北京市延庆区2021届高三上学期统测考试数学试题(解析版)
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北京市延庆区2021届高三上学期统测考试数学试题(解析版)

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资料简介
2020-2021 学年第一学期高三年级统测试卷 数学 本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效. 考试结束后,将答题纸交回. 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 已知集合 A={x||x|1},则 A B=( ) A. B. C. D. {–2,2} 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得集合 ,由此求得 . 【详解】依题意 , , 所以 . 故选:A 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算,考查绝对值不等式的解法. 2. 已知向量 若 与 方向相同,则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 依题 // ,且 与 符号相同,运用坐标运算即可得到答案. 【详解】因为 与 方向相同,则存在实数 使 , 因为 ,所以 , 所以 ,解之得 ,因为 ,所以 , 所以 .  R (1,3) ( 3, 1) (1,3)− −  ,A B A B ( )3,3A = − ( ) ( ), 1 1,B = −∞ − ∪ +∞ A B R= ( ) ( )1, , ,2 ,a k b k= = a b k 1 2± 2− 2 a b a b a b λ ( 0)a bλ λ= >  ( ) ( )1, , ,2a k b k= = ( ,2 )b kλ λ λ= 1 2 k k λ λ =  = 2 2k = 0λ > 0k > 2k = 故答案选:D 【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算,属基础题. 3. 圆 上一点到原点的距离的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 求得圆 的圆心和半径,由此求得圆上一点到原点的距离的最大值. 【详解】圆 的圆心为 ,半径为 , 圆心到原点的距离为 , 所以圆上一点到原点的距离的最大值为 . 故选:C 【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系,属于基础题. 4. 下列函数中,在其定义域上是减函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数 定义域和单调性,由此判断出正确选项. 【详解】对于 A 选项, 的定义域为 ,在定义域上没有单调性,不符合题意. 对于 B 选项, ,定义域为 ,在定义域上没有单调性,不符 合题意. 对于 C 选项, 的定义域为 ,在 上递增,不符合题意. 对于 D 选项, 的定义域为 ,在 上递减,符合题意. 故选:D 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题. 的 ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( )3,4 1 2 23 4 5+ = 5 1 6+ = 1y x = − tan( )y x= − xy e−= − 2, 0 2, 0 x xy x x − + ≤= − − > 1y x = − { }| 0x x ≠ ( )tan tany x x= − = − | ,2x x k k Z ππ ≠ + ∈   1x xy e e −= − = − R R 2, 0 2, 0 x xy x x − + ≤= − − > R R 5. 若 为第三象限角,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用 为第三象限角,求 所在象限,再判断每个选项的正误. 【详解】因为 为第三象限角,所以 , 可得 , 所以 是第第一,二象限角, 所以 , 不确定, 故选:C 【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号,属于基础题. 6. 设抛物线 的焦点为 ,准线为 . 是抛物线上的一点,过 作 轴于 ,若 , 则线段 的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 求得 的横坐标,由此求得 的纵坐标,从而求得 的长. 【详解】抛物线的准线方程为 ,由于 , 根据抛物线的定义可知 , 将 代入抛物线方程得 , 所以 . 故选:C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,属于基础题. 7. 已知函数 ,则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. α cos2 0α > cos2 0α < sin 2 0α > sin 2 0α < α 2α α 32 22k k ππ π α π+ < < + ( )k Z∈ 2 4 2 3 4k kπ π α π π+ < < + ( )k Z∈ 2α sin 2 0α > cos2α 2 4y x= F l P P PQ x⊥ Q 3PF = PQ 2 2 2 2 3 2 3PF = P P PQ 1x = − 3PF = 2Px = 2Px = 2 8, 2 2Py y= = ± 2 2PQ = ( ) 21 logf x x x= − + + ( ) 0f x < ( )0,2 ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞ ( )1,2 ( ) ( )0,1 2,∪ +∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ,可得出 ,作出函数 与函数 的图象,数形结合可求得不等式 的解集. 