第三章 章末测试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x
轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则点 M 的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
2．（3 分（2018•攀枝花）若点 A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点 B（﹣a，1﹣
b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3 分）若 ，则点 P（x，y）的位置是（ ）
A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上
C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上
4．（3 分）如果点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，P 点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
5．（3 分）（2018•甘孜州）在平面直角坐标系中，点 A（2，3）与点 B 关于 y 轴
对称，则点 B 的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
6．（3 分）如图，小明从点 O 出发，先向西走 40 米，再向南走 30 米到达点 M，
如果点 M 的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（ ）
A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D
7．（3 分）（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别
以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结
论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）
时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）
时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）
时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣
7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
8．（3 分）已知点 A（1，0），B（0，2），点 P 在 x 轴上，且△PAB 的面积为 5，
则点 P 的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．无法确定
9．（3 分）（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直
线为 x 轴，对称轴为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单
位长度取 1mm，则图中转折点 P 的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣
2），D（1，﹣2）．把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽
略不计）的一端固定在点 A 处，并按 A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形
ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11．（3 分）在电影票上，如果将“8 排 4 号”记作（8，4），那么（10，15）表
示 ．
12．（3 分）如图，用（0，0）表示点 O 的位置，用（3，2）表示点 M 的位置，
则点 N 的位置可表示为 ．
13．（3 分）点 P（a，b）与点 Q（1，2）关于 x 轴对称，则 a+b= ．
14．（3 分）已知 A 在灯塔 B 的北偏东 30°的方向上，则灯塔 B 在小岛 A 的
的方向上．
15．（3 分）已知点 A（x，2），B（﹣3，y），若 AB∥y 轴，则 x= ，
y= ．
16．（3 分）已知点 A（a，0）和点 B（0，5）两点，且直线 AB 与坐标轴围成的
三角形的面积等于 10，则 a 的值是 ．
17．（3 分）已知点 P 的坐标（3+x，﹣2x+6），且点 P 到两坐标轴的距离相等，
则点 P 的坐标是 ．
18．（3 分）如图，△ABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），
如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点 D 的坐标是 ．
三、解答题（共 66 分）
19．（8 分）写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
（1）点 B、E 的位置有什么特点；
（2）从点 B 与点 E，点 C 与点 D 的位置看，它们的坐标有什么特点？
20．（8 分）如图所示，是聊城市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形
的边长为 1 个单位长度），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示
出下列景点的位置．
光岳楼 （0，0） 、湖心岛 （﹣1.5，1） 、
金凤广场 （﹣2，﹣1.5） 、动物园 （7，3） ．
21．（8 分）一缉私船队 B 在 A 的南偏东 30°方向，A、B 两处相距 1km．接通知
后，缉私队立刻通过全球定位系统测得走私地点 C 在 B 的北偏东 60°方向，A 的
南偏东 75°方向，如果你是一名光荣的缉私队员，根据上述信息，你能判断出走
私地点 C 离 B 处多远吗？
22．（8 分）如图所示是某台阶的一部分，如果点 A 的坐标为（0，0），B 点的坐
标为（1，1），
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出 C，D，E，F 的坐标；
（2）说明 B，C，D，E，F 的坐标与点 A 的坐标比较有什么变化？
（3）如果该台阶有 10 级，你能得到该台阶的高度吗？
23．（10 分）如图所示，△ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标为（0，3），按
要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点 B 和点 C 的坐标；
（3）作出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A′B′C′．（不用写作法）
24．（12 分）如图，四边形 ABCD 各个顶点的坐标分别为 A（6，4），B（3，7），
C（0，4），D（3，1）．
（1）求四边形 ABCD 的面积；
（2）如果四边形 ABCD 绕点 C 旋转 180°，试确定旋转后四边形各个顶点的坐标；
（3）请你重新设计适当的坐标系，使得四个顶点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1
后，所的图形与原图形重合．
25．（12 分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．
方法二：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和
与差．
方法三：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三
角形．
现给出三点坐标：A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2），请你选择一种方法计算△
ABC 的面积．
参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x
轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则点 M 的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x＝﹣4，y＝3，
