北师九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共 12 小题）
1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．（2018•上海）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边
形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．解一元二次方程 x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21
4．若 x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设 M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则 M
与 N 的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
5．在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，
其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色
后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4，那么可
以推算出 n 大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
6．已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
7．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应
中线的比为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函
数 y=kx+b 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．a，b，c 为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为 0
11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，
AD=2 ，DE=2，则四边形 OCED 的面积（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 2 个
球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共 4 小题）
13．如果关于 x 的方程 x2﹣3x+k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值
是 ．
14．下列各组的两个图形：
①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一
个内角是 45°的两个等腰三角形．
其中一定相似的是 （只填序号）
15．如图，身高为 1.6 米的小华站在离路灯灯杆 8 米处测得影长 2 米，则灯杆的
高度为 米．
16．正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分∠ADO 交 AC 于点 E，
把△ADE 沿 AD 翻折，得到△ADE′，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，E′F．若 AE=
．则四边形 ABFE′的面积是 ．
三．解答题（共 6 小题）
17．已知关于 x 的方程 x2+mx+m﹣2=0．
（1）若此方程的一个根为 1，求 m 的值；
（2）求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
18．如图，BD∥AC，AB 与 CD 相交于点 O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求
AO 和 AB 的长．
19．一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其
他差别．
（1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相
同？
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现
摸到绿球的频率稳定于 0.25，则 n 的值是 ；
（3）当 n=2 时，先从袋中任意摸出 1 个球不放回，再从袋中任意摸出 1 个球，
请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．
20．如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作
图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连接 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）分别以 B、D 为圆心，比 BD 的一半长为半径画弧，交于两点，确
定出垂直平分线即可；
（2）连接 BE，DF，四边形 BEDF 为菱形，理由为：由 EF 垂直平分 BD，得到
BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由 AD 与 BC 平行，得到一对内错角相等，等量代换及
等角对等边得到 BE=BF，再由 BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC= ，在 AC 边上截取 AD=BC，连接
BD．
（1）通过计算，判断 AD2 与 AC•CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．
22．某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两
次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次
降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
参考答案
一．选择题（共 12 小题）
1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质即可判断；
【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂
直不一定相等，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基
础题．
2．（2018•上海）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边
形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【考点】L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．菁优网版权所有
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判
定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A＝∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关
于各个图形的性质以及判定．
3．（2017•郑州一模）解一元二次方程 x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21
【考点】配方法．
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x=5，
∴x2﹣8x+16=5+16，即（x﹣4）2=21，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种
常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择
合适、简便的方法是解题的关键．
4．若 x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设 M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则 M
与 N 的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把 x0 代入方程 ax2+2x+c=0 得 ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即 ax02+2x0=﹣c，
则 N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能
使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关
键．
5．在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，
其中有 4 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色
后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.4，那么可
以推算出 n 大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
【考点】利用频率估计概率．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.4，
∴ =0.4，
解得：n=10．
故选 A．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
6．已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用比例的性质由 = 得 2x=3y，然后再根据比例的性质变形四个比例
式，若结果为 2x=3y 可判断其正确；否则判断其错误．
【解答】解：A、3x•2=9y，则 2x=3y，所以 A 选项正确；
B、5（x+3）=6（y+3），则 5x﹣6y=3，所以 B 选项错误；
C、2y（x﹣3）=3x（y﹣2），则 xy﹣6x+6y=0，所以 C 选项错误；
D、2（x+y）=5x，则 3x=2y，所以 D 选项错误．
故选 A．
【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；
合分比性质；等比性质．
7．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = = ，
故选 C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关
键，属于基础定义或定理，难度不大．
8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应
中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为 ，
∴△ABC 与△DEF 对应中线的比为 ，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相
似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、
对应角平分线的比都等于相似比．
9．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函
数 y=kx+b 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一元二次方程根的判别式．
【分析】根据一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，得到判别式
大于 0，求出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得 kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即 kb＞0，故 A 不正确；
B．k＞0，b＜0，即 kb＜0，故 B 正确；
C．k＜0，b＜0，即 kb＞0，故 C 不正确；
D．k＜0，b=0，即 kb=0，故 D 不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△
=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．a，b，c 为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为 0
【考点】一元二次方程根的判别式．
【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2 展开，即可得出 ac＜0，再结合方程
ax2+bx+c=0 根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程 ax2+bx+c=0 中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．
故选 B．
【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣
4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符
号，得出方程实数根的个数是关键．
11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，
AD=2 ，DE=2，则四边形 OCED 的面积（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．
【分析】连接 OE，与 DC 交于点 F，由四边形 ABCD 为矩形得到对角线互相平分
且相等，进而得到 OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到
ODEC 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形 ODEC 为菱
形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形 OCEF 的面积即可．
【解答】解：连接 OE，与 DC 交于点 F，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且 AC=BD，即 OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形 ODEC 为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形 ODEC 为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且 DE=OA，
∴四边形 ADEO 为平行四边形，
∵AD=2 ，DE=2，
∴OE=2 ，即 OF=EF= ，