【详解】函数 的定义域为 ,且 , 由 可得 ,作出函数 与函数 的图象如下图所示: 由于 ,则函数 与函数 图象的两个交点坐标为 、 , 由图象可知,不等式 的解集为 . 故选:D. 【点睛】本题考查利用函数图象求解函数不等式,考查数形结合思想的应用,考查计算能力,属于中等题. 8. 已知直线 , ,平面 , , , , ,那么“ ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论. 【详解】若 ,则在平面 内必定存在一条直线 有 , 因为 ,所以 ,若 ,则 , ( ) 0f x < 2log 1x x< − 2logy x= 1y x= − ( ) 0f x < ( ) 21 logf x x x= − + + ( )0, ∞+ ( ) ( )1 2 0f f= = ( ) 0f x < 2log 1x x< − 2logy x= 1y x= − ( ) ( )1 2 0f f= = 2logy x= 1y x= − ( )1,0 ( )2,1 2log 1x x< − ( ) ( )0,1 2,∪ +∞ a b α β bα β = / /a α a b⊥  a β⊥ α β⊥ / /a α α a′ / /a a′ a b⊥  a b′ ⊥ a β⊥ a β′ ⊥ 又 ,即可得 ,反之,若 , 由 , , 可得 ,又 ,则有 . 所以“ ”是“ ”的充分必要条件. 故选:C 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理,以及线面平行的判定定理,属于中档题. 9. 在平面直角坐标系 中,将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ,设直线 与 轴正半轴所成 的最小正角为 ,则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求得 点的坐标,然后根据三角函数的定义求得 . 【详解】将点 绕原点 逆时针旋转 到点 , 根据三角函数的定义可知 . 故选:D 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,属于基础题. 10. 某企业生产 两种型号的产品,每年的产量分别为 万支和 万支,为了扩大再生产,决定对两 种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的 两种产品的年产量的增长率分别为 和 ,那么 至少经过多少年后, 产品的年产量会超过 产品的年产量(取 )( ) a α′ ⊂ α β⊥ α β⊥ bα β = a b′ ⊥ a α′ ⊂ a β′ ⊥ / /a a′ a β⊥ a β⊥ α β⊥ xOy (2,1)A O 90° B OB x α sinα 2 5 5 − 5 5 − 5 5 2 5 5 B sinα (2,1)A O 90° ( )1,2B − ( )2 2 2 2 2 5sin 551 2 α = = = − + ,A B 10 20 ,A B 50% 20% A B lg 2 0.3010= A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】 直接计算出若干年后 产品的产量,由此确定正确选项. 【详解】 年后, 产品产量为 万支; 产品产量为 万支. 年后, 产品产量为 万支; 产品产量为 万支. 年后, 产品产量为 万支; 产品产量为 万支. 年后, 产品产量为 万支; 产品产量为 万支. 所以经过 年后 产品的年产量会超过 产品的年产量. 故选:C 【点睛】本小题主要考查指数增长模型,属于基础题. 第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知复数 是负实数,则实数 的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】 将复数写成标准式,再根据复数为负实数得到方程,解得即可; 【详解】解:因为 为负实数,所以 解得 故答案为: 【点睛】本题考查复数的类型求参数的值,属于基础题. 12. 已知正方形 的边长为 2,点 P 满足 ,则 ____. 【答案】3 【解析】 【分析】 由题得点 是 中点,求出 ,再利用 求解. 2 3 4 5 ,A B 1 A ( )10 1 50% 15× + = B ( )20 1 20% 24× + = 2 A ( )15 1 50% 22.5× + = B ( )24 1 20% 28.8× + = 3 A ( )22.5 1 50% 33.75× + = B ( )28.8 1 20% 34.56× + = 4 A ( )33.75 1 50% 50.625× + = B ( )34.56 1 20% 41.472× + = 4 A B 2 2z a i a i= − − a ( )2 22 2 1z a i a i a a i= − − = − + − 2 1 0 2 0 a a  − = − > ,D E ODE 4 C 4 2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± x a= D E ED ODE 4 ab 2 22 2c a b= +  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴ 2ED b= ∴ ODE 1 2 42ODES a b ab= × = =   2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 8 4 2c a b ab= + ≥ = = 2a b= = ∴ C 4 2 4 2 最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 三、解答题共 6 小题,共 85 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. A,B,C 