新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金
卷
数 学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量 ， 均为单位向量，若向量 ， 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 是等比数列 的前项和， ， ， 成等差数列，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．函数 的单调增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为 ，
，若以 为直径的圆内切于菱形 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测的数据算
得的线性回归方程可能是（ ）
A． B． C． D．
10．为了更好的支持中小型企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查
了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据得到如下的频率分布直方图，则下列结论正确的
是（ ）
i 1 1 iz = + 2 1 iz = - 1
2
z
z =
1
2-
1
2 i- i
{ 2, 1,0,1,2}M = − − { |( 1)( 2) 0}N x x x= + − < M N =
{ 1,0}− {0,1} { 1,0,1}− {0,1,2}
m n m n π
2 | 3 4 |+ =m n
25 7 5 7
nS { }na 3S 9S 6S 8 2a = 2 5a a+ =
12− 4− 4 12
π( ) 3 cos( ) cos(π )2f x x x= − + −
5π π[ 2 π, 2 π]6 6k k− + + k ∈Z 2π π[ 2 π, 2 π]3 3k k− + + k ∈Z
π 2π[ 2 π, 2 π]3 3k k− + + k ∈Z π 5π[ 2 π, 2 π]6 6k k− + + k ∈Z
3y kx= + 2 2( 3) ( 2) 4x y- - =＋ M N | | 2 3MN ³ k
3[ ,0]4-
3( , ] [0, )4-¥ - +¥
3 3[ , ]3 3-
2[ ,0]3-
21( ) ln ( 0)2f x a x x a= + > 1x 2x 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x
x x
− >−
a
(0,1] (1, )+∞ (0,1) [1, )+∞
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1A 2A 1B 2B 1F
2F 1 2A A 1 1 2 2F B F B
5 1− 3 5
2
+ 5 1
2
+
3 1+
y x 4x = 5.6y =
0.4 4y x= + 1.2 10.4y x= − + 0.6 8y x= − + 0.7 8.2y x= − +
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A． B．样本数据落在区间 的频率为
C．样本平均数约为 D．样本中位数约为
11．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角形，
且平面 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 平面 B．异面直线 与 所成的角为
C．二面角 的大小为 D．在棱 上存在点 使得 平面
12．已知函数 的图象关于点 对称，函数 对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．函数 的定义域为________，值域为__________．
14．已知 ， ， 展开式的常数项为 ，则 的最小值为 ．
15．已知数列 满足 ， ， ，那么 成立的 的最大值为
________．
16．设过抛物线 上任意一点 （异于原点 ）的直线与抛物线 交
于 ， 两点，直线 与抛物线 的另一个交点为 ，则 ．
四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中，求 ．
问题：在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对边的边长，且满足
， ，_______．
18．（12 分）记 为数列 的前 项和，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，设数列 的前 项和为 ，求 的值．
0.0015m = [400,700) 0.7
565 3500
6
P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° PAD
PAD ⊥ ABCD
PAB ⊥ PBC AD PB 60°
P BC A− − 45° AD M AD ⊥ PMB
( 1)y f x= − (1,0) ( )y f x= (0,π)x∈
( )sin ( )cosf x x f x x′ > ( )f x′ ( )f x
π π( ) 3 ( )3 6f f− < − 3π π2 ( ) ( )4 2f f< − −
π π3 ( ) 2 ( )2 3f f> 5π 3π2 ( ) ( )6 4f f<
( ) 3 9xf x = −
0a > 0b > 6( )bax x
+ 5
2 2a b+
{ }na 1 1a = 0na > 1 1n na a+ - = 32na < n
2 2 ( 0)y px p= > P O 2 8 ( 0)y px p= >
A B OP 2 8 ( 0)y px p= > Q ABQ
ABO
S
S
=△
△
8a c+ = sin 2sinA C= 7sin 2c B =
ABCS△
ABC△ a b c A B C
