人教A版2020-2021学年上学期高三期中备考金卷 文科数学(B卷)含答案+解析
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资料简介
2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 文 科 数 学(B) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2.若复数 满足 (其中 为虚数单位),则复数 为( ) A. B. C. D. 3.在数列 中, , ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数 ( 为自然对数的底数),若 , , , 则( ) A. B. C. D. 5.已知 ,则 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 的图象大致是( ) A. B. C. D. 7.若非零向量 、 满足 且 ,则 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 8.已知 , 均为正实数,且 ,则 的最小值为( ) A.20 B.24 C.28 D.32 9.在正方体 中, 分别是 , 的中点,则( ) A. B. C. 平面 D. 平面 10.设数列 的前 项和为 ,当 时, , , 成等差数列,若 , 且 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,圆 与双曲线的一个交点为 ,若 ,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 12.函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. { 1,0,1,2}A = − 2{ | 1}B x x= ≤ A B = { }1,0,1− { }0,1 { }1,1− { }0,1,2 z i 4 5iz = − i z 5 4i− 5 4i− + 5 4i+ 5 4i− − { }na 3 5a = 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈N 25nS = n = 3 4 5 6 ( ) x xf x e e−= − e 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c = ( ) ( ) ( )f b f a f c< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< < ( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f a f b f c< < a ∈ R 2a > 2 2a a> 2 ln | | | | x xy x = a b | | | |=a b (2 )+ ⊥a b b a b π 6 π 3 2π 3 5π 6 x y 1 1 1 2 2 6x y + =+ + x y+ 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1BC 1CD 1 1MN C D∥ 1MN BC⊥ MN ⊥ 1ACD MN ⊥ 1ACC { }na n nS n ∗∈N na 1 2n + 1na + 2020nS = 2 3a < n 63 64 65 66 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2F 2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = P 1 2| 2| ||PF PF= 6 3+ 6 3 2 + 6 1− 6 1 2 + ( ) 2f x ax= − ( ) xg x e= y x= a , 4 e −∞   , 2 e −∞   ( ],e−∞ ( 2,e −∞  此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.一工厂生产了某种产品 18000 件,它们来自甲,乙,丙 3 个车间,现采用分层抽样的方法对这 批产品进行抽样检查,已知从甲,乙,丙 3 个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列,则 这批产品中乙车间生产的产品件数是________. 14.已知 ,则 __________. 15.已知函数 ,若函数 恰有 个不同的零点,则实数 的取 值范围是__________. 16.黄金分割比 被誉为“人间最巧的比例”.离心率 的椭圆被称为“优 美椭圆”,在平面直角坐标系中的“优美椭圆” ( )的左右顶点分别为 A, B,“优美椭圆”C 上动点 P(异于椭圆的左右顶点),设直线 , 的斜率分别为 , ,则 __________. 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)在锐角 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且 . (1)确定角 的大小; (2)若 ,且 的面积为 ,求 的值. 18.