北师大版八上第2章实数测试卷（2）含解析

第二章 章末测试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是（  ） A．0 B．﹣2 C． D． 2．（3 分）（2018•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．（3 分）（2018•铜仁市）9 的平方根是（  ） A．3 B．﹣3 C．3 和﹣3 D．81 4．（3 分）（2018•南通）如图，数轴上的点 A，B，O，C，D 分别表示数﹣2，﹣ 1，0，1，2，则表示数 2﹣ 的点 P 应落在（  ） A．线段 AB 上 B．线段 BO 上 C．线段 OC 上 D．线段 CD 上 5．（3 分）（2018•常州）已知 a 为整数，且 ，则 a 等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3 分）下列说法： ①5 是 25 的算术平方根； ② 是 的一个平方根； ③（﹣4）2 的平方根是﹣4； ④立方根和算术平方根都等于自身的数是 0 和 1． 其中正确的个数有（  ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．（3 分）下列计算正确的是（  ） A． = × B． = ﹣ C． = D． = 8．（3 分）（2018•包头）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（  ） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 9．（3 分）下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（3 分）规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如：[ ]=0， [3.14]=3．按此规定[ ]的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）﹣ 的相反数是  ． 12．（3 分）16 的算术平方根是  ． 13．（3 分）写出一个比﹣3 大的无理数是  ． 14．（3 分）化简 ﹣ =  ． 15．（3 分）比较大小：2   π（填“＞”、“＜”或“=”）． 16．（3 分）已知一个正数的平方根是 3x﹣2 和 5x+6，则这个数是  ． 17．（3 分）若 x，y 为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）2014 的值为  ． 18．（3 分）已知 m= ，则 m2﹣2m﹣2013=  ． 三、解答题（共 66 分） 19．（8 分）（1）（2012﹣π）0﹣（ ）﹣1+| ﹣2|+ ； （2）1+（﹣ ）﹣1﹣ ÷（ ）0． 20．（10 分）先化简，再求值： （1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中 a= ，b= ； （2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中 x=﹣ ． 21．（10 分）（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字 母）： A、D、E ； （2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代 数式表示）． 22．（12 分）计算： （1） + + ﹣ ； （2）2 ÷ × ； （3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ． 23．（8 分）甲同学用如图方法作出 C 点，表示数 ，在△OAB 中，∠ OAB=90°，OA=2，AB=3，且点 O，A，C 在同一数轴上，OB=OC （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点 A． 24．（8 分）如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，则每个小格的顶 点叫做格点． （1）如图①，以格点为顶点的△ABC 中，请判断 AB，BC，AC 三边的长度是有 理数还是无理数？ （2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 3， ， 2 ． 25．（10 分）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有 时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一） = = ； （二） = = = ﹣1； （三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方 法叫分母有理化． （1）请用不同的方法化简 ： ①参照（二）式化简 =  ﹣  ． ②参照（三）式化简 =  ﹣  ． （2）化简： + + +…+ ． 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是（  ） A．0 B．﹣2 C． D． 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：0，﹣2， 是有理数， 是无理数， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数．如 π， ，0.8080080008…（每两个 8 之间依次 多 1 个 0）等形式． 2．（3 分）（2018•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、 不是最简二次根式，错误； B、 是最简二次根式，正确； C、 不是最简二次根式，错误； D、 不是最简二次根式，错误； 故选：B． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1） 被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．（3 分）（2018•铜仁市）9 的平方根是（  ） A．3 B．﹣3 C．3 和﹣3 D．81 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：9 的平方根是±3， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 4．（3 分）（2018•南通）如图，数轴上的点 A，B，O，C，D 分别表示数﹣2，﹣ 1，0，1，2，则表示数 2﹣ 的点 P 应落在（  ） A．线段 AB 上 B．线段 BO 上 C．线段 OC 上 D．线段 CD 上 【分析】根据 2＜ ＜3，得到﹣1＜2﹣ ＜0，根据数轴与实数的关系解答． 【解答】解：2＜ ＜3， ∴﹣1＜2﹣ ＜0， ∴表示数 2﹣ 的点 P 应落在线段 BO 上， 故选：B． 【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解 题的关键． 