湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考数学试题 含答案详解及评分标准
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湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考数学试题 含答案详解及评分标准

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资料简介
数学试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.全集 , , ,则图中阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 2. 从 年起,某地考生的高考成绩由语文、数学、外语 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.等级性考试成绩位次由高到低分为 、 、 、 、 ,各等级人数所占比例依次为: 等级 , 等级 , 等级 , 等级 , 等级 .现采用分层抽样的方法,从参加历史等级性考试的学生中抽取 人作为样本,则该样本中获得 或 等级的学生人数为( ) A.55 B.80 C.90 D.110 3.已知 A={x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(  ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 4.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛 减一半,如此六日过其关”.则下列说法不正确的是( ) A.此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6 里 B.此人第六天只走了 5 里路 C.此人第二天走的路程比全程的 还多 1.5 里 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 5. 已知定义在 上的函数 ( 为实数)为偶函数,记 , , ,则( ) A. B. C. D. 6. 函数 的图象与 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个 公差为 的等差数列,要得到函数 的图象,只需将 的图象( ) 2020 3 A B C D E A 15% B 40% C 30% D 14% E 1% 200 A B 1 4 R | |( ) 2 1x mf x −= − m ( )32a f −= ( )3mb f= ( )0.5log 3c f= a b c< < a c b< < c a b< < c b a< < π( ) sin( )( 0)4f x A xω ω= + > x π 3 ( ) cosg x A xω= ( )f x A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单 位 7.现有某种细胞 1 千个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂 成 2 个细胞,按这种规律,1 小时后,细胞总数约为 1 2×10000+ 1 2×10000×2= 3 2×10000,2 小时后,细胞总数约为 1 2× 3 2×10000+ 1 2× 3 2×10000×2= 9 4×10000,问当细胞总数超过 1010 个时,所需时间至少为(  ) (参考数据:lg3≈0.477,lg2≈0.301) A.38 小时    B.39 小时 C.40 小时 D.41 小时 8. 若 ,设函数 的零点为 的零点为 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9. 如图,点 P 在正方体 的面对角线 上运动,则下列四个结论: A.三棱锥 的体积不变 B. 与平面 所成的角大小不变 C. D. 其中正确的结论有    10.已知双曲线 的左右两个顶点分别是 A1,A2,左右两个焦点分别是 F1, F2,P 是双曲线上异于 A1,A2 的任意一点,给出下列命题,其中是真命题的有( ) A. B.直线 的斜率之积等于定值 C.使 为等腰三角形的点 有且仅有 4 个 D.焦点到渐近线的距离等于 b 11.在 中,角 所对的边分别为 ,已知 , ,下列判断: A.若 ,则角 有两解; B.若 ,则角 有两解; C. 为等边三角形时周长最大. D. 为等边三角形时面积最小 其中判断正确的是( ) 12. 已知函数 , , 若函数 有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______ A. 4 π π 12 4 π 3 4 π 1a > ( ) 4xf x a x= + − ( ), log 4am g x x x= + − n 1 1 m n + 7 ,2  +∞   9 ,2  +∞   ( )4,+∞ [ )1,+∞ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BC 1A D PC− 1A P 1ACD 1DP BC⊥ 1DB ⊥ 1PA ( ) 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2 2PF PF a− = 1 2,PA PA 2 2 b a 1 2PF F∆ P ABC , ,A B C , ,a b c 60B = ° 4b = 3c = C 9 2a = C ABC ABC ( ) lnf x x= 3 2( ) 2e ( )g x x x kx k R= − + ∈ ( ) ( )y f x g x= − 2 1e ek = + B.曲线 在点 处的切线与直线 平行 C.函数 在 上的最大值为 D.函数 在 上单调递增。 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 的展开式中 的系数为______________ 14.函数 为奇函数,则实数 15. 中,角 所对的边分别为 ,若函数 有极值点,则角 的范围是____________________ 16. 黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出,在高等数 学中有着广泛的应用,其定义为: ,若函数 是定义在 上的奇函数,且对任意 都有 ,当 时, ,则 _________. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数 (k 为常数, 且 ). (1)在下列条件中选择一个,使数列 是等比数列,说明理由; ① 数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列; ② 数列 是首项为 4,公差为 2 的等差数列; ③ 数列 是首项为 2,公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列. (2)在(1)的条件下,当 时,设 ,求数列 的前 n 项和 . 