(12 分)如图,四棱锥 中,平面 底面 ABCD, 是等边三角形,底 面 ABCD 为梯形,且 , , . (1)证明: ; (2)求 A 到平面 PBD 的距离. 19.(12 分)在疫情防控中,不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时,通过运 动健身增强体质,进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义,某机构为了解“性别与休闲方式为 π 1cos( )4 3 α + = sin 2α = 2( 1 , 1( ) 2 2 ) , 1 a x xf x x a x  − + > PA PB 1k 2k 1 2k k = ABC△ a b c A B C 3 2 sina c A= C 7c = ABC△ 3 3 2 a b+ P ABCD− PDC ⊥ PDC△ 60DAB∠ = ° AB CD∥ 2 2DC AD AB= = = BD PC⊥ 运动”是否有关,随机调查了 个人,其中男性占调查人数的 .已知男性中有一半的人休闲方式是 运动,而女性只有 的人休闲方式是运动. (1)完成下列 列联表; (2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的 人数至少有多少? 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 参考公式: ,其中 . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 20.(12 分)己知椭圆 的一个顶点坐标为 ,离心率为 ,直线 交椭圆于不同的两点 . (1)求椭圆 的方程; (2)设点 ,当 的面积为 时,求实数 的值. 21.(12 分)已知 ( ). (1)若 对 恒成立,求实数 a 范围; (2)求证:对 ,都有 . n 2 5 1 3 2 2× n 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d − + + + += n a b c d= + + + ( )2 nP K k≥ 0k 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > (2,0) 3 2 y x m= + ,A B M ( )1,1C ABC△ 1 m ( ) 1xf x e ax= − − a ∈ R ( ) 0f x ≥ x∈R n ∗∀ ∈N 1 1 1 11 2 3 11 1 1 1 n n n nn n n n n + + + +       + + + + x 2( ) 2f x a a≤ − R a 2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 文 科 数 学(B)答 案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【解析】 ,所以 ,故选 A. 2.【答案】D 【解析】由 可得 ,故选 D. 3.【答案】C 【解析】因为 ,所以 是公差为 2 等差数列, 因为 , ,所以 ,解得 , 故选 C. 4.【答案】D 【解析】因为 , , ,∴ , 又 在 上是单调递减函数,故 ,故选 D. 5.【答案】A 【解析】因为 或 , 所以 是 的充分不必要条件,故选 A. 6.【答案】D 【解析】令 ,则 , 所以函数 为偶函数,其图像关于 轴对称,故 B 不正确; 当 时, , , 由 ,得 ;由 ,得 , 所以 在 上递减,在 上递增,结合图像分析,A、C 不正确, 故选 D. 7.【答案】C 【解析】设 与 的夹角为 , 由已知得 , ,则 , ∵ ,∴ , ,解得 ,故选 C. 8.【答案】A 【解析】 均为正实数,且 ,则 , , 当且仅当 时取等号. 的最小值为 20,故选 A. 9.【答案】D 【解析】对于选项 A,因为 分别是 , 的中点, 所以点 平面 ,点 平面 , 所以直线 MN 是平面 的交线, 又因为直线 在平面 内,故直线 MN 与直线 不可能平行, 故选项 A 错; 对于选项 B,正方体中易知 , 因为点 是 的中点,所以直线 与直线 不垂直,故选项 B 不对; 对于选项 C,假设 平面 ,可得 . 因为 是 的中点,所以 ,这与 矛盾,故假设不成立. 2{ | 1} { | 1 1}B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { 1,0,1}A B = − i 4 5iz = − 4 5i i(4 5i) 5i 4iz −= = − − = − − 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈N { }na 3 5a = 25nS = ( ) 1 1 2 2 5 1 2 252 a n nna + × = −+ × = 1 1 5 a n =  = 0.50.7 1a −= > 0 1b< < 0c < a b c> > ( )f x R ( ) ( ) ( )f a f b f c< < 2 2 0 ( 2) 0 2a a a a a− > ⇒ − > ⇒ > 0a < 2a > 2 2a a> 2 ln | |( ) | | x xf x x = 2( ) ln | |( ) ( )| | x xf x f xx − −− = =− ( )f x y 0x > 2 ln( ) lnx xf x x xx = = ( ) 1 lnf x x′ = + ( ) 0f x′ > 1x e > ( ) 0f x′ < 10 x e < < ( )f x 1(0, )e 1( , )e +∞ a b θ (2 )+ ⊥a b b (2 ) 0+ =a b b 22 0⋅ + =a b b | | | |=a b 2cos 1 0θ + = 1cos 2 θ = − 2π 3 θ = ,x y 1 1 1 2 2 6x y + =+ + 1 16 12 2x y  + = + +  ( 2) ( 2) 4x y x y∴ + = + + + − 1 16( )[( 2) ( 2)] 42 2 x yx y = + + + + −+ + 2 2 2 26(2 ) 4 6(2 2 ) 4 202 2 2 2 y x y x x y x y + + + += + + − ≥ + ⋅ − =+ + + + 10x y= = x y∴ + ,M N 1BC 1CD N ∈ 1 1CDD C M ∉ 1 1CDD C 1 1CDD C 1 1C D 1 1CDD C 1 1C D 1NB NC≠ M 1BC MN 1BC MN ⊥ 1ACD 1MN CD⊥ M 1BC 1MC MD= 1MC MD≠ 所以选项 C 不对; 对于选项 D,分别取 , 的中点 P、Q,连接 PM、QN、PQ. 因为点 是 的中点,所以 且 . 同理 且 . 所以 且 ,所以四边形 为平行四边形, 所以 . 在正方体中, , , 因为 , 平面 , 平面 , 所以 平面 . 因为 ,所以 平面 ,故选项 D 正确, 故选 D. 10.【答案】A 【解析】由 , , 成等差数列,可得 , , 则 , , , , 可得数列 中,每隔两项求和是首项为 ,公差为 的等差数列. 则 , , 则 的最大值可能为 . 由 , ,可得 , , 因为 , , ,即 ,所以 , 则 ,当且仅当 时, ,符合题意, 故 的最大值为 ,故选 A. 11.【答案】A 【解析】设 ,则 ,焦距 , 圆 ,即 , 所以圆 是以 为圆心,半径为 的圆, , 可得 是直角三角形,且 是圆的直径,所以 , 即 ,解得 , 因为 ,所以 ,所以 , 所以 ,故选 A. 12.【答案】C 【解析】由题可知,曲线 与 有公共点,即方程 有解, 即 有解, 令 ,则 , 则当 时, ;当 时, , 故 时, 取得极大值 ,也即为最大值, 当 趋近于 时, 趋近于 ,所以 满足条件.故选 C. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 1B C 1 1C D M 1BC 1PM CC∥ 1 1| |= | |2PM CC 1QN CC∥ 1 1| | | |2QN CC= PM QN∥ | | | |PM QN= PQNM PQ MN∥ 1CC PQ⊥ PQ AC⊥ 1AC CC C= AC ⊂ 1ACC 1CC ⊂ 1ACC PQ ⊥ 1ACC PQ MN∥ MN ⊥ 1ACC na 1 2n + 1na + 1 2 1++ = +n na a n n ∗∈N 1 2 3a a+ = 3 4 7a a+ = 5 6 11a a+ =  { }na 3 4 62 31 303 31 4 1953 20202S ×= × + × = < 64 32 313 32 4 2080 20202S ×= × + × = > n 63 1 2 1++ = +n na a n n ∗∈N 1 2 2 3+ ++ = +n na a n ( ) ( ) ( )63 1 2 3 4 5 62 63S a a a a a a a= + + + + + + + 1 5 9 125a= + + + + 1 1 31 3031 5 4 20152a a ×= + × + × = + 1 2 3a a+ = 1 23a a= − 2 3a < 2 3a− > − 1 0a > 63 12015 2015S a= + > 1 5a = 63 2020S = n 63 2| |PF x= 1| | 2PF x= 1 2| | 2F F c= 2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ = O (0,0) c 1 2| || | | |OF OP F cO = = = 1 2PF F△ 1 2F F 2 2 2 1 2 1 2 || || | |PF PF F F+ = 2 2 2( 2 ) (2 )x x c+ = 3 2c x= 1 2| || | 2PF PF a− = 2 2x x a− = 2 1 2a x −= 3 2 6 3 2 1 2 xce a x = = = + − ( ) 2f x ax= − lny x= 2 lnax x− = 2 ln xa x += ( ) 2 ln xh x x += ( ) 2 1 ln xh x x − −′ = 10 x e < < ( ) 0h x′ > 1x e > ( ) 0h x′ < 1x e = ( )h x 1h ee   =   x 0 ( )h x −∞ a e≤ 13.