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控江中学高三上月考数学试卷
2020.9
一、填空题
1．设集合 ， ，则 ．
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
3．若函数 ，则 ．
4．已知 ，则方程 的解集是 ．
5．已知某圆锥体的底面半径为 3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇
形，则该圆锥体的母线长是 ．
6．函数 ， 的单调递增区间是 ．
7．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，
满足 ，则该双曲线的渐近线方程是 ．
8 ． 在 的 二 项 展 开 式 中 ， 若 是 所 有 二 项 式 系 数 的 和 ， 则
．
9．控江中学高三（1）班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成，现从中任选 3 人参加上海市某
社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有 种不同的选法．
10．设 ，若函数 是奇函数，则 ．
11．已知 ， ，若 是 成立的必要条件，则实数
的取值范围是 ．
12．设 ．若对于任意实数 ，都存在 满足 ，则 的取
值范围是 ．
二、选择题
13．已知向量 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
{1,2,3,4}A = { | 1}B x x= > A B =
z (1 2 ) 5z − =i i | |z =
( ) 2 3xf x = − 1(1)f − =
(0, )2x π∈ 2sin 1 01 2cos
x
x
=
2
3 π
2 2 1( ) cos sin 3f x x x= − − (0, )x π∈
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P
1 2 1 2
3| | | | | |5PF PF F F− =
(1 )nx+ na
1 2
1 1 1lim( )
n
na a a→∞
+ + + =
,2 2
π πθ ∈ − ( ) sin( 2 ) 3cos( )f x x xθ θ= + + + θ =
:1 4xα ≤ ≤ 2
2 4:log 4 log 1 0x a xβ − ⋅ + ≤ α β a
m∈R a [ 2,2]x ∈ − 2| 1| | |x x a m− + − > m
a b a b= ± | | | |a b=
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C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．将函数 的图像上所有的点向右平移 个单位长度，再把图像上各点的横
坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
15．若等比数列 的公比为 ，则关于 、 的二元一次方程组 的
解，下列说法中正确的是（ ）
A．对任意 ，方程组都有无穷多组解
B．对任意 ，方程组都无解
C．当且仅当 时，方程组无解
D．当且仅当 时，方程组有无穷多组解
16．已知 都是定义在 上的函数，下列两个命题：
①若 、 都不是单调函数，则 不是增函数．
②若 、 都是非奇非偶函数，则 不是偶函数．
则（ ）
A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误
三、解答题
17．在棱长为 2 的正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 的
中心．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求 与底面 所成角的大小．
sin 6y x π = − 4
π
5sin 2 12
xy π = − sin 2 12
xy π = +
5sin 2 12y x π = −
5sin 2 24
xy π = −
{ }na ( 0)q q ≠ x y 1 3
2 4
4
3
a x a y
a x a y
+ =
+ = −
( 0)q q∈ ≠R
( 0)q q∈ ≠R
3
4q = −
3
4q = −
( ), ( )f x g x R
( )f x ( )g x ( ( ))f g x
( )f x ( )g x ( ( ))f g x
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1C D F 1 1AA D D
1 1A D EF−
EF 1 1 1 1A B C D
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18 ． 已 知 等 差 数 列 中 ， ， ， 设 数 列 的 前 项 和 为 ， 且
．
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
19．如图，一艘湖面清运船在 处发现位于它正西方向的 处和北偏东 方向上的 处分
别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到 的距离比到 的距离少 40 米，于是
选择沿 路线清扫．已知清运船的直线行走速度为 2 米/秒，总共用了 100 秒钟完