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理得：DF= =1，即 DC=2，
则 S 菱形 ODEC= OE•DC= ×2 ×2=2 ．
故选 A
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握
矩形的性质是解本题的关键．
12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 2 个
球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到
的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有 20 种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 12 种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： = ．
故选 C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二．填空题（共 4 小题）
13．如果关于x的方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
【考点】一元二次方程根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于 k 的一元
一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣3x+k=0 有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：k= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出 9﹣
4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合
根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
14．下列各组的两个图形：
①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一
个内角是 45°的两个等腰三角形．
其中一定相似的是 ③④ （只填序号）
【考点】相似多边形的判定．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应
的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；
②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；
③两个等边三角形一定相似；
④两个正方形一定相似；
⑤各有一个内角是 45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，
故答案为：③④．
【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要
是判断对应的角和对应的边．
15．如图，身高为 1.6 米的小华站在离路灯灯杆 8 米处测得影长 2 米，则灯杆的
高度为 8 米．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，
经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴CD：AB=CE：BE，
∴1.6：AB=2：10，
∴AB=8 米，
∴灯杆的高度为 8 米．
答：灯杆的高度为 8 米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，
列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．
16．正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分∠ADO 交 AC 于点 E，
把△ADE 沿 AD 翻折，得到△ADE′，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，E′F．若 AE=
．则四边形 ABFE′的面积是 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】如图，连接 EB、EE′，作 EM⊥AB 于 M，EE′交 AD 于 N．易知△AEB≌△
AED≌△ADE′，先求出正方形 AMEN 的边长，再求出 AB，根据 S 四边形 ABFE′=S 四边形
AEFE′+S△AEB+S△EFB 即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 EB、EE′，作 EM⊥AB 于 M，EE′交 AD 于 N．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，
∴DE=DE′，AE=AE′，
∴AD 垂直平分 EE′，
∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE= ，
∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED 平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO= +1，
∴AB= AO=2+ ，
∴S△AEB=S△AED=S△ADE′= ×1×（2+ ）=1+ ，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+ ，
∵DF=EF，
∴S△EFB= ，
∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′= +1，S△DFE′= S△DEE′= ，
∴S 四边形 AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′= ，
∴S 四边形 ABFE′=S 四边形 AEFE′+S△AEB+S△EFB= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性
质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法
求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共 6 小题）
17．已知关于 x 的方程 x2+mx+m﹣2=0．
（1）若此方程的一个根为 1，求 m 的值；
（2）求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）直接把 x=1 代入方程 x2+mx+m﹣2=0 求出 m 的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，将 x=1 代入方程 x2+mx+m﹣2=0，
得：1+m+m﹣2=0，
解得：m= ；
（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
∴不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣
4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；
当△＜0，方程没有实数根．
18．如图，BD∥AC，AB 与 CD 相交于点 O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求
AO 和 AB 的长．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似比可求得 OA 的长，再利用线段的和可求得 AB 长．
【解答】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得 OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解
题的关键．
19．一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其
他差别．
（1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相
同？
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现
摸到绿球的频率稳定于 0.25，则 n 的值是 2 ；
（3）当 n=2 时，先从袋中任意摸出 1 个球不放回，再从袋中任意摸出 1 个球，
请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】（1）当 n=1 时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为
；
（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为 0.25，根据概率公式得到
=0.25，然后解方程即可；
（3）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同
的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）当 n=1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的
可能性相同；
（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为 0.25，
则 =0.25，解得 n=2，
故答案为 2；
（3）解：画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有 2 种，
所以两次摸出的球颜色不同的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能
的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求
出事件 A 或 B 的概率．
20．如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作
图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）分别以 B、D 为圆心，比 BD 的一半长为半径画弧，交于两点，确
定出垂直平分线即可；
（2）连接 BE，DF，四边形 BEDF 为菱形，理由为：由 EF 垂直平分 BD，得到
BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由 AD 与 BC 平行，得到一对内错角相等，等量代换及
等角对等边得到 BE=BF，再由 BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，EF 为所求直线；
（2）四边形 BEDF 为菱形，理由为：
证明：∵EF 垂直平分 BD，
∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵BF=DF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形 BEDF 为菱形．
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握
性质及判定是解本题的关键．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC= ，在 AC 边上截取 AD=BC，连接
BD．
（1）通过计算，判断 AD2 与 AC•CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得 AD、CD 的长，然后再计算出 AD2 与 AC•CD 的值，从而可得
到 AD2 与 AC•CD 的关系；
（2）由（1）可得到 BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形
相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后
结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD 的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC•CD=1× = ．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角
形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC 是解题的关键．
22．某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两
次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次
降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【考点】平均增长(降低)率问题(一元二次方程)．
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，根据“两次降价后的售价=原
价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可
得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品 m 件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣
m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单
件利润×销售数量”，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结
论．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为 x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或 x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为 10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品 m 件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣
m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元．第一次降价后至少要售出该种
商品 23 件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关
键是：（1）根据数量关系得出关于 x 的一元二次方程；（2）根据数量关系得出
关于 m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
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