三个班共有 180 名学生,为调查他们的上网情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时 长,数据如下表(单位:小时): A 班 12 13 13 18 20 21 B 班 11 11.5 12 13 15.5 17.5 20 C 班 11 13.5 15 16 16.5 19 21 (Ⅰ)试估计 B 班的学生人数; (Ⅱ)从这 180 名学生中任选 1 名学生,估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率; (Ⅲ)从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人,从 C 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人,求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. 【答案】(Ⅰ)63;(Ⅱ) ;(Ⅲ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据分层抽样的知识估计 班的学生人数. (Ⅱ)根据古典概型概率计算公式,计算出所求概率. (Ⅲ)先计算出选法总数,然后根据古典概型概率计算公式,计算出所求概率. 【详解】(Ⅰ)由题意知,抽出的 20 名学生中,来自 班的学生有 名.根据分层抽样 方法 班的学生人数估计为 人. (Ⅱ)设从选出的 20 名学生中任选 1 人,共有 20 种选法, 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D 包含的选法有 3+3+4=10 种, .由此估计从 180 名学生中任选 1 名,该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 . (Ⅲ)从 A 班的 6 人中随机选 2 人,有 种选法,从 C 班的 7 人中随机选 1 人,有 种选法, 故选法总数为: 种 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为 , 则 中包含以下情况: 1 2 3 7 B B 7 B 7180 6320 × = 10 1( ) 20 2P D∴ = = 1 2 2 6C 1 7C 2 1 6 7 15 7 105C C⋅ = × = E E (1)从 A 班选出的 2 人超 15 小时,而 C 班选出的 1 人不超 15 小时, (2)从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时,而 C 班选出的 1 人超 15 小时, 所以 . 【点睛】本小题主要考查分层抽样,考查古典概型概率计算,考查运算求解能力. 17. 如图,在三棱柱 中, 平面 , , , ,点 , 分别在棱 和棱 上,且 , , 为棱 的中点. (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求证: 平面 ; (Ⅲ)求二面角 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据 平面 ,得到 ;根据线面垂直的判定定理,得到 平面 ,进 而可证 ; (Ⅱ)设 的中点为 ,连接 ,连接 ,根据面面平行的判定定理,先证明平面 平面 ,进而可证线面平行; (Ⅲ)以 为原点,分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系,根 据题意,分别求出平面 和平面 的一个法向量,由向量夹角公式求出夹角余弦值,进而可得出结 2 1 1 1 1 3 3 3 3 4 2 1 6 7 9 36 3( ) 15 7 7 C C C C CP E C C + += = =× 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC AC BC⊥ 2AC BC= = 1 3CC = D E 1AA 1CC 1AD = 2CE = M 1 1A B DE BC⊥ 1 //C M 1DB E 1A DE B− − 6 6 − 1CC ⊥ ABC 1CC BC⊥ BC ⊥ 1 1ACC A BC DE⊥ 1A D N MN 1C N 1 //C MN 1B ED C CA CB 1CC x y z ADE 1DB E 果. 【详解】(Ⅰ)因为 平面 , 平面 ,所以 ; 又 , , 平面 , 平面 , 所以 平面 , 因为 平面 ,所以 , 即 ; (Ⅱ)设 的中点为 ,连接 ,则 , 又 平面 , 平面 , 所以 平面 ; 连接 ,因为 且 , 所以 是平行四边形, 所以 , 又 平面 , 平面 , 所以 平面 ; 又 ,且 平面 , 平面 , 所以平面 平面 , 又 平面 , 所以 平面 ; (Ⅲ)以 为原点,分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系(如 图), 可得 、 、 、 、 .由(Ⅰ)可知, 平面 ,即 平面 , 所以 是平面 的一个法向量, 又 , . 1CC ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1CC BC⊥ AC BC⊥ 1AC CC C= AC ⊂ 1 1ACC A 1CC ⊂ 1 1ACC A BC ⊥ 1 1ACC A DE ⊂ 1 1ACC A BC DE⊥ DE BC⊥ 1A D N MN 1//MN B D MN ⊄ 1B ED 1B D ⊂ 1B ED //MN 1B ED 1C N 1 //C E ND 1C E ND= 1C NDE 1 //C N DE 1C N ⊄ 1B ED DE ⊂ 1B ED 1 //C N 1B ED 1C N MN N∩ = 1C N ⊂ 1C MN MN ⊂ 1C MN 1 //C MN 1B ED 1C M ⊂ 1C MN 1 //C M 1DB E C CA CB 1CC x y z ( )0,0,0C ( )0,2,0B ( )1 0,2,3B ( )2,0,1D ( )0,0,2E BC ⊥ 1 1ACC A BC ⊥ ADE ( )0,2,0CB = ADE ( )1 0,2,1EB = ( )2,0, 1ED = − 设 为平面 的法向量, 则 ,即 , 不妨设 ,可得 . , 因为二面角 平面角是钝角, 所以,二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题主要考查证明线线垂直,证明线面平行,以及求二面角的余弦值,熟记线面垂直、线面平行 的判定定理,以及空间向量的方法求二面角即可,属于常考题型. 