成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在 处转向所用时间）．
（1） 、 两处垃圾的距离是多少？
（2）清运船此次清扫行走路线的夹角 是多少？（用反三角函数表示）
{ }na 2 5a = 5 14a = { }nb n nS
2 1n nS b= −
,n na b
{ }nc n n nc a b= + { }nc n nT
A B 30° C
B C
A B C→ →
B
B C
B∠
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20．已知直线 与圆锥曲线 相交于 、 两点，与 轴、 轴分别交于 、 两点，且满
足 、 ．
（1）已知直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ，求 的值；
（2）已知直线 ，椭圆 ，求 的取值范围；
（3）已知双曲线 ， ，求点 的坐标．
21．已知函数 ，如果对于定义域 内的任意实数 ，对于给定的非零常数
，总存在非零常数 ，恒有 成立，则称函数 是 上的 级递减周
期函数，周期为 ．若恒有 成立，则称函数 是 上的 级周期函数，
周期为 ．
（1）已知函数 是 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数，求实数 的取值
范围；
（2）已知 ， 是 上 级周期函数，且 是 上的单调递增函
数，当 时， ，求实数 的取值范围；
（3）是否存在非零实数 ，使函数 是 上的周期为 的 级周期函数？
请证明你的结论．
l C A B x y D E
1EA ADλ=
2EB BDλ=
l 2 4y x= − C 2 4y x= 1 2λ λ+
: 1( 1)l x my m= + >
2
2: 12
xC y+ =
1 2
1 1
λ λ
+
2
2: 13
xC y− = 1 2 6λ λ+ = D
( ),y f x x D= ∈ D x
P T ( ) ( )f x T P f x+ < ⋅ ( )f x D P T ( ) ( )f x T P f x+ = ⋅ ( )f x D P T 2( )f x x a= + [2, )+∞ a 1T = ( )y f x= [0, )+∞ P ( )y f x= [0, )+∞ [0,1)x ∈ ( ) 2xf x = P k 1( ) cos2 x f x kx = ⋅ R T T
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参考答案
一、填空题
1． 2． 3．2 4． 5．9 6． 7．
8．1 9．31 10． 11． 12．
【第 11 题解析】由题意， ，
令 ，则 即 （*），
显然 不满足（*）式，于是原问题可转化为 ，
即水平直线 位于 图像上方（含重合）时对应的 的取值集合为 的子集，
数形结合可得实数 的取值范围是 ．
【第 12 题解析】记 ，
易得 ，
计算可得，当 时， ，当 时， ，
∴ ，当 时， ，
由题意， ，即 的取值范围是 ．
二、选择题
13．A 14．A 15．D 16．D
【第 16 题解析】①的反例： ，则 ；
{2,3,4} 5 5,12 12
π π ,2
π π
4
3y x= ±
3
π− 5, 4
−∞ ( ,5)−∞
2
2 4{ | log 4 log 1 0} { |1 4}x x a x x x− ⋅ + ⊆≤ ≤ ≤
2log , [0,2]t x t= ∈ β 2 2 1 0t at− + ≤
0t = 1 1 (0,2]2t a t t
+ ⊆
≥
y a= 1 1
2y t t
= + t (0,2]
a 5, 4
−∞
2( ) | 1| | |, [ 2,2]f x x x a x= − + − ∈ −
max( ) max{ ( 2), (2)} max{3 | 2 |,3 | 2 |}f x f f a a= − = + − + +
0a≥ 3 | 2 | 3 | 2 |a a+ + + −≥ 0a < 3 | 2 | 3 | 2 |a a+ + < + − max 3 | 2 | 5, 0( ) 3 | 2 | 5, 0 a a af x a a a + + = += + − = − + m ( ,5)−∞
1 , 0( ) ( )
0, 0
xf x g x x
x
≠= =
=
( ( ))f g x x=
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②的反例： ， ，∴①②都错误，选 D．
三、解答题
17．（1） ；（2） ．
18．（1） ， ；（2） ．
19．（1）140 米；（2） （或 ）．
20．（1）将 ，代入 ，求得点 ， ，
又因为 ， ，
由 得到， ， ，
同理由 得， ．所以
（2）联立方程组： 得 ，
， ，又点 ， ，
由 得到 ， ，
同理由 得到 ， ，
，即 ，
，
因为 ，所以点 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
，所以
（3）直线 的方程为 ，代入方程
得到： ．
， ， (1)
2( ) ( 1)f x x= + ( ) 1g x x= −
1
3
2arctan 2
2 1( )na n n ∗= − ∈N 2 ( )n
nb n ∗= ∈N (2 3) 2 3( )n
nT n n ∗= − ⋅ + ∈N
5 3arcsin 14
11arccos14