7b =
nS { }na n 1 19a = 1 ( 1)n nS na n n+= + +
{ }na
| |n nb a= { }nb n nT 20T
cos
cos 2
B b
C a c
− =+ +
2
b
a c
− +19．（12 分）如图，在五面体 中，四边形 是正方形， ， ，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（12 分）某工厂 ， 两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可
分别获利 元、 元、 元，现从 ， 生产线的产品中各随机抽取 件进行检测，结果统计如
下图：
（1）根据已知数据，判断是否有 的把握认为一等级产品与生产线有关？
（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
（3）估计该厂产量为 件产品时的利润以及一等级产品的利润．
附： ．
ABCDEF EDCF AD DE= 90ADE∠ = °
120ADC DCB∠ = ∠ = °
ABCD ⊥ EDCF
AF BDF
A B
10 8 6 A B 100
99%
2000
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +21．（12 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左顶点为 ，左焦点为 ，点
在椭圆 上，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 分别与
轴交于点 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）以 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
22．（12 分）已知函数 （其中 ）．
（1）讨论函数 的极值；
（2）对任意 ， 成立，求实数 的取值范围．
C x A 1( 2,0)F -
(2, 2)B C ( 0)y kx k= ¹ C E F AE AF y
M N
C
MN
( ) ln 1f x a x x= − + a ∈ R
( )f x
0x > 21( ) ( 1)2f x a≤ − a新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金
卷
数 学（B）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由题意，得 ．
2．【答案】B
【解析】集合 ， ，
∴ ．
3．【答案】C
【解析】因为向量 ， 的夹角为 ，所以 ，
又 ， 均为单位向量，所以 ．
4．【答案】C
【解析】设数列 的公比为 ，
当 时， ，则 ， ， ，此时 ， ， 不成等差数列，不符合题
意，舍去；
当 时，∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
即 ，
即 ，解得 或 （舍去）或 （舍去），
∴ ， ，∴ ．
5．【答案】C
【解析】因为 ，
由 ， ，可得 ， ，
即函数 的单调递增区间为 ， ．
6．【答案】A
【解析】圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，解不等式得 的取值范围 ．
7．【答案】D
【解析】根据 可知函数的导数大于或等于 ，
所以 ，分离参数得 ，
而当 时， 最大值为 ，故 ．
8．【答案】C
【解析】由题意可得 ， ， ， ， ， ，
且 ，菱形 的边长为 ，
由以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 ， ， ， ，
由面积相等，可得 ，
即为 ，即有 ，
由 ，可得 ，解得 ，
可得 或 (舍去)．
2
1
2
1 i (1 i) 2i i1 i (1 i)(1 i) 2
z
z
+ += = = =- - +
{ 2, 1,0,1,2}M = − − { |( 1)( 2) 0} { | 1 2}N x x x x x= + − < = − < <
{0,1}M N =
m n π
2 0⋅ =m n
m n | 3 4 | 9 16 24 5+ = + + ⋅ =m n m n
{ }na q
1q = 2na = 3 6S = 6 12S = 9 18S = 3S 9S 6S
1q ≠ 3S 9S 6S 3 6 92S SS + =
3 6 9
1 1 1(1 ) (1 ) (1 )21 1 1
a q a q a q
q q q
− − −+ = ⋅− − −
9 6 32 0q q q− − = 3 1
2q = − 3 1q = 3 0q =
8
2 6 8aa q
= = 8
5 3 4aa q
= = − 2 5 4a a+ =
π π( ) 3 cos( ) cos(π ) 3sin cos 2sin( )2 6f x x x x x x= − + − = − = −
π π π2 π 2 π2 6 2k x k− + ≤ − ≤ + k ∈Z π 2π2 π 2 π3 3k x k− + ≤ ≤ + k ∈Z
π( ) 2sin( )6f x x= − π 2π[ 2 π, 2 π]3 3k k− + + k ∈Z
(3,2) 2 2
| 3 1|
1
kd
k
+=
+
2 2
2
| 3 1| | |( ) ( ) 421
k MN
k
+ + =
+
| | 2 3MN ³ 2
| 3 1| 1
1
k
k
+ £
+
k 3[ ,0]4-
1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x
x x
− >− 2
( ) 2( 0, 0)af x x x ax
′ = + ≥ > > (2 )a x x≥ −
0x > (2 )x x− 1 1a ≥
1( ,0)A a− 2 ( ,0)A a 1(0, )B b 2 (0, )B b− 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c