【答案】6000 【解析】设甲,乙,丙 3 个车间的产品件数分别为 , , , 所以 ,解得 , 所以这批产品中乙车间生产的产品件数是 6000,故答案为 6000. 14.【答案】 【解析】∵ ,∴ , 又 ,∴ ,本题正确结果 . 15.【答案】 【解析】当 时,令 ,得 ,即 ,该方程至多两个根; 当 时,令 ,得 ,该方程至多两个根, 由于函数 恰有 个不同的零点,则函数 在区间 和 上均有两 个零点. 由题意知,直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点,如下图所示: 由图象可知, ,解得 ; 函数 在区间 上也有两个零点, 令 ,解得 , , 由题意可得 ,解得 , 综上所述,实数 的取值范围是 ,故答案为 . 16.【答案】 【解析】设 , , , , 则 . 故答案为 . 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)由 及正弦定理得 , ∵ ,∴ , ∵ 是锐角三角形,∴ . (2)∵ , 面积为 ,∴ ,即 .① ∵ ,∴由余弦定理得 ,即 .② 由②变形得 , ③将①代入③得 ,故 . 18.【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】(1)由余弦定理得 , ∴ ,∴ , , ,∴ . 又平面 底面 ,平面 底面 , 底面 , a d− a a d+ ( ) ( ) 18000a d a a d− + + + = 6000a = 7 9 π 1cos( )4 3 α + = 2 2 7cos 2 2cos 1 14 9 π π 2 9 α α   + = + − = − = −       π 2cos(2 ) sin 2α α+ = − 7sin 2 9 α = 7 9 [3,6) 1x < ( ) 1 0f x − = | 1| 1 02 a x− + − = | 1| 12 ax + = − 1x ≥ ( ) 1 0f x − = 2(2 ) 1 0x a− − = ( ) 1y f x= − 4 ( ) 1y f x= − ( ),1−∞ [1, )+∞ 12 ay = − | 1|y x= + ( ,1)−∞ 0 1 22 a< − < 2 6a< < ( ) 1y f x= − [1, )+∞ 2(2 ) 1 0x a− − = 1 1 2 ax −= 2 1 2 ax += 1 12 a − ≥ 3a ≥ a [3,6) [3,6) 1 5 2 − ( )cos , sinP a bθ θ π ,2 k kθ ≠ ∈Z ( ),0A a− ( ),0B a ( ) 2 2 2 2 1 2 22 2 sin sin sin 1 51cos cos 2cos 1 b b b bk k ea a a a aa θ θ θ θ θ θ −= ⋅ = = − = − =+ − − 1 5 2 − π 3C = 5 3 2csina A= 3sin 2sin sinA C A= sin 0A ≠ 3sin 2C = ABC π 3C = π 3C = ABC△ 3 3 2 1 3 3sin2 π 3 2ab = 6ab = 7c = 2 2 π2 cos 73a b ab+ − = 2 2 7a b ab+ − = 2( ) 3 7a b ab+ = + 2( ) 25a b+ = 5a b+ = 3 2h = 2 21 2 2 1 2cos60 3BD = + − × × ° = 2 2 2BD AB AD+ = 90ABD∠ = ° BD AB⊥ AB DC ∥ BD DC⊥ PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= BD ⊂ ABCD ∴ 平面 , 又 平面 ,∴ . (2)设 到平面 的距离为 ,取 中点 ,连结 , ∵ 是等边三角形,∴ . 又平面 底面 ,平面 底面 , 平面 , ∴ 底面 ,且 , 由(1)知 平面 ,又 平面 ,∴ . ∴ ,即 ,解得 . 19.【答案】(1)列联表见解析;(2)140 人. 【解析】(1)由题意,被调查的男性人数为 ,其中有 人的休闲方式是运动; 被调查的女性人数应为 ,其中有 人的休闲方式是运动,则 列联表如下: 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 (2)由表中数据,得 , 要使在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“性别与休闲方式有关”, 则 , 所以 ,解得 , 又 且 ,所以 , 即本次被调查的人数至少有 140 人. 20.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)由题意知 , ,则 ,∴ , ∴椭圆 的方程为 . (2)设 , , 联立 ,得 , ∴ ,解得 , , , ∴ , 又点 到直线 的距离为 , ∵ ,解得 , ∴ . 21.【答案】(1) ;(2)证明见解析. 