，角 、角 的终边分别交 单位圆于 A,B 两点，若 B 点的纵坐标为 ，且满足 ，则 的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．已知 ，则（ ▲ ） A. B. C. D. 8．函数 的值域为（ ▲ ） A． B． C． D． { }1 21 2 16 , 4 02 xA x N B x x x m+ = ∈ < < = − + =   1 A B∈  A B (0,1),x∀ ∈ 2 0x x− < 0 (0,1),x∃ ∉ 2 0 0 0x x− ≥ 0 (0,1),x∃ ∈ 2 0 0 0x x− ≥ 0 (0,1),x∀ ∉ 2 0 0 0x x− < 0 (0,1),x∀ ∈ 2 0 0 0x x− ≥ ( ) 1 cos xf x x = − 2 (ln 1)y x x= + 1x = 4 2y x= + 2 4y x= − 4 2y x= − 2 4y x= + ABC∆ A B C a b c cos2 2sin sin 1B A C+ = B 6 π 4 π 3 π 2 π (0 )2 πα α< < ( 0)2 πβ β− < < 5 13 − 3 4AOBS∆ = 1sin ( 3 cos sin )2 2 2 2 α α α− + 5 13 − 12 13 12 13 − 5 13 0, 0, 1a b a b> > + = b aa b≥ b aa b≤ 1 2 a ba b+ > 1a ba b+ < ( ) 2 2 2 216sin 9cos 16cos 9sinf x x x x x= + + + [ ]5,10 5 2,10   [ ]7,10 7,5 2   高三八校联考数学试卷 第 2 页 共 11 页 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．下面命题正确的是（ ▲ ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．在 中，“ ”是“ ”的充要条件 C．设 ,则“ 且 ”是“ ”的必要而不充分条件 D．设 ,则“ ”是“ ”的必要不充分条件 10．已知函数 ， 是 的导函数，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A．函数 的值域与 的值域不相同 B．把函数 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象 C．函数 和 在区间 上都是增函数 D．若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点 11．设 ，称 为 a,b 的调和平均数，称 为 a,b 的加权平均数.如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a,CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD,AD,BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则（ ▲ ） A．OD 的长度是 a,b 的几何平均数 B．DE 的长度是 a,b 的调和平均数 C．CD 的长度是 a,b 的算术平均数 D．FC 的长度是 a,b 的加权平均数 12．关于函数 ，下列判断正确的是（ ▲ ） A． 是 的极大值点 B．函数 有且只有 1 个零点 C．存在正实数 ，使得 成立 D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 . 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对 的给 5 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．若关于 x 的不等式 的解集是 ，则关于 x 的不等式 的解集是 ▲ . 14．已知函数 ，则 ▲ ；若实数 满足 ，则 的取 值范围是 ▲ . 15．如图，在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正 北方向的公路 AC 和 BD，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设 ，为了节省建设成本，要使得 的值最 小，则当 的值最小时，AE= ▲ km . 16．已知 ，且 ， 1a > 1 1a < ABC∆ sin cos sin cosA A B B+ = + A B= ,x y R∈ 2x ≥ 2y ≥ 2 2 4x y+ ≥ ,a b∈R 0a ≠ 0ab ≠ ( ) sin cosf x x x= − ( )g x ( )f x ( )f x ( )g x ( )f x 2 π ( )g x ( )f x ( )g x ,4 4 π π −   0x ( )f x 0x ( )g x 0, 0a b> > 2ab a b+ 2 2 2 a b+ ( ) 2 lnf x xx = + 2x = ( )f x ( )y f x x= − k ( )f x kx> 1x 2x 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ > 0ax b− < ( )1,+∞ 02 ax b x + >− ( ) , 0 1 , 0 x xf x x x  >=  + ≤ ( )( )5f f − = a ( )( )f f a a≥ a (0 )2EPA πα α∠ = < < PE PF+ PE PF+ , ( , )4 2 π πα β ∈ 2 2sin sin sin( ) cos cosα β α β α β⋅ = + ⋅ ⋅ 高三八校联考数学试卷 第 3 页 共 11 页 则 的最大值为 ▲ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17．