2 2 2a b c+ = 1 1 2 2F B F B 2 2b c+
1 2A A 1 1 2 2F B F B A B C D
2 21 12 2 42 2b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ +
2 2 2 2 2( )b c a b c= + 4 4 2 23 0c a a c+ − =
ce a
= 4 23 1 0e e− + = 2 3 5
2e
±=
1 5
2e
+= 5 1
2e
−=二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】BC
【解析】因为变量 与 负相关，所以 ，排除 A 选项；
因为 ， ，代入检验即可得到 B，C 是正确选项，
10．【答案】ABD
【解析】由已知可得 ，∴ ；
样本数据落在区间 的频率为 ；
样本平均数约为
；
样本中位数约为 ．
11．【答案】CD
【解析】取 的中点 ，连结 ， ，则 ，
又∵ ，且四边形 为菱形，
∴ 为等边三角形，∴ ，∴ 平面 ，∴D 正确；
∵平面 平面 ，∴ 平面 ，
∴ 为二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
，∴ ，∴C 正确．
12．【答案】AC
【 解 析 】 由 已 知 ， 为 奇 函 数 ， 函 数 对 于 任 意 的 满 足
，
得 ，即 ，
所以 在 上单调递增；
又因为 为偶函数，所以 在 上单调递减．
所以 ，即 ，A 正确；
，即 ，C 正确．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 ，
【解析】令 ，可得 ，∴ 的定义域为 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
14．【答案】
【解析】 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，从而求的 ，整理得 ，
而 ，
y x ˆ 0b <
4x = 5.6y =
(0.0010 2 0.0030 0.0025 0.0005) 100 1m+ + + + × = 0.0015m =
[400,700) (0.0015 0.0030 0.0025) 100 0.7+ + × =
(350 0.0010 450 0.0015 550 0.0030 650 0.0025× + × + × + × +
750 0.0015 850 0.0005) 100 585× + × × =
0.25 3500500 1000.30 6
+ × =
AD M PM BM PM AD⊥
60DAB∠ = ° ABCD
ABD△ AD BM⊥ AD ⊥ PBM
PAD ⊥ ABCD PM ⊥ ABCD
PBM∠ P BC A− − 1AB = 3
2BM = 3
2PM =
tan 1PMPBM BM
∠ = = 45PBM∠ = °
( )f x ( )y f x= (0,π)x∈
( )sin ( )cosf x x f x x′ >
( )sin ( )cos 0f x x f x x′ − > ( )( ) 0sin
f x
x
′ >
( )
sin
f xy x
= (0,π)
( )
sin
f xy x
= ( )
sin
f xy x
= ( π,0)−
π π( ) ( )3 6
π πsin( ) sin3 6
f f−
>
−
π π( ) 3 ( )3 6f f− < −
π π( ) ( )3 2
π πsin sin3 2
f f
< π π3 ( ) 2 ( )2 3f f>
1( , ]2
−∞ [0, 3)
3 9 0x− ≥ 1
2x ≤ ( ) 3 9xf x = − 1( , ]2
−∞
9 0x > 3 9 3x− < ( ) 3 9 [0, 3)xf x = − ∈
2
6( )bax x
+ 6 6 6
1 6 6C ( ) ( ) Cr r r r r r r r
r
bT ax a b xx
− − − −
+ = =
6 2 0r− = 3r = 3 3 3
6
5C 2a b = 1
2ab =
12 2 2 2 2 22a b a b+ ≥ ⋅ = × =故答案为 ．
15．【答案】
【解析】因为 ，
所有 成等差数列，且首项 ，公差 ，
所以 ， ，解 ，得 ，
所以 成立的 的最大值为 ．
16．【答案】
【解析】画出对应的图就可以发现， ，
设 ，则直线 ，即 ，
与 联立，可求得 ，从而得到面积比为 ，故答案是 ．
四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】见解析．
【解析】∵ ，∴ ，
根据正弦定理得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．
①选条件 ，
由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ．
②选条件 ，∴ ，
由余弦定理得 ，∴ ， ，
∴ ．
③选条件 ，∵ ，∴ ，∴ ，
由余弦定理得 ，解得 ，
∴ ．
18．【答案】（1） ；（2）200．
【解析】（1）当 时，因为 ①，所以 ②
①-②得 ，即 ，
又 ，即 ，所以数列 是以 为首项 为公差的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
因为当 时， ；当 时， ，所以 ，
所以
．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：因为 ， ， ， 平面 ，
且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 ．
（2）由已知 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，故 ，所以四边形 为等腰梯形，
又 ，所以 ，
易得 ，令 ，