5．（3 分）（2018•常州）已知 a 为整数，且 ，则 a 等于（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用 ， 接近的整数是 2，进而得出答案． 【解答】解：∵a 为整数，且 ， ∴a＝2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题 关键． 6．（3 分）下列说法： ①5 是 25 的算术平方根； ② 是 的一个平方根； ③（﹣4）2 的平方根是﹣4； ④立方根和算术平方根都等于自身的数是 0 和 1． 其中正确的个数有（  ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】立方根；平方根；算术平方根． 【分析】根据平方根、算术平方根以及立方根逐一分析 4 条结论的正误，由此即 可得出结论． 【解答】解：①∵52=25， ∴5 是 25 的算术平方根，①正确； ②∵ = ， ∴ 是 的一个平方根，②正确； ③∵（±4）2=（﹣4）2， ∴（﹣4）2 的平方根是±4，③错误； ④∵02=03=0，12=13=1， ∴立方根和算术平方根都等于自身的数是 0 和 1，正确． 故选 C． 【点评】本题考查了方根、算术平方根以及立方根，解题的关键是根据算术平方 根与平方根的定义找出它们的区别．   7．（3 分）下列计算正确的是（  ） A． = × B． = ﹣ C． = D． = 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】根据二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可． 【解答】解： = × ，A 错误； = ，B 错误； 是最简二次根式，C 错误； = ，D 正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．   8．（3 分）（2018•包头）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（  ） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【解答】解：原式＝﹣2﹣3＝﹣5， 故选：B． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（3 分）下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的运算性质化简． 【解答】解：A、原式= ，错误； B、被开方数不同，不能合并，错误； C、运用了平方差公式，正确； D、原式= = ，错误． 故选 C． 【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．   10．（3 分）规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如：[ ]=0， [3.14]=3．按此规定[ ]的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】估算无理数的大小． 【专题】新定义． 【分析】先求出 +1 的范围，再根据范围求出即可． 【解答】解：∵3＜ ＜4， ∴4＜ +1＜5， ∴[ +1]=4， 故选 B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出 +1 的范围．   二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）﹣ 的相反数是   ． 【考点】实数的性质． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣ 的相反数是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．   12．（3 分）16 的算术平方根是 4 ． 【考点】算术平方根． 【专题】计算题． 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42=16， ∴ =4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的 平方根．   13．（3 分）写出一个比﹣3 大的无理数是 如 等（答案不唯一） ． 【考点】实数大小比较． 【专题】开放型． 【分析】根据这个数即要比﹣3 大又是无理数，解答出即可． 【解答】解：由题意可得，﹣ ＞﹣3，并且﹣ 是无理数． 故答案为：如 等（答案不唯一） 【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较 大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数 绝对值大的反而小．   14．（3 分）化简 ﹣ = ﹣  ． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方 数相同的二次根式进行合并． 【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ ． 【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不 变．   15．（3 分）比较大小：2  ＜ π（填“＞”、“＜”或“=”）． 【考点】实数大小比较． 【分析】首先利用计算器分别求 2 和 π 的近似值，然后利用近似值即可比较求 解． 【解答】解：因为 2 ≈2.828，π≈3.414， 所以 ＜π． 【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要采用了求近似值来比较两个无 理数的大小．   16．（3 分）已知一个正数的平方根是 3x﹣2 和 5x+6，则这个数是   ． 【考点】平方根． 【专题】计算题． 【分析】由于一个非负数的平方根有 2 个，它们互为相反数．依此列出方程求解 即可． 【解答】解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得 x=﹣ ， 所以 3x﹣2=﹣ ，5x+6= ， ∴（ ）2= 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．   17．（3 分）若 x，y 为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）2014 的值为 1 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【分析】先根据非负数的性质列出关于 x、y 方程组，然后解方程组求出 x、y 的 值，再代入原式求解即可． 【解答】解：由题意，得： ， 解得 ； ∴（x+y）2014=（﹣2+3）2014=1； 故答案为 1． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也 必为零．   18．（3 分）已知 m= ，则 m2﹣2m﹣2013= 0 ． 【考点】二次根式的化简求值． 