18. 已知函数 的图象过点(0, ),最小正 周期为 ,且最小值为-1. (1)求函数 的解析式. (2)若 在区间 上的取值范围是 ,求 m 的取值范围. 19. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 , 和 均是等腰直角 ( )y g x= (e, (e))g e 1 0x y− + = 2( ) 2ey g x x= + [0,e] 22e 1+ 2( ) ee xy g x x= − − [0,1] ( )( )42x y x y+ + 3 2x y ( ) 2ln 1 xf x ax  = + +  ___________a = ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) ( )3 2 2 21 3f x x bx a c ac x= + + + − 1+ B ( ) [ ] 1 , ( , , 0, 0,1 0,1 q qx p qp p pR x x  ==   = 当 都是正整数 是既约真分数) 当 或 上的无理数 ( )f x R x ( ) ( )2 0f x f x− + = [ ]0,1x∈ ( ) ( )f x R x= 10 8lg 3 5f f   − =       ( ) logkf x x= 0k > 1k ≠ { }na ( ){ }nf a ( ){ }nf a ( ){ }nf a 2k = 1 2 2 4 1 + = − n n na b n { }nb nT π( ) cos( )( 0, 0,0 )2f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < < 1 2 2π 3 ( )f x ( )f x π[ , ]6 m 3[ 1, ]2 − − V ABC− VAC ⊥ ABC ABC∆ VAC∆ 三角形, , , , 分别为 , 的中点. (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20. 在平面直角坐标系中,椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)过点( 5 2 , 3 2 ),离心率为2 5 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 K(2,0)作与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,过 A,B 点作直线 l:x=a2 c 的垂 线,其中 c 为椭圆 C 的半焦距,垂足分别为 A1,B1,试问直线 AB1 与 A1B 的交点是否为定点, 若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由. 21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程, 要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,才能取得参 加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这 四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同,(见下表),且每一门课程是否合格 相互独立, 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 (1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (2)记 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 的分布列(只需列式 无需计算)及期望 . 22. 已知函数 ,其中 . (1)当 时,求曲线 在点 的切线方程; (2)求证:若 有极值,则极大值必大于 0. AB BC= 2AC CV= = M N VA VB AB VC⊥ VB CMN 3 4 2 3 2 3 1 2 ξ ξ Eξ ( ) ( )2 x x ax a f x e + − = a R∈ 0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x 答案 选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B A B C D ABD BD BC AB 填空题: 13. 14 14. 15. 16. 解答题 17. (10 分) 【解析】(1)①③不能使 成等比数列.②可以: 由题意 , ………1 分 即 ,得 ,且 , . ………3 分 常数 且 , 为非零常数, 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列. ………4 分 (2)由(1)知 ,所以当 时, . ………5 分 因为 , 所以 ,所以 , ………7 分 . ………10 分 18. (12 分) 【解析】(1)由函数的最小值为-1,可得 A=1, ………2 分 因为最小正周期为 ,所以 =3. ………4 分 可得 , 又因为函数的图象过点(0, ),所以 ,而 ,所以 , 故 . ………6 分 1− ( , )3 π π 1 5 { }na ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = + log 2 2k na n= + 2 2n na k += 4 1 0a k= ≠ 2( 1) 2 21 2 2 n n n n a k ka k + + + +∴ = =  0k > 1k ≠ 2k∴ ∴ { }na 4k 2k 2n2 n ka += 2k = 12n na += 1 2 2 4 1 + = − n n na b n 2 1 4 1nb n = − 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n  = = − − + − +  1 2 1 1 1 1 1 1... 1 ...2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n  = + + + = − + − + + − − +  1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  2 3 π ω ( ) cos(3 )f x x ϕ= + 1 2 1cos 2 ϕ = 0 2 πϕ< < 3 πϕ = ( ) cos(3 )3f x x π= + (2)由 ,可知 , 因为 ,且 cos =-1, , 由余弦曲线的性质的, ,得 , 即 . ………12 分 19. (12 分) 【解析】 (Ⅰ)在等腰直角三角形 中, ,所以 . ………2 分 因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , 所以 平面 . ………4 分 又因为 平面 ,所以 ; ………5 分 (Ⅱ)在平面 内过点 作 垂直于 , 由(Ⅱ)知, 平面 , 因为 平面 ,所以 . ………6 分 如图,以 为原点建立空间直角坐标系 . 