(本小题满分 10 分) （1）已知 ，求 的值； （2）求值： . 18．(本小题满分 12 分) 在 中，角 的对边分别为 ， .有以下 3 个条件： ① ；② ；③ . 请在以上 3 个条件中选择一个，求 面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．(本小题满分 12 分) 如图，A、B 是一矩形 OEFG 边界上不同的两点，且 ,OE=1,EF= ，设∠AOE= . （1）写出△AOB 的面积关于 的函数关系式 ； （2）求（1）中函数 的值域. ( )tan α β+ 2lg lg lg2 x y x y − = + x y 14sin80 tan10 ° − ° ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2c = 2 cosc A b= 2 2 cosb a c A− = 2a b c+ = ABC∆ 45AOB∠ =  3 α α ( )f α ( )f α 高三八校联考数学试卷 第 4 页 共 11 页 20．(本小题满分 12 分) 对于函数 ，若在定义域内存在实数 x，满足 ，则称 为“局部奇函数”． （1）已知二次函数 ，试判断 是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）若 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围． 21．(本小题满分 12 分) 在非直角三角形 ABC 中，角 的对边分别为 ， （1）若 ，求角 B 的最大值； （2）若 ， （i）证明： ； （可能运用的公式有 ） （ii）是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 m，代数式 恒为定值？ 若存在，请给出一个满足条件的 ，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 ，其中 为自然对数的底数. （1）设 ， 恒成立，求 的最大值； （2）设 ，讨论函数 在 上的零点个数. （参考数据： ） ( )f x ( )( )f x f x− = − ( )f x ( ) ( )2 2 4f x ax x a a R= + − ∈ ( )f x ( ) 1 24 2 3x xf x m m+= − ⋅ + − , ,A B C , ,a b c 2a c b+ = ( )1a c mb m+ = > 1tan tan2 2 1 A C m m −= + sin sin 2sin cos2 2 α β α βα β + −+ = ( )mϕ ( ) ( ) cos cos cos cos A C m m A C ϕ ϕ + + ( )mϕ ( ) ( ), 1xf x e g x ax= = − 2.71828e =  a N+∈ ( ) ( )f x g x≥ a 0a > ( ) ( )( ) 1 cos ah x f g x x e −= ⋅ − 0, 2 π     ln 2 0.69,ln3 1.10≈ ≈ 高三八校联考数学试卷 第 5 页 共 11 页 2021 届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测 数学参考答案 2020.10 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对 的给 5 分. 13. (—1,2) 14. 2； 15. 4 16. —4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 17.解：（1）由 可得： 且 ， 所以， 即 .┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 （2） 因为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 18.解：若选择① 由正弦定理 可将 化为： ┅┅┅3 分 又 ，所以 所以 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B C D 题号 9 10 11 12 答案 AD CD BD BD ( ],1−∞ 2lg lg lg2 x y x y − = + 2lg( ) lg( )2 x y xy − = x y> 2 2 2( ) , 6 02 x y xy x xy y − = − + = 2 2( ) 6( ) 1 0,( 3) 8, 3 2 2, 2 1x x x x x y y y y y − + = − = = + = + 1 4sin80 sin10 cos104sin80 tan10 sin10 −− =       2sin 20 cos10 sin10 −=    2sin(30 10 ) cos10 sin10 − −=     3= − sin sin sin a b c A B C = = 2 cosc A b= 2sin cos sinC A B= A B C π+ + = sin sin( )B A C= + 2sin cos sin( )C A A C= + 高三八校联考数学试卷 第 6 页 共 11 页 即 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 所以 （当 时取到等号） 所以 面积的最大值为 2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 若选择② 由正弦定理 可将 化为： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 又 ，所以 所以 即 