2 4y x= − 2 4y x= (1, 2)A − (4,4)B
(2,0)D (0, 4)E −
1EA ADλ=
1 1 1(1,2) (1,2) ( ,2 )λ λ λ= = 1 1λ =
2EB BDλ=
1 2λ = − 1 2 1λ λ+ = −
2 2
1
2 2 0
x my
x y
= +
+ − =
2 2( 2) 2 1 0m y my+ + − =
1 2 2
2
2
my y m
+ = − + 1 2 2
1
2y y m
= − + (1,0)D 10,E m
−
1EA ADλ=
1 1 1
1y ym λ+ = − 1
1
1 11 m yλ
= − +
2EB BDλ=
2 2 2
1y ym λ+ = − 2
2
1 11 m yλ
= − +
1 2
1 2
1 2
( )1 12 2 2 4y y mm y y mλ λ
+ + = − + = − + ⋅ = − 1 2 4λ λ+ = −
2 2
1 2 1 2 1 1 1
1 1 4 4 4
4 ( 2) 4λ λ λ λ λ λ λ
+ = − = =+ + −
1m > A
1 ( 2 2,0)λ ∈ −
1 2
1 1 ( , 2)λ λ
+ ∈ −∞ −
l x my t= +
2
2 13
x y− =
2 2 2( 3) 2 ( 3) 0m y mty t− + + − =
1 2 2
2
3
mty y m
+ = − −
2
1 2 2
3
3
ty y m
−= − − 2
1 2
1 1 2
3
mt
y y t
+ = − −
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而由 、 得到： (2)
(3)
由（1）（2）（3）得到： ， ，
所以点 ，
当直线 与 轴重合时， ， 或者 ， ，
都有 也满足要求，
所以在 轴上存在定点
21．改编自 2012 年浦东二模理 23
（1）由题意可知： ，即 对 恒成立，
也即 对 恒成立，
∵ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 时， ，∴当 时， ，
当 时， ，
即 时， ， ，
∵ 在 上单调递增，∴ 且 ，即 ．
（3）由已知，有 对一切实数 恒成立，
即 对一切实数 恒成立，
也即 对一切实数 恒成立，
当 时，∵ ，∴ ， ，于是 ， ，
故要使 恒成立，只有 ，
①当 时，即 （*）时，
由函数 与 的图像存在交点，故方程（*）有解；
1EA ADλ=
2EB BDλ=
1 2
1 2
1 1( ) 2 t
m y yλ λ
− + = + +
1 2 6λ λ+ =
2
22 63
t mt
m t
+ − = − − 2t = ±
( 2,0)D ±
l x 1
a
t aλ = − + 2
a
t aλ = − 1
a
t aλ = − 2
a
t aλ = − +
2
1 2 2 2
2 6a
t aλ λ+ = =−
x ( 2,0)D ±
( 1) 2 ( )f x f x+ < 2 2( 1) 2 2x a x a+ + < + [2, )x ∈ +∞ 2 2 1a x x> − + + [2, )x ∈ +∞
2 22 1 ( 1) 2y x x x= − + + = − − + [2, )x ∈ +∞
2 2
max( 2 1) 2 2 2 1 1x x− + + = − + ⋅ + =
1a >
[0,1)x ∈ ( ) 2xf x = [1, 2)x ∈ 1( ) ( 1) 2xf x Pf x P −= − = ⋅
[ , 1)x n n∈ + 2( ) ( 1) ( 2) ( ) 2n n x nf x Pf x P f x P f x n P −= − = − = = − = ⋅
[ , 1)x n n∈ + ( ) 2n x nf x P −= ⋅ *n∈N
( )f x [0, )+∞ 0P > 1 ( 1)2 2n n n n n nP P− − − −⋅ ⋅≥ 2P≥
( ) ( )f x T Tf x+ = x
1 1cos ( ) cos2 2
x T x
k x T T kx
+ ⋅ + = ⋅ ⋅ x
cos ( ) 2 cosTk x T T kx+ = ⋅ x
0k ≠ x ∈R kx ∈R kx kT+ ∈R cos [ 1,1]kx ∈ − cos( ) [ 1,1]kx kT+ ∈ −
cos ( ) 2 cosTk x T T kx+ = ⋅ 2 1TT ⋅ = ±
2 1TT ⋅ = 12T
T
=
2xy = 1y x
=
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此时 恒成立，则 ， ；
②当 （**）时，类似①中分析可得，方程（**）无解；
综上，存在 符合题意，其中 满足 ．
【说明】也可利用下述方法说明方程 有解，
记 ，∵ ， ，∴ ，
于是由零点存在性定理，可知存在 ，使得 ，
即存在 ，使得 ．
cos( ) coskx kT kx+ = 2 ,kT m mπ= ∈Z 2 ,mk mT
π= ∈Z
2 1TT ⋅ = −
2 ,mk mT
π= ∈Z T 2 1TT ⋅ =
2 1TT ⋅ =
( ) 2 1xf x x= ⋅ − (0) 1f = − (1) 1f = (0) (1) 1 0f f⋅ = − < (0,1)T ∈ 2 1 0TT ⋅ − = (0,1)T ∈ 2 1TT ⋅ =
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