则 , , , , . , , . ………7 分 设平面 的法向量为 , 则 ,即 . 令 则 , ,所以 . ………10 分 直线 与平面 所成角大小为 , . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………12 分 [ , ]6x m π∈ 5 3 36 3 3x m π π π≤ + ≤ + 5 3( ) cos6 6 2f π π= = − π 7 3cos 6 2 π = − 73 3 6m π ππ ≤ + ≤ 2 5 9 18m π π≤ ≤ 2 5[ , ]9 18m π π∈ VAC∆ AC CV= VC AC⊥ VAC ⊥ ABC VAC  ABC AC= VC ⊂ VAC VC ⊥ ABC AB Ì ABC AB VC⊥ ABC C CH AC VC ⊥ ABC CH ⊂ ABC VC CH⊥ C C xyz− ( )0,0,0C ( )0,0,2V ( )1,1,0B ( )1,0,1M 1 1, ,12 2N      ( )1,1, 2VB = − ( )1,0,1CM = 1 1, ,12 2CN  =     CMN ( ), ,n x y z= 0 0 n CM n CN  ⋅ =  ⋅ =   0 1 1 02 2 x z x y z + = + + = 1x = 1y = 1z = − ( )1,1, 1n = - VB CMN θ 2 2sin cos , 3 n VB n VB n VB θ ⋅ = = = ⋅       VB CMN 2 2 3 20. (12 分) 【解析】 (1)由题意得Error!⇒Error! 所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 x2 5+ y2 = 1. ………4 分 (2)①当直线 AB 的斜率不存在时,直线 l:x=5 2, AB1 与 A1B 的交点是(9 4,0 ). ………5 分 ②当直线 AB 的斜率存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 为 y=k(x-2), 由Error!⇒(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0, 所以 x1+x2= 20k2 1+5k2,x1x2=20k2-5 1+5k2 , ………6 分 A1(5 2,y1 ),B1(5 2,y2 ), 所以 lAB1:y=y2-y1 5 2-x1 (x-5 2 )+y2, lA1B:y=y2-y1 x2-5 2 (x-5 2 )+y1, ………7 分 联立解得 x= x1x2-25 4 x1+x2-5= 20k2-5 1+5k2 -25 4 20k2 1+5k2-5 =Error!=9 4, ………9 分 代入上式可得 y=k(x2-x1) -10+4x1 +y2= -9k(x1+x2)+4kx1x2+20k 4x1-10 = -9k· 20k2 1+5k2+4k· 20k2-5 1+5k2 +20k 4x1-10 =0. ………11 分 综上,直线 AB1 与 A1B 过定点(9 4,0 ). ………12 分 21. (12 分) 【解析】(1) 分别记甲对这四门课程考试合格为事件 ,则“甲能修得该课程学分” 的概率为 ,事件 相互独立, ………2 分 . ……5 分 (2) , , , 因此, 的分布列如下: , , ,A B C D ( ) ( ) ( )P ABCD P ABCD P ABCD+ + , , ,A B C D 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 5( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 12P ABCD P ABCD P ABCD+ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 0 3 3 7( 0) ( )12P Cξ = = 1 2 3 5 7( 1) ( )( )12 12P Cξ = = 2 2 3 5 7( 2) ( ) ( )12 12P Cξ = = 3 3 3 5( 3) ( )12P Cξ = = ξ ξ 0 1 2 3 P 0 3 3 7( )12C 1 2 3 5 7( )( )12 12C 2 2 3 5 7( ) ( )12 12C 3 3 3 5( )12C ………9 分 因为 ~ ………10 分 所以 ………12 分 22. (12 分) 【解析】(1) , ………2 分 当 时, , , ………3 分 则 在 的切线方程为 ; ………4 分 (2)证明:令 ,解得 或 , ………5 分 ①当 时, 恒成立,此时函数 在 上单调递减, ∴函数 无极值; ………6 分 ②当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 或 , ∴函数 在 上单调递增,在 , 上单调递减, ∴ ; ………9 分 ③当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 或 , ∴函数 在 上单调递增,在 , 上单调递减, ∴ , 综上,函数 的极大值恒大于 0. ………12 分 ξ 53,12B     5 53 .12 4Eξ = × = ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2' x x x a x a x a xf x e e − − − + − + −= = 0a = ( ) 1' 1f e = ( ) 11f e = ( )f x ( )( )1, 1f 1y xe = ( )' 0f x = 2x = x a= − 2a = − ( )' 0f x ≤ ( )f x R ( )f x 2a > − ( )' 0f x > 2a x− < < ( )' 0f x < x a< − 2x > ( )f x ( ),2a− ( ), a−∞ − ( )2,+∞ ( ) ( ) 2 42 0af x f e += = > 极大值 2a < − ( )' 0f x > 2 x a< < − ( )' 0f x < 2x < x a> − ( )f x ( )2, a− ( ),2−∞ ( ),a− +∞ ( ) ( ) 0a af x f a e −= − = > 极大值 ( )f x

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