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 又 ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 又由余弦定理 可得： （当且仅当 时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 所以 面积的最大值为 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 若选择③ 因为 ，所以 （当且仅当 时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 又由余弦定理 得： （当且仅当 时取等号）┅8 分 （当且仅当 时取等号） 所以 面积的最大值为 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 sin cos cos sin 0A C A C− = sin( ) 0A C∴ − = A C∴ = 2a c∴ = = 1 sin 2sin 22ABCS ac B B∆ = = ≤ 2B π= ABC∆ sin sin sin a b c A B C = = 2 2 cosb a c A− = 2sin sin 2sin cosB A C A− = A B C π+ + = sin sin( )B A C= + 2sin( ) sin 2sin cosA C A C A+ − = 2sin cos sinA C A= 1cos 2C∴ = (0, )C π∈ 3C π∴ = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 24 2a b ab ab ab ab= + − ≥ − = a b= 1 sin 2sin 32ABCS ab C C∆∴ = ≤ = ABC∆ 3 2c = 2 4 2a b c ab+ = = ≥ 4ab∴ ≤ a b= 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= 2 2 2 2 23 1( ) ( ) 12 4 2cos 2 2 2 2 a ba b a b ab abC ab ab ab ++ − + − = = ≥ = a b= 0 3C π∴ < ≤ 1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS ab C π ∆∴ = ≤ × × = a b= ABC∆ 3 高三八校联考数学试卷 第 7 页 共 11 页 19. 解：（1）∵OE=1，EF= ∴∠EOF=60° 当 ∈[ ，15°]时，△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上， 且 AE=tan ,BE=tan(45°+ ) ∴f( )=S△AOB= [tan(45°+ )－tan ] = = ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 当 ∈（15°,45°]时，A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA= ，OB= ∴ =S△AOB= OA·OB·sin45°= · ·sin45°= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 综上得：f( )= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 （2）由（1）得：当 ∈[0， ]时 f( )= ∈[ , －1] 且当 =0 时，f( )min= ； = 时，f( )max= －1；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 当 ∈ 时,－ ≤2 － ≤ ，f（ ）= ∈[ － , ] 且当 = 时，f( ) min= － ；当 = 时，f( ) max= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 所以 f( ) ∈[ , ].┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 20. 解：（1）当푓(푥) = 푎푥2 +2푥 ― 4푎(푎 ∈ 푅)时， 方程푓(푥) + 푓( ― 푥) = 0即 有解푥 =± 2， 所以푓(푥)为“局部奇函数”． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 （2）当푓(푥) = 4푥 ―푚2푥+1 + 푚2 ―3时，푓(푥) + 푓( ― 푥) = 0可化为 4푥 + 4―푥 ―2푚(2푥 + 2―푥) + 2푚2 ―6 = 0． 设푡 = 2푥 + 2―푥 ∈ [2, + ∞)，则4푥 + 4―푥 = 푡2 ―2，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 从而푡2 ―2푚푡 + 2푚2 ―8 = 0在[2, + ∞)有解即可保证푓(푥)为“局部奇函数”． 