18. 设 是公比不为 1 的等比数列, ,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)求 的公比; (2)求数列 的前 项和. 条件①: 为 , 的等差中项;条件②:设数列 的前 项和为 , . 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 【答案】条件性选择见解析,(1)-2;(2) 【解析】 【分析】 的 ( ), ,n x y z= 1DB E 1 0 0 n EB n ED  ⋅ =  ⋅ =   2 0 2 0 y z x z + =  − = 1x = ( )1, 1,2n = − 2 6cos , 62 6CB n CB nCB n ⋅ −< >= = = − ×⋅      1A DE B− − 1A DE B− − 6 6 − { }na 3 4a = { }na {2 }nn a+ n 1a 2a 3a { }na n nS 3 1 2S S− = 1 ( 2)( 1) 3 n n n − −+ + (1)选①,化简 即得解;选② ,化简 即得解; (2)利用分组求和解答即可得解. 【详解】解:选① (1)因为 为 的等差中项, 所以 所以 , 因为 所以 所以 , (舍) 选② (1)因为 ,所以 , 因为 ,所以 ,所以 (2)由题得等比数列 的首项 , 所以 , 设数列 的前 项和为 , 因为数列 是以 为首项, 为公差的等差数列, 所以 , . 【点睛】本题主要考查等比数列基本量和通项的求法,考查等差等比数列求和,考查数列分组求和,意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19. 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=60°. (Ⅰ)若 , ,求 面积; (Ⅱ)若 ,求角 C. 的 1 2 32a a a= + 3 1 2S S− = 1a 2 3a a、 1 2 32a a a= + 2 1 1 12a a q a q= + 1 0a ≠ 22 q q= + 2q = − 1q = 3 1 2S S− = 1 2 3 1 2 3 2a a a a a a+ + − = + = 3 4a = 2 2a = − 3 2 2aq a = = − { }na 3 1 2 4 14 aa q = = = 1( 2)n na −= − {2 }nn a+ n nS {2 }n 2 2 (2 2 ) 1(1 ( 2) ) 2 1 ( 2) n n n nS + − −= + − − 1 ( 2)( 1) 3 n n n − −= + + ABC sin 2sinA C= 3b = ABC∆ 2sin sin 2C A− = 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理化角为边可得 ,再利用余弦定理即可求出 的值,利用面积公式即可求面积; (Ⅱ)由题意知 ,将 中的 用 替换,再整理化简即可求角 C. 【详解】(Ⅰ)在 中,因为 ,所以 ,所以 , 由余弦定理可得 , 所以 的面积为 ; (Ⅱ)在 中,因为 , , , , 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形面积公式,两角差的正弦公式、 辅助角公式等,属于中档题. 20. 已知椭圆 C: 过点 ,点 B 为其上顶点,且直线 AB 斜率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为第四象限内一点且在椭圆 上,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ,求四 边形 的面积. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据题中所给的条件,求得 ,从而得到椭圆的方程; 3 2 105C = ° 2a c= ,a c 120A C+ =  2sin sin 2C A− = A 120 C− ABC sin sin a c A C = sinsin 2sina CA Cc = = 2a c= 2 2 2 22 cos60 3 3b a c ac c= + − ⋅ ° = = 1, 2,c a= = ABC 1 1 3 3sin 2 12 2 2 2S ac B= = × × × = ABC 120A C+ =  sin sin sin sin(120 )C A C C− = − − 3 1 1 3 2sin cos sin sin cos sin( 60 )2 2 2 2 2C C C C C C= − − = − = − = 0 120 , 60 60 60C C< < ∴− < − > ( )2,0A − 3 2 C PA y M PB x N ABNM 2 2 14 3 x y+ = 2 3 2, 3a b= = (Ⅱ)根据题意,设出点 ,根据点在椭圆上,得到 ,分别写出直 线的方程,求得 M、N 的坐标,表示出四边形的面积,求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意: 设直线 : , 令 ,则 ,于是 ,. 所以 , 椭圆方程为 . (Ⅱ)设 ,且 , 又 ,所以直线 , 令 , 则 , 直线 ,令 , 则 , 所以四边形 的面积为 , 所以四边形 面积为 . 