即 M 点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
2．（3 分（2018•攀枝花）若点 A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点 B（﹣a，1﹣
b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第二象限横纵坐标的关系得出 a，b 的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点 A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
解得：a＜﹣1，b＞2，
则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，
故点 B（﹣a，1﹣b）在第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
3．（3 分）若 ，则点 P（x，y）的位置是（ ）
A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上
C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上
【考点】点的坐标．
【分析】根据分式值为 0 的条件求出 y=0，再根据点在 x 轴上坐标的特点解
答．
【解答】解：∵ ，x 不能为 0，
∴y=0，
∴点 P（x，y）的位置是在去掉原点的横轴上．
故选 B．
【点评】本题考查了点在 x 轴上时坐标的特点，特别注意要保证条件中的式子有
意义．
4．（3 分）如果点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，P 点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【考点】点的坐标．
【分析】因为点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，那么其纵坐标是 0，
即 m+1=0，m=﹣1，进而可求得点 P 的横纵坐标．
【解答】解：∵点 P（m+3，m+1）在直角坐标系的 x 轴上，
∴m+1=0，
∴m=﹣1，
把 m=﹣1 代入横坐标得：m+3=2．
则 P 点坐标为（2，0）．
故选 B．
【点评】本题主要考查了点在 x 轴上时纵坐标为 0 的特点，比较简单．
7．（3 分）（2018•甘孜州）在平面直角坐标系中，点 A（2，3）与点 B 关于 y 轴
对称，则点 B 的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点 A（2，3）关于 y 轴对称点的坐标为 B（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好
对称点的坐标规律：
（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．（3 分）如图，小明从点 O 出发，先向西走 40 米，再向南走 30 米到达点 M，
如果点 M 的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（ ）
A．点 AB．点 B C．点 C D．点 D
【考点】坐标确定位置．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】根据题意可得：小明从点 O 出发，先向西走 40 米，再向南走 30 米到
达点 M，如果点 M 的位置用（﹣40，﹣30）表示，即向西走为 x 轴负方向，向
南走为 y 轴负方向；则（10，20）表示的位置是向东 10，北 20；即点 B 所在位
置．
【解答】解：根据如图所建的坐标系，易知（10，20）表示的位置是点 B，
故选：B．
【点评】本题考查了学生利用类比点坐标解决实际问题的能力和阅读理解能
力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐
标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
7．（3 分）（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别
以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结
论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）
时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）
时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）
时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣
7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门
的坐标即可判断．
【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为
（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）
时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）
时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣
7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵
坐标．
8．（3 分）已知点 A（1，0），B（0，2），点 P 在 x 轴上，且△PAB 的面积为 5，
则点 P 的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．无法确定
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】根据 B 点的坐标可知 AP 边上的高为 2，而△PAB 的面积为 5，点 P 在 x
轴上，说明 AP=5，已知点 A 的坐标，可求 P 点坐标．
【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点 P 在 x 轴上，
∴AP 边上的高为 2，
又△PAB 的面积为 5，
∴AP=5，
而点 P 可能在点 A（1，0）的左边或者右边，
∴P（﹣4，0）或（6，0）．
故选 C．
【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的底和高及面积，表示点的坐
标．
9．（3 分）（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直
线为 x 轴，对称轴为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单
位长度取 1mm，则图中转折点 P 的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
【分析】先求得点 P 的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点 P 的纵
坐标．
【解答】解：如图，
过点 C 作 CD⊥y 轴于 D，
∴BD＝5，CD＝50÷2﹣16＝9，
OA＝OD﹣AD＝40﹣30＝10，
∴P（9，10）；
故选：C．
【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出 CD＝9，AD＝10 是解本题
的关键．
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣
2），D（1，﹣2）．把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽
略不计）的一端固定在点 A 处，并按 A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形
ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【考点】点的坐标．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后