【分析】先分母有理化，再将 m2﹣2m﹣2013 变形为（m﹣1）2﹣2014，再代入 计算即可求解． 【解答】解：m= = +1， 则 m2﹣2m﹣20130 =（m﹣1）2﹣2014 =（ +1﹣1）2﹣2014 =2014﹣2014 =0． 故答案为：0． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，二次根 式的化简求值，一定要先化简再代入求值．   三、解答题（共 66 分） 19．（8 分）（1）（2012﹣π）0﹣（ ）﹣1+| ﹣2|+ ； （2）1+（﹣ ）﹣1﹣ ÷（ ）0． 【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算； （2）根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的意义计算． 【解答】解：（1）原式=1﹣3+2﹣ + =0； （2）原式=1﹣2﹣（2﹣ ）÷1 =1﹣2﹣2+ = ﹣3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式， 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．   20．（10 分）先化简，再求值： （1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中 a= ，b= ； （2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中 x=﹣ ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可； （2）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab） =a2﹣4b2﹣b2 =a2﹣5b2， 当 a= ，b= 时，原式=（ ）2﹣5×（ ）2=﹣13； （2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2， =4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5， 当 x= 时，原式=﹣2． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则 进行化简是解此题的关键．   21．（10 分）（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字 母）： A、D、E ； （2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代 数式表示）． 【考点】实数的运算． 【分析】（1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解； （2）根据（1）的结果可以得到规律． 【解答】解：（1）A、D、E； 注：每填对一个得（1 分），每填错一个扣（1 分），但本小题总分最少 0 分． （2）设这个数为 x，则 x• =a（a 为有理数），所以 x= （a 为有理数）． （注：无“a 为有理数”扣（1 分）；写 x= a 视同 x= ） 【点评】此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅 读比较多，解题时要注意审题，正确理解题意．   22．（12 分）计算： （1） + + ﹣ ； （2）2 ÷ × ； （3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算； （3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式 的除法运算． 【解答】解：（1）原式=4 +5 + ﹣3 =6 + ； （2 原式=2× × × = ； （3）原式=（ ﹣2 +6 ）÷2 =（ +4 ）÷2 = +2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式， 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．   23．（8 分）甲同学用如图方法作出 C 点，表示数 ，在△OAB 中，∠ OAB=90°，OA=2，AB=3，且点 O，A，C 在同一数轴上，OB=OC （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点 A． 【考点】实数与数轴；勾股定理． 【分析】（1）依据勾股定理求得 OB 的长，从而得到 OC 的长，故此可得到点 C 表示的数； （2）由 29=25+4，依据勾股定理即可做出表示﹣ 的点． 【解答】解：（1）在 Rt△AOB 中，OB= = = ， ∵OB=OC， ∴OC= ． ∴点 C 表示的数为 ． （2）如图所示： 取 OB=5，作 BC⊥OB，取 BC=2． 由勾股定理可知：OC= = = ． ∵OA=OC= ． ∴点 A 表示的数为﹣ ． 【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题 的关键．   24．（8 分）如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，则每个小格的顶 点叫做格点． （1）如图①，以格点为顶点的△ABC 中，请判断 AB，BC，AC 三边的长度是有 理数还是无理数？ （2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 3， ， 2 ． 【考点】勾股定理；二次根式的应用． 【分析】（1）利用勾股定理得出 AB，BC，AC 的长，进而得出答案； （2）直接利用各边长结合勾股定理得出答案． 【解答】解：（1）如图①所示：AB=4，AC= =3 ，BC= = ， 所以 AB 的长度是有理数，AC 和 BC 的长度是无理数； （2）如图②所示： 【点评】此题主要考查了勾股定理以及二次根式的应用，正确应用勾股定理是解 题关键．   25．（10 分）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有 时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一） = = ； （二） = = = ﹣1； （三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方 法叫分母有理化． （1）请用不同的方法化简 ： ①参照（二）式化简 =  ﹣  ． ②参照（三）式化简 =  ﹣  ． （2）化简： + + +…+ ． 【考点】分母有理化． 【专题】计算题；实数． 【分析】（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）① = = ﹣ ； ② = = = ﹣ ； （2）原式= + + +…+ = = ． 故答案为：（1）① ﹣ ；② ﹣ 【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关 键．