吉林省吉林市2021届高三上学期第一次调研考试 数学（理）试卷 （含答案）

高三数学（理科）试题 第 1 页 （共 14 页） 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 下列函数中最小正周期为 的函数的个数 ① ；② ；③ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列向量中不是单位向量的是 A. B. C. D. 4. 为了得到函数 的图象，可将函数 的图象 A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 5. 设角 的始边为 轴非负半轴，则“角 的终边在第二、三象限”是“ ”的 }06|{ 2 >−−= xxxA }|{ NxxB ∈= ( )RC A B∩ = }2,1{ }2,1,0{ }3,2,1{ }3,2,1,0{ π |sin| xy = )32cos( π+= xy xy 2tan= )0,1( )1,1( )sin,(cos αα )0|(||| ≠aa a   )42 1cos( π+= xy xy 2 1cos= 4 π 4 π 2 π 2 π α x α 0cos 0 '( 1) 0 '(1) 0 a f f >  − ≤  ≤ 0 2 4 3 a a a   >  ≥   ≤ − a 122 1 1 −+= + + n nn aa 1 1 1 2)1(21 + + +−=− n nn aa 12 +n 12 1 2 1 1 1 +−=− + + n n n n aa 11 +=+ nn bb 11 =−+ nn bb 12 11 1 =−= ab { }nb 1 1 n n n ab 2 1−= 1 1 1 2 1 + + + −= n n n ab 高三数学（理科）试题 第 11 页 （共 14 页） 分 将 代入上式得 .....3 分 因此 .且 ..............................................5 分 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列........................................6 分 (2) 由（1）知 ，所以 ..........................8 分 则 .......................................9 分 令 ...........................① .........................② ①-②得： ...................................10 分 即 .......................................................11 分 所 以 .................................................12 分 【说明】在求 时，也可以用 ，采用累加法求和.其中 . 22【解析】 22. （I）当 时， ， ..........................................1 分 即切线方程为 ..........................2 分 （II） 122 1 1 −+= + + n nn aa 12 1 2 12 2 222 1 1 1 +−=−+=−+= + + + n n n n n n n n n aaab 11 =−+ nn bb 12 11 1 =−= ab { }nb 1 1 nb n= 1 , 2 12 nn n nn ab n a n −= = = ⋅ + 2 31 2 2 2 3 2 2n nS n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ + 2 31 2 2 2 3 2 2n nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n nT n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ 2 3 12 2 2 2 2n n nT n +− = + + + ⋅⋅⋅ + − ⋅ 1 12(2 1) 2 (1 n)2 2n n n nT n + +− = − − ⋅ = − − 1(n 1)2 2n nT += − + 1(n 1)2 2n nS n+= − + + nT 1 2n n nc c n+ − = ⋅ (n 2)2n nc = − 2m = 2'( ) 2f x x = − '(1) 0k f= = 2y = − 高三数学（理科）试题 第 12 页 （共 14 页） 由 ， ..............................................3 分 ， ，即 在 上单调递增； ， ，即 在 上单调递减； 则 ， ..........................................5 分 依题意： ，所以， .........................6 分 依题意： ，....................................................3 分 则 ， ................................................5 分 依题意： ，所以， .....................................6 分 （III）当 时， 则曲线 上的点 处的切线方程为 ..................7 分 设直线 与 相切于点 ，即切线方程为 ...............8 分 2'( ) 2 ( 0)m m xf x xx x −= − = > '( ) 0 2 mf x x= =令 ，可得 0 2 mx< 0 2m e< ≤ 2 ln x m x ≥ 2 ln 1 ln( ) '( )x xh x h xx x −= =令 ，则 0 , '( ) 0, ( ) (0, )x e h x h x e< < >当 时 即 在 单调递增； , '( ) 0, ( ) ( , )x e h x h x e> < +∞当 时 即 在 单调递减； max 1( ) ( )h x h e e = = 2 1 m e ≥ 0 2m e< ≤ 1m = 1 1 2'( ) 2 xf x x x −= − = ( )y f x= 0 0 0( , )( 0)x y x > 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2(ln 2 ) ( ) ln 1x xy x x x x y x xx x − −− − = − = + −即 l 2y x= 2 1 1( , )x x 2 1 12y x x x= − 高三数学（理科）试题 第 13 页 （共 14 页） 即 ， ......................................9 分 ， ， 所以， ， , , ..............................................10 分 ............................11 分 即 有两个实根，即满足条件的 有两个 .............12 分 即 ， .................................. 9 分 ....................................................... 20 1 20 0 0 0 0 0 02 0 1 1 2 2 1 21 ln 4 ln 4 1 02ln 1 x x xx x x x xxx x − =  − − = − + =     − = − 即 即 2( ) 4 ln 4 1, '( ) 8 ln 4 4, ''( ) 8ln 12g x x x x g x x x x g x x= − + = + − = +令 则 3 2''( ) 0,g x x e −= =令 得 3 3 2 2'( )g x − − ∞即 在( 0, e ) 单调递减，在( e , + ) 单调递减增 3 3 2 2 min'( ) '( ) 8 4 0g x g e e − −= = − − 当 时， ( ) 1g x ∞即 在( 0, 1) 单调递减，在( , + ) 单调递减增 min( ) (1) 3 0g x g= = − = − + >又因为 且 2 1( ) 0 1g x e = 在( , 1) 和( , e) 上各有1个零点， ( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1) 和( , + ) 上各有1个零点， 2 0 0 04 ln 4 1 0x x x− + = 0x 20 1 0 0 0 0 2 0 0 02 0 1 1 2 2 1 2 1 11 ln ln + 02 4ln 1 x x xx x xx x xx x − =  − − = − =     − = − 即 即 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ln , '( )4 2 2 x xg x x g xx x x x x x + −= + − = − + =令 则 1 3 1 3'( ) 0, ( )2 2g x x − + − −= =令 得 或 舍 1 3 1 3( ) 2 2g x − + − + ∞即 在( 0, ) 单调递减，在( , + ) 单调递减增 min 1 3( ) ( ) 02g x g − += >又因为 且 2 1 1 3 1 3( ) 0 2 2g x e − + − += 在( , ) 和( , e) 上各有1个零点， ( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1) 和( , + ) 上各有1个零点， 0 02 0 0 1 1ln 04x xx x + − =即 有两个实根，即满足条件的 有2个.