的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）
=3，
∴绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2+3+2+3=10，
2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第 202 圈的第 2 个单位长度的位置，
即点 B 的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选 B．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形
ABCD 一周的长度，从而确定 2012 个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个
单位长度的位置是解题的关键．
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11．（3 分）在电影票上，如果将“8 排 4 号”记作（8，4），那么（10，15）表示 10
排 15 号 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】数形结合．
【分析】由于将“8 排 4 号”记作（8，4），根据这个规定即可确定（10，15）表
示的点．
【解答】解：∵“8 排 4 号”记作（8，4），
∴（10，15）表示 10 排 15 号．
故答案为：10 排 15 号．
【点评】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，
知道坐标与位置的对应关系．
12．（3 分）如图，用（0，0）表示点 O 的位置，用（3，2）表示点 M 的位置，
则点 N 的位置可表示为 （6，3） ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】数形结合．
【分析】根据点 O 和点 M 的坐标画出直角坐标系，然后写出 N 点坐标即可．
【解答】解：如图，点 N 的位置可表示为（6，3）．
故答案为（6，3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；
记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
13．（3 分）点 P（a，b）与点 Q（1，2）关于 x 轴对称，则 a+b= ﹣1 ．
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．因而可以
得到：a=1 b=﹣2．
【解答】解：∵点 P（a，b）与点 Q（1，2）关于 x 轴对称，∴a=1，b=﹣2，即
a+b=﹣1．
【点评】解答此题的关键是熟知关于 x 轴对称的点的坐标特征．
14．（3 分）已知 A 在灯塔 B 的北偏东 30°的方向上，则灯塔 B 在小岛 A 的 南
偏西 30° 的方向上．
【考点】方向角．
【分析】此题观测点是相反的，所以观察到的方向角也是相反的，故为南偏西 30°．
【解答】解：由图可得，灯塔 B 在小岛 A 的南偏西 30°的方向上．
【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类
题的关键．
15．（3 分）已知点 A（x，2），B（﹣3，y），若 AB∥y 轴，则 x= ﹣3 ，y=
不等于 2 的任意实数 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同求出 x 的值，纵坐标可以为
任意数求出 y 的值．
【解答】解：∵点 A（x，2），B（﹣3，y），AB∥y 轴，
∴x=﹣3，y 不等于 2 的是任意实数．
故答案为：﹣3，不等于 2 的任意实数．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，比较简单，熟练掌握平行于 y 轴的直线
上的点的横坐标相同，平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
16．（3 分）已知点 A（a，0）和点 B（0，5）两点，且直线 AB 与坐标轴围成的
三角形的面积等于 10，则 a 的值是 ±4 ．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意 a 取正负数都符合题
意．
【解答】解：由题意可得 5×|OA|÷2=10，
∴|OA|= ，
∴|OA|=4，
∴点 a 的值是 4 或﹣4．
故答案为：±4．
【点评】需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有 2 个．
17．（3 分）已知点 P 的坐标（3+x，﹣2x+6），且点 P 到两坐标轴的距离相等，
则点 P 的坐标是 （4，4）或（12，﹣12） ．
【考点】点的坐标．
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得
x 的值，可得点的坐标．
【解答】解：由点 P 到两坐标轴的距离相等，得
3+x=﹣2x+6 或 3+x+（﹣2x+6）=0，
解得 x=1 或 x=9，
点 P 的坐标（4，4）或（12，﹣12），
故答案为：（4，4）或（12，﹣12）．
【点评】本题考查了点的坐标，利用点到两坐标轴的距离相等得出关于 x 的方程
是解题关键．
18．（3 分）如图，△ABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），
如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点 D 的坐标是 （4，﹣1）或（﹣1，3）或
（﹣1，﹣1） ．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】因为△ABD 与△ABC 有一条公共边 AB，故本题应从点 D 在 AB 的上边、
点 D 在 AB 的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD 与△ABC 有一条公共边 AB，
当点 D 在 AB 的下边时，点 D 有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣
1，﹣1）；
当点 D 在 AB 的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点 D 的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的
综合题，分情况进行讨论是解决本题的关键．
三、解答题（共 66 分）
19．（8 分）写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
（1）点 B、E 的位置有什么特点；
（2）从点 B 与点 E，点 C 与点 D 的位置看，它们的坐标有什么特点？
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据图象可直观看出点 B 和点 E 在 y 轴上，且到 x 轴的距离都是 2 个单
位长度所以它们关于 x 轴对称；点 C 与点 D 也是关于 x 轴对称，所以它们的横坐
标相同纵坐标互为相反数．
【解答】解：（1）点 B（0，﹣2）和点 E（0，2）关于 x 轴对称；
（2）点 B（0，﹣2）与点 E（0，2），点 C（2，﹣1）与点 D（2，1），它们的横
坐标相同纵坐标互为相反数．
【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好
对称点的坐标规律：
（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
20．（8 分）如图所示，是聊城市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形
的边长为 1 个单位长度），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示
出下列景点的位置．
光岳楼 （0，0） 、湖心岛 （﹣1.5，1） 、
金凤广场 （﹣2，﹣1.5） 、动物园 （7，3） ．
【考点】坐标确定位置．
【分析】以光月楼为坐标原点建立直角坐标系，根据坐标的表示方法易得光岳楼