如图，以 为原点，以 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
2
5
1 1n na a+ - =
{ }na 1 1a = 1d =
na n= 2
na n= 2 32na n= < 4 2n <
2 32na n= < n 5
3
1ABQ Q P Q
ABO P P
S x x yPQ
S OP x y
−= = = −△
△
2
1
1( , )2
yP yp
1
2
1
:
2
yOP y xy
p
=
1
2py xy
=
2 8y px= 14Qy y= 1
1
4 1 3y
y
− = 3
cos
cos 2 2
B b b
C a c a c
− = −+ + + (2 )cos cos 0a c B b C+ + =
(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C+ + =
2sin cos sin( + ) sinA B B C A= − = −
sin 0A ≠ 1cos 2B = − (0,π)B∈ 2π
3B =
8a c+ =
2 2 2 2 2( ) 2 64 2 49 1cos = = =2 2 2 2
a c b a c ac b acB ac ac ac
+ − + − − − −= −
15ac = 1 1 3 15 3sin 152 2 2 4ABCS ac B= = × × =△
sin 2sinA C= 2a c=
2 2 2 2 2 22 cos 4 2 49b a c ac B c c c= + − = + + = 7c = 2 7a =
1 1 3 7 3sin 7 2 72 2 2 2ABCS ac B= = × × × =△
7sin 2c B = 2π
3B = 3sin 2B = 21
3c =
2 2 2 2 7 212 cos 493 3b a c ac B a a= + − = + + = 4 21
3a =
1 1 4 21 21 3 7 3sin2 2 3 3 2 3ABCS ac B= = × × × =△
21 2na n= −
2n ≥ 1 ( 1)n nS na n n+= + + 1 ( 1) ( 1)n nS n a n n− = − + −
1 ( 1) 2n n na na n a n+= − − + 1 2( 2)n na a n+ − = − ≥
1 2 2S a= + 2 1 2a a− = − { }na 19 2−
19 ( 1) ( 2) 21 2na n n= + − ⋅ − = −
21 2na n= − | | | 21 2 |n nb a n= = −
10n ≤ 0na > 10n > 0na < 21 2 , 10
2 21, 10n
n nb n n
− ≤= − >
20 1 2 20 (19 17 1) (1 3 19) 2(19 17 1)T b b b= + + + = + + + + + + + = + + +
(19 1) 102 2002
+ ×= × =
5
5
AD DE⊥ DC DE⊥ AD CD ⊂ ABCD
AD CD D= DE ⊥ ABCD
DE ⊂ EDCF ABCD ⊥ EDCF
DC EF∥ DC∥ EDCF
ABCD ABEF AB= AB CD∥ ABCD
AD DE= AD CD=
AD BD⊥ 1AD =
D DA x D xyz−则 ， ， ， ，所以 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，所以 ，
取 ，则 ， ，得 ，
．
设直线与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．【答案】（1）没有 的把握认为；（2） 生产线的获利更稳定，详见解析；（3）见解析．
【解析】（1）根据已知数据可建立列联表如下：
．
所以没有 的把握认为一等级的产品与生产线有关．
（2） 生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为：
（元），
获利方差为 ．
生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为：
（元），
获利方差为 ．
所以 ，则 生产线的获利更稳定．
（3） ， 生产线共随机抽取的 件产品获利的平均数为：
（元），
由样本估计总体，当产量为 件产品时，估计该工厂获利 （元），
又因为 ， ，生产线共随机抽取的 件产品中，一等级的 线产品有 件， 线产品有 件，
由样本频率估计总体概率，
有该工厂生产产品为一等级的概率估计值为 ，
当产量为 件产品时，估计该工厂一等级产品获利 （元）．
21．【答案】（1） ；（2）经过两定点，两定点为 ， ．
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，
因为椭圆的左焦点为 ，所以 ．
因为点 在椭圆 上，所以 ．
由①②解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）因为椭圆 的左顶点为 ，则点 的坐标为 ．
因为直线 与椭圆 交于两点 ， ，
设点 （不妨设 ），则点 ．
(0,0,0)D (1,0,0)A 1 3( , ,1)2 2F − (0, 3,0)B 3 3( , , 1)2 2FA = − −
(0, 3,0)DB = 1 3( , ,1)2 2DF = −
BDF ( , , )x y z=n 0
0
DB
DF
⋅ = ⋅ =
n
n
3 0
1 3 02 2
y
x y z
=
− + + =
2x = 0y = 1z = (2,0,1)=n
2 5cos , 52 5
FAFA
FA
⋅= = =
×
nn
n
BDF θ 5sin 5
θ =
AF BDF 5
5
99% A
2 2
2 ( ) 200 (20 65 35 80) 200 1500 1500
( )( )( )( ) 55 145 100 100 55 145 100 100
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − × × ×= = =+ + + + × × × × × ×