【解析】(1) , BD ⊥ PDC PC ⊂ PDC BD PC⊥ A PBD h DC Q PQ PDC△ PQ DC⊥ PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= PQ ⊂ PDC PQ ⊥ ABCD 3PQ = BD ⊥ PDC PD ⊂ PDC BD PD⊥ A PBD P ABDV V− −= 1 1 1 13 2 1 3 33 2 3 2h× × × × = × × × × 3 2h = 2 5 n 5 n 3 5 n 5 n 2 2× 5 n 5 n 2 5 n 5 n 2 5 n 3 5 n 2 5 n 3 5 n n 2 2 2 5 5 5 5 2 3 2 3 36 5 5 5 5 n n n nn nk n n n n  ⋅ − ⋅  = = ⋅ ⋅ ⋅ 2 3.841k ≥ 3.84136 n ≥ 138.276n ≥ *n∈N * 5 n ∈N 140n ≥ 2 2 14 x y+ = 10 2m = ± 2a = 3 2 c a = 3c = 2 2 2 1b a c= − = M 2 2 14 x y+ = 1 1)( ,A x y 2 2 )( ,B x y 2 2 14 y x m x y = + + = 2 25 8 4 4 0x mx m+ + − = 2 264 20(4 4) 0Δ m m= − − > 5 5m− < < 1 2 8 5 mx x∴ + = − 2 1 2 4 4 5 mx x −= 2 2 1 2 1 2 4 2| | 2 ( ) 4 55AB x x x x m= ⋅ + − = ⋅ − C AB | | 2 md = 21 1 4 2 | || | 5 12 2 5 2ABC mS AB d m= ⋅ = × ⋅ − ⋅ =△ 10 ( 5, 5)2m = ± ∈ − 10 2m = ± { }1a a = ( ) xf x e a′ = − 当 时, 对 恒成立,则 在 上单调递增, 由 ,与题设矛盾; 当 时,由 ,得 ;由 ,得 , 在 单调递减,在 单调递增. 对 成立, 令 ( ), ( ), 由 ,得 ;由 ,得 . 在 单调递增,在 单调递减, , 只有 适合题意, 综上,a 的取值范围是 . (2)由(1)可知, 时, ,则 , , 令 ,则 , , 由 ,知 ,则 , . 22.【答案】(1) , ;(2) . 【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 , 曲线 的直角坐标方程为 . 联立 ,解得 或 , 所以 与 交点的直角坐标为 和 . (2)曲线 的极坐标方程为 ,其中 , 因此 得到极坐标为 , 的极坐标为 . 所以 , 当 时, 取得最大值,最大值为 . 23.【答案】(1) 或 ;(2) 或 . 【解析】(1)不等式 可化为 . 当 时, ,解得 ,即 ; 当 时, ,解得 ,即 ; 当 时, ,解得 ,即 , 综上所述:不等式 的解集为 或 . (2)由不等式 可得 , ∵ ,∴ , 即 ,解得 或 , 故实数 的取值范围是 或 . 0a ≤ ( ) 0f x′ > x∈R ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) 11 1 0f ae − = + − < 0a > ( ) 0f x′ < lnx a< ( ) 0f x′ > lnx a> ( )f x∴ ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( ) ( ) ln min ln ln 1 ln 1 0af x f a e a a a a a∴ = = − − = − − ≥ 0a > ( ) ln 1g a a a a= − − 0a > ( ) ( )1 ln 1 lng a a a′∴ = − + = − 0a > ( ) 0g a′ > 0 1a< < ( ) 0g a′ < 1a > ( )g a∴ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )max 1 0g a g∴ = = ∴ 1a = { }1a a = 1a = ( ) 1 0xx ef x= − − ≥ 1 xx e+ ≤ ( ) ( )1 11 n n xx e+ +∴ + ≤ 1 1 kx n + = + ( )1,2,3, ,k n=  1 11 n k n k e n e + +   11 1n ee − < − 11 11 ne e − | 2 | | 1|x x x− + > − 1x < − ( 2) ( 1)x x x− − + > − + 3x > − 3 1x− < < − 1 2x− ≤ ≤ ( 2) 1x x x− − + > + 1x < 1 1x− ≤ < 2x > 2 1x x x− + > + 3x > 3x > ( ) 0f x x+ > { | 3 1x x− < < 3}x > 2( ) 2f x a a≤ − 2| 2 | | 1| 2x x a a− − − ≤ − | 2 | | 1|x x− − − ≤ | 2 1| 3x − − = 2 2 3a a− ≥ 2 2 3 0a a− − ≥ 3a ≥ 1a ≤ − a 3a ≥ 1a ≤ −

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