的坐标为（0，0）、湖心岛的坐标为（﹣1.5，1）、金凤广场的坐标为（﹣2，﹣
1.5）、动物园的坐标为（7，3）．
【解答】解：以光月楼为坐标原点建立直角坐标系，如图，
所以光岳楼的坐标为（0，0）、湖心岛的坐标为（﹣1.5，1）、金凤广场的坐标为
（﹣2，﹣1.5）、动物园的坐标为（7，3）．
故答案为（0，0），（﹣1.5，1），（﹣2，﹣1.5），（7，3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置可由点的坐标确定，
点与有序实数对一一对应．
21．（8 分）一缉私船队 B 在 A 的南偏东 30°方向，A、B 两处相距 1km．接通知
后，缉私队立刻通过全球定位系统测得走私地点 C 在 B 的北偏东 60°方向，A 的
南偏东 75°方向，如果你是一名光荣的缉私队员，根据上述信息，你能判断出走
私地点 C 离 B 处多远吗？
【考点】等腰三角形的性质；方向角．
【分析】根据图可求∠BAC=75°﹣30°=45°，∠ABC=30°+60°=90°，进而可求∠
C=45°，那么∠BAC=∠C，从而可知△ABC 是等腰直角三角形，于是易求 BC．
【解答】解：如右图所示，
∠BAC=75°﹣30°=45°，
∠ABC=30°+60°=90°，
∴∠C=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠C，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC=AB=1km，
答：走私地点 C 离 B 处是 1km．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握方位角，并能求
出相关角的度数．
22．（8 分）如图所示是某台阶的一部分，如果点 A 的坐标为（0，0），B 点的坐
标为（1，1），
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出 C，D，E，F 的坐标；
（2）说明 B，C，D，E，F 的坐标与点 A 的坐标比较有什么变化？
（3）如果该台阶有 10 级，你能得到该台阶的高度吗？
【考点】坐标与图形性质．
【分析】从 A（0，0）到 B（1，1）可以看出，每一级台阶的横坐标、纵坐标都
比前一个依次增加 1，由此即可得解．
【解答】解：（1）以 A 点为原点，水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系．
所以 C，D，E，F 各点的坐标分别为 C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，
5）．
（2）B，C，D，E，F 的坐标与点 A 的坐标相比较，
横坐标与纵坐标分别加 1，2，3，4，5；
（3）每级台阶高为 1，宽也为 1，
所以 10 级台阶的高度是 10，长度为 11．
【点评】本题也可以用坐标平移的观点来解，即向右平移 1 个单位，再向上平移
1 个单位，依此类推．
23．（10 分）如图所示，△ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标为（0，3），按
要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点 B 和点 C 的坐标；
（3）作出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A′B′C′．（不用写作法）
【考点】坐标确定位置；点的坐标；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】（1）根据点 A 的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系；
（2）观察建立的直角坐标系即可得出答案；
（3）分别作点 A，B，C 关于 x 轴的对称点 A′，B′，C′，连接 A′B′，B′C′，C′A′则△
A′B′C′即为所求．
【解答】解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示：
（2）点 B 和点 C 的坐标分别为：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3）所作△A'B'C'如下图所示．
【点评】本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，
基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③
按原图形中的方式顺次连接对称点．
24．（12 分）如图，四边形 ABCD 各个顶点的坐标分别为 A（6，4），B（3，7），C
（0，4），D（3，1）．
（1）求四边形 ABCD 的面积；
（2）如果四边形 ABCD 绕点 C 旋转 180°，试确定旋转后四边形各个顶点的坐标；
（3）请你重新设计适当的坐标系，使得四个顶点的纵坐标不变，横坐标乘以﹣1
后，所的图形与原图形重合．
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】数形结合．
【分析】（1）根据对角线互相垂直的四边形 ABCD 的面积等于对角线乘积的一半
列式进行计算即可得解；
（2）根据中心对称的性质，求出点 A、B、C、D 关于点 C 的对称点的坐标即为
旋转后的对应点的坐标；
（3）以原坐标轴的（3，0）点为原点，以原坐标轴 x 轴为横轴，以四边形垂直 x
轴对角线为 y 轴建立坐标系．
【解答】解：（1）由图可知四边形 ABCD 的对角线互相垂直，并且长都是 6，
所以面积= ×6×6=18 平方单位；
（2）A′（﹣6，4），B′（﹣3，1），C（0，4），D′（﹣3，7）；
（3）以原坐标轴的（3，0）点为原点，以原坐标轴 x 轴为横轴，以四边形垂直 x
轴对角线为 y 轴建立坐标系．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，三角形的面积，坐标与图形的性
质，主要利用了关于点对称的点的坐标的求解，对角线互相垂直的四边形的面积
等于对角线乘积的一半．
25．（12 分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．
方法二：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和
与差．
方法三：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三
角形．
现给出三点坐标：A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2），请你选择一种方法计算△
ABC 的面积．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【分析】本题宜用补形法．过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两
条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点
D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC=S 矩形 BDEF﹣S△BDC﹣S△CEA﹣S△BFA 即可
求出△ABC 的面积．
【解答】解：本题宜用补形法．
如图，过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，
过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线
于点 F，
∵A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2），
∴EF=BD=3，CD=1，CE=3，AE=1，AF=2，BF=4，
∴S△ABC=S 矩形 BDEF﹣S△BDC﹣S△CEA﹣S△BFA
=BD•DE﹣ •DC•DB﹣ •CE•AE﹣ AF•BF，
=12﹣1.5﹣1.5﹣4
=5．
（本题也可先由勾股定理的逆定理，判别出△ABC 为直角三角形，再求面积）．
【点评】此题是一个开放性试题，主要考查如何利用简单方法求坐标系中不规则
图形的面积，题目告诉了三种方法，这也是一种解题能力的考查，正确理解题意
是解题关键．
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