3 α 0 α α α 2 1 α α sin 45 2cos cos(45 )α α ° ⋅ °+ 2 2cos(2 45 ) 2α + ° + α αcos 1 3 cos(45 )α°− )(αf 2 1 αcos2 1 3 cos(45 )α°− 6 2cos( 2 ) 24 π α− + α 2 [0, ]122cos(2 ) 24 6 ( , ]12 42cos(2 ) 24 παπα π παπα  ∈  + +  ∈ − + α 12 π α 2 2cos(2 ) 24 πα + + 2 1 3 α α 2 1 α 12 π α 3 α ]4,12( ππ 12 π α 4 π 4 π α 6 2cos(2 ) 24 πα − + 6 3 2 3 α 8 π α 6 3 α 4 π α 2 3 α 2 1 2 3 高三八校联考数学试卷 第 8 页 共 11 页 令퐹(푡) = 푡2 ―2푚푡 + 2푚2 ―8， 1° 当퐹(2) ≤ 0，푡2 ―2푚푡 + 2푚2 ―8 = 0在[2, + ∞)有解， 由퐹(2) ≤ 0，即2푚2 ―4푚 ― 4 ≤ 0，解得1 ― 3 ≤ 푚 ≤ 1 + 3； ┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 2° 当퐹(2) > 0时，푡2 ―2푚푡 + 2푚2 ―8 = 0在[2, + ∞)有解等价于 {훥 = 4푚2 ― 4(2푚2 ― 8) ≥ 0, 푚 > 2, 퐹(2) > 0 解得1 + 3 < 푚 ≤ 2 2． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 （说明：也可转化为大根大于等于 2 求解） 综上，所求实数 m 的取值范围为1 ― 3 ≤ 푚 ≤ 2 2． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 21.解：（1）因为 ， 所以由余弦定理 可得： （当且仅当 时取等号）┅2 分 又 ， 所以角 B 的最大值为 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 （2）（i）由 及正弦定理 得 ， 所以 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 （或者由 可得上式） 因为 ，所以有 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 展开整理得 ， 故 ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 （ii）由 及半角正切公式 可得 ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 对其展开整理得 2a c b+ = 2 2 2 cos 2 a c bB ac + −= 2 2 2 2 23 1( ) ( ) 12 4 2cos 2 2 2 2 a ca c a c ac acB ac ac ac ++ − + − = = ≥ = a c= (0, )B π∈ (0, ]3B π∴ ∈ 3 π a c mb+ = sin sin sin a b c A B C = = sin sin sinA C m B+ = 2sin cos 2 sin cos2 2 2 2 A C A C B Bm + − = sin( ) sin( ) 2 sin cos2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C B Bm + − + −+ + − = 2 2 2 A C Bπ+ = − cos cos2 2 A C A Cm − += (1 )sin sin ( 1)cos cos2 2 2 2 A C A Cm m+ = − 1tan tan2 2 1 A C m m −= + 1tan tan2 2 1 A C m m −= + 1 cos sintan 2 sin 1 cos α α α α α −= = + 2 2 2 1 cos sin 1 cos sin 1 cos 1 cos ( 1)(tan tan )2 2 sin 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos ( 1) A C A A C C A C m A A C C A C m − − − − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =+ + + + + 24 2( 1)(cos cos ) 4 cos cosm m A C m A C− + + = − 高三八校联考数学试卷 第 9 页 共 11 页 即 ， 即 ，即 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 与原三角式作比较可知 存在且 ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 22.解：（1）设函数 ， 所以 ，令 得 ，（a>0） 且当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分 因为要使得 恒成立，只要 恒成立 即 ① 设 ， 且 ， 在 上单调递减 又 ， ， 且 图象连续不断，所以满足①的 的最大值为 3. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 （2） ， 设 ，则 ， 因为 ，所以在 内必存在唯一的实数 ，使得 所以 为增函数 ， ， 为减函数 （说明 单调性同样给分）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 下面先证明： . ( )( )24 2 1 cos cos 4cos cos m m A C mA C − + + = − 2 2 2cos cos 21 cos cos 1 mA C mm A C m + − + = + 2 2 2cos cos 1 12 cos cos1 mA C m m A Cm + − + = − − + ( )mϕ 2 2( ) 1 mm m ϕ = − + ( ) ( ) ( ) 1xF x f x g x e ax= − = − + ( ) xF x e a′ = − ( ) 0F x′ = lnx a= lnx a< ( ) 0F x′ < lnx a> ( ) 0F x′ > ( )F x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ min( ) (ln ) ln 1F x F a a a a= = − + ( ) ( )f x g x≥ ( ) 0F x ≥ min( ) (ln ) ln 1 0F x F a a a a= = − + ≥ ( ) ln 1G a a a a= − + 1a ≥ a N+∈ ( ) ln 0G a a′∴ = − ≤ ( )G a∴ 1a ≥ (3) 3 3ln3 1 4 3.3 0G = − + ≈ − > (4) 4 4ln 4 1 5 5.52 0G = − + ≈ − < ( )G a a 1 1( ) cosax ah x e x e −−= ⋅ − 0, 2x π ∈   1( ) cosaxH x e x−= ⋅ ( )1 1 1( ) cos sin cos tanax ax axH x ae x e x x e a x− − −′ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − 0a > (0, )2 π 0x 0tan x a= ( )00, , ( ) 0, ( )x x H x H x′∈ > 0( , )2x x π∈ ( ) 0H x′ > ( )H x ( )h x 1 0( ) aH x e −> 高三八校联考数学试卷 第 10 页 共 11 页 因为 ，所以 ， （法一） 当 时，有 ，（不证明不扣分） ， 下证 ，即证 ，即证 . .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 （法二） 当 时，有 ，（不证明不扣分） ， 下证 ，令 ，则 即证 ，即证 令 ，则 为单调递增函数 当 时， .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 （法三）欲证 ，即证 因为 ，所以只需证 ， 即证 ， 0tan x a= 0 02 2 1cos ,sin 1 1 ax x a a = = + +  0x ≥ 1, sinxe x x x≥ + ≥ 0 0 1 11 1cos cos 0 0 1 , coscos x xe x ex − − ∴ ≥ ∴ ≥ ( ) 0 0 0 0 0 1 1sin1 cos cos 0 0cos ax a xax x xH x e x e e − −−∴ = ⋅ ≥ > 0 0 1 1sin cosa x x ae e − −> 0 0 1 1sin cosa x x a − > − 2 2 2 11 1 a a aa − + > − + 2 2 2 2 1 11 1 1 a a aa a − + = − > − + + ( )0H x∴ 1 ae −>  0x ≥ 1, sinxe x x x≥ + ≥ 0 1 0 0sinaxe ax a x−∴ ≥ > ( ) 0 2 1 0 0 0 0 2cos sin cos 1 ax aH x e x a x x a −∴ = ⋅ > = + 12 21 aa ea −>+ 1t a = − 0t < 2 1 ( 0)1 te tt > 0 1 1 0cosax ae x e −− ⋅ > 0 1 1 0 1 cos ax ae x + − > 0 1 1 0 1ax ae ax a + − ≥ + 0 0 1 1 cosax a x + > 0 0 0 0 1 1tan tan cosx x x x + > 高三八校联考数学试卷 第 11 页 共 11 页 即证 即证 ，又 只需证 ，即证 即证 又 ，所以 显然成立. .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 接下来，求函数 在 上的零点个数 ，且函数 在 上单调递减 在 上有唯一零点，即函数 在 上的零点个数为 1┅┅┅9 分 最后，求函数 在 上的零点个数 ，且函数 在 上单调递增 当 时， ，所以函数 在 上没有零点， 即函数 在 上的零点个数为 0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 当 时， ，所以函数 在 上有唯一零点， 即函数 在 上的零点个数为 1┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 综上所述：当 时， 在 上的零点个数为 1 ； 当 时， 在 上的零点个数为 2 . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 0 0 0 0 0 0 sin cos 1 cos sin cos x x x x x x + > 2 2 0 0 0 0sin cos sinx x x x+ > 0 0sinx x> 3 2 0 0 0sin cos sinx x x+ > 3 2 0 0 0sin sin sin 1 0x x x− − + > ( ) ( )2 0 0sin 1 sin 1 0x x− + > 0 (0, )2x π∈ ( ) ( )2 0 0sin 1 sin 1 0x x− + > ( )0H x∴ 1 ae −> ( )h x 0 , 2x π     ( )1 00, 02 ah e h x π −  = − < >   ( )h x 0 , 2x π     ( )h x∴ 0 , 2x π     ( )h x 0 , 2x π     ( )h x [ ]00, x ( ) ( )1 1 00 , 0ah e e h x −−= − > ( )h x [ ]00, x ∴1 0 1a< < ( ) 1 10 0ah e e −−= − > ( )h x [ ]00, x ( )h x [ ]00, x 2 1a ≥ ( ) 1 10 0ah e e −−= − ≤ ( )h x [ ]00, x ( )h x [ ]00, x 0 1a< < ( )h x 0, 2 π     1a ≥ ( )h x 0, 2 π    