1800 5.643 6.635319
= ≈ <
99%
A 100
1
1 (10 20 8 60 6 20) 8100x = × × + × + × =
2 2 2 2
1
1 [(10 8) 20 (8 8) 60 (6 8) 20] 1.6100s = × − × + − × + − × =
B 100
2
1 (10 35 8 40 6 25) 8.2100x = × × + × + × =
2 2 2 2
2
1 [(10 8.2) 35 (8 8.2) 40 (6 8.2) 25] 2.36100s = × − × + − × + − × =
2 2
1 2s s< A
A B 200
1 [10 (20 35) 8 (60 40) 6 (20 25)] 8.1200
× × + + × + + × + =
2000 2000 8.1 16200× =
A B 200 A 20 B 35
20 35 11
200 40
+ =
2000 112000 10 550040
× × =
2 2
18 4
x y
+ = 1(2,0)P 2 ( 2,0)P -
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b+ = > >
1( 2,0)F - 2 2 4a b- =
( 2,2)B C 2 2
4 2 1a b+ =
2 2a = 2b =
C
2 2
18 4
x y
+ =
C A A ( 2 2,0)-
( 0)y kx k= ¹
2 2
18 4
x y
+ = E F
0 0( , )E x y 0 0x > 0 0( , )F x y- -联立方程组 ，消去 ，得 ，
所以 ，则 ．
所以直线 的方程为 ．
因为直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，
令 得 ，即点 ，
同理可得点 ．
所以 ，
设 的中点为 ，则点 的坐标为 ．
则以 为直径的圆的方程为 ，
即 ．
令 ，得 ，即 或 ．
故以 为直径的圆经过两定点 ， ．
22．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1） 的定义域为 ，又 ，
①当 时，在 上， ， 是减函数， 无极值；
②当 时， ，得 ．
在 上， ， 是增函数；在 上， ， 是减函数，
所以当 时， 有极大值 ，无极小值，
综合知：①当 时， 无极值；
②当 时， 有极大值 ，无极小值．
（2）由（1）知：①当 ， 是增函数，
又令 ， ，
，不成立；
②当 时，当 时， 取得极大值也是最大值，
所以 ，要使得对任意 ， 成立，
即 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
令 ，所以 ，
令 ， ，得 ，
在 上， ， 是增函数；
在 上， ， 是减函数，
所以当 时， 取得极大值也是最大值，∴ ，
在 上， ， 是减函数，
又 ，要使得 恒成立，则 ，
所以实数 取值范围为 ．
2 2
18 4
y kx
x y
ì =ïïïïíï + =ïïïî
y 2
2
2 2
1 2
kx
k=
+
0 2
2 2
1 2
x
k=
+
0 2
2 2
1 2
y
k=
+
AE 2
( 2 2)
1 1 2
ky x
k= +
+ +
AE AF y M N
0x = 2
2 2
1 1 2
ky
k=
+ + 2
2 2(0, )
1 1 2
kM
k+ +
2
2 2(0, )
1 1 2
kN
k- +
2
2 2
2 2(1 2 )2 2 2 2| | | | | |1 1 2 1 1 2
kk kMN kk k
+= - =
+ + - +
MN P P 2(0, )P k-
MN
2
2 2 22(1 2 )2( ) ( )| |
kx y k k
++ + =
2 2 2 2 4x y yk+ + =
0y = 2 4x = 2x = 2x =-
MN 1(2,0)P 2 ( 2,0)P -
[1, )+∞
( )f x (0, )+∞ ( ) 1af x x
′ = −
0a ≤ (0, )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = x a=
(0, )a ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
x a= ( )f x ( ) ln 1f a a a a= − +
0a ≤ ( )f x
0a > ( )f x ( ) ln 1f a a a a= − +
0a ≤ ( )f x
2 1
a
b e= < ln 0b <
2 2 22 21 1 1 3( ) ( 1) 1 ( 1) 02 2 2 2
a a
f b a a e a e− − = − + − − = − >
0a > x a= ( )f x
max( ) ( ) ln 1f x f a a a a= = − + 0x > 21( ) ( 1)2f x a≤ −
21ln 1 ( 1)2a a a a− + ≤ − (0, )a∈ +∞
23 1ln 02 2a a a a+ − − ≤ (0, )a∈ +∞
23 1( ) ln ( 0)2 2u a a a a a a= + − − > ( ) ln 1 1 lnu a a a a a′ = + − − = −
( ) ( ) lnk a u a a a′= = − 1 1( ) 1 0ak a a a
−′ = − = = 1a =
(0,1) ( ) 0k a′ > ( ) ( )k a u a′=
(1, )+∞ ( ) 0k a′ < ( ) ( )k a u a′=
1a = ( ) ( )k a u a′= max( ) (1) 1 0u x u′ ′= = − <
(0, )+∞ ( ) 0u a′ < ( )u a
(1) 0u = ( ) 0u a ≤ 1a ≥
a [1, )+∞
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