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题,涉及到的知识点有椭圆方程的求解,直线的方程,直线与坐 标轴的交点,四边形的面积,属于中档题目. 的 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> < 2 2 0 03 4 12x y+ = AB 30 ( 2)2y x− = + 0x = 3y = (0, 3)B 2, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> < 2 2 0 03 4 12x y+ = ( 2,0), (0, 3)A B− 0 0 0 2: 0 2 y xAP y x − +=− + 0 0 20, 2M yx y x = = + 0 0 0 0 0 2 3 2 3 23 3 2 2M y x yBM y x x + −= − = − =+ + 00 3 0: 03 y xBP xy − −= −− 0 0 30, 3N xy x y −= = − 0 0 0 0 0 3 2 2 3 32 2 3 3N x y xAN x y y − − −= + = + = − − ABNM 1 2 A BS N M= ⋅ 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 2 2 3 31 2 2 3 x y y x x y + − − −= × ×+ − 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 12 4 3 12 8 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y x y − − − + − += − + − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3( 3 2 2 3) 2 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y − + −= = − + − ABNM 2 3 21. 已知函数 . (Ⅰ)当 时,求函数 在点 处的切线方程; (Ⅱ)当 , 时,求函数 的最大值; (Ⅲ)当 , 时,判断函数 的零点个数,并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ)有2 个零点,理由见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据切点和斜率求得切线方程. (Ⅱ)当 , 时,利用 二阶导数,来求得 的最大值. (Ⅲ)判断出 在 上的单调性,结合零点存在性定理判断出 在 上有 个零点.根据 的奇偶性判断出 在区间 上有 个零点.由此判断出当 , 时,函数 的零点个数. 【详解】(Ⅰ)当 时,函数 , , 切线的斜率 , 曲线 在原点处的切线方程为 . (Ⅱ) , 令 , 则 , 当 , 时, ,所以 在 上单调递. 所以 ,即 ,仅在 处 ,其余各处 , 所以 在 上单调递增, 的 ( )( ) 2 cos sinf x a x x x= − − =0a ( )f x (0, (0))f 4a > π[0, ]2x ∈ ( )f x 1 2a< < π π[ , ]2 2x∈ − ( )f x 2y = 2 π− 4a > π[0, ]2x ∈ ( )f x ( )f x ( )f x [0, ]2 π ( )f x [0, ]2 π 1 ( )f x ( )f x [ ,0]2 π− 1 1 2a< < π π[ , ]2 2x∈ − ( )f x 0a = ( ) 2cos sinf x x x x= − (0) 2f = ( ) 2sin sin cos 3sin cosf x x x x x x x x′ = − − − = − − ∴ (0) 0k f ′= = ∴ ( )y f x= 2y = ( ) (2 )( sin ) sin cos ( 3)sin cosf x a x x x x a x x x′ = − − − − = − − ( ) ( 3)sin cosg x a x x x= − − ( ) ( 3)cos cos sin ( 4)cos sing x a x x x x a x x x′ = − − + = − + 4a > π[0, ]2x ∈ ( ) 0g x′ > ( )g x [0, ]2 π ( ) (0) 0g x g≥ = ( ) 0f x′ ≥ 0x = ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ > ( )f x [0, ]2 π 所以当 时, 的最大值为 . (Ⅲ) , 因为 ,当 时, ,仅在 处 ,其余各处 , 所以 在 上单调递减, 因为 , 所以存在唯一 ,使得 , 即 在 上有且只有一个零点, 因为 , 所以 是偶函数,其图像关于 轴对称, 所以在 上有且只有一个零点, 所以 在 上有 2 个零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程、最值,考查利用导数研究函数的零点. 2x π= ( )f x ( )2 2f π π= − ( ) ( 3)sin cosf x a x x x′ = − − 1 2a< < π[0, ]2x ∈ ( ) 0f x′ ≤ 0x = ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( )f x [0, ]2 π (0) 2 0, ( ) 02 2f a f π π= − > = − < 0 [0, ]2x π∈ 0( ) 0f x = ( )f x [0, ]2 π ( ) (2 )cos( ) sin( ) (2 ) sin ( )f x a x x x a x x f x− = − − + − = − − = ( )f x y [ ,0]2 π− ( )f x [ , ]2 2 π π−

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