第一章 勾股定理 章末测试卷
一、选择题（每题 4 分，共 28 分）
1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（4 分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8
3．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，则正方形 ACEF 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4 分）如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度
是（ ）
A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米
5．（4 分）满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5
6．（4 分）若等腰三角形中相等的两边长为 10cm，第三边长为 16cm，那么第三
边上的高为（ ）
A．12 cm B．10 cm C．8 cmD．6 cm
7．（4 分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 的形状为
（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
二、填空：（每空 4 分，共计 28 分）
8．（4 分）已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方为 ．
9．（4 分）求如图中直角三角形中未知的长度：b= ，c= ．
10．（4 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为
cm2．
11．（4 分）小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为 40cm、
30cm、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （填“能”、或“不能”）
12．（4 分）（2018•襄阳）已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ ，AD＝
1，AB＝2AC，则 BC 的长为 ．
13．（4 分）（2018•福建）把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方
式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个
锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝ ，则 CD＝ ．
14．（4 分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在
杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯
上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为
cm（杯壁厚度不计）．
三、解答题：（每题 11 分，共计 44 分）
15．（11 分）一棵树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12 米处，
求树折断之前的高度？（自己画图并解答）
16．（11 分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以 6km/时的速度向正北方向的
学校走去，哥哥则以 8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多
远？
17．（11 分）如图所示，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，
CD=12cm，∠A=90°；
（1）求 BD 的长；
（2）求四边形 ABCD 的面积．
18．（11 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AB=6cm，BC=8cm，现将
直角边 BC 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，求三角形 BDF 的面积是多少？
四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求
这块地的面积．
20．如图，△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是
AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF．
（1）如图 1，试说明 BE2+CF2=EF2；
（2）如图 2，若 AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF 的面积．
参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 28 分）
1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为 3，股为 4，
∴弦为 ＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方
之和一定等于斜边长的平方．
2．（4 分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然
后与较长的边进行比较作出判断即可．
【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形；
B、 ＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；
C、∵ ＝10 是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；
D、∵ ＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是
解题的关键．
3．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，则正方形 ACEF 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】算术平方根．
【分析】根据勾股定理，可得 AC 的长，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得 AC= ，
乘方，得（ ）2=2，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，先求出 AC 的长，再求出正方形的面积．
4．（4 分）如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度
是（ ）
A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即
可．
【解答】解：如图所示，AB=13 米，BC=5 米，根据勾股定理 AC= =
=12 米．
故选 A．
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．
5．（4 分）满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出 A、C 是直角三角形，D 不是直角三角形；由
三角形内角和定理得出 B 是直角三角形；即可得出结果．
【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，
∴这个三角形是直角三角形，A 是直角三角形；
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠C=90°，B 是直角三角形；
∵a2：b2：c2=1：2：3，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形，C 是直角三角形；
∵a2：b2：c2=3：4：5，
∴a2+b2≠c2，
∴三角形不是直角三角形；
故选：D
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理
的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．
6．（4 分）若等腰三角形中相等的两边长为 10cm，第三边长为 16cm，那么第三
边上的高为（ ）
A．12 cm B．10 cm C．8 cmD．6 cm
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质先求出 BD，然后在 RT△ABD 中，可根据勾股定
理进行求解．
【解答】解：如图：
由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，
作 AD⊥BC 于点 D，则有 DB= BC=8cm，
在 Rt△ABD 中，AD= =6cm．
故选 D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角
形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．
7．（4 分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 的形状为
（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定理求得△ABC 各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，
从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为 1，
∴BC= =2 ，
AC= = ，
AB= = ，
在△ABC 中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形．
故选：A．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三
角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形 ABC 是直角三角形．
二、填空：（每空 4 分，共计 28 分）
8．（4 分）已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方为 7 或
25 ．
【考点】勾股定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分
两种情况进行讨论解答．
【解答】解：分两种情况：
当 3、4 都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；
当 3 为直角边，4 为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．
故答案为：7 或 25．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．（4 分）求如图中直角三角形中未知的长度：b= 12 ，c= 10 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：b= =12；
c= =10，
故答案为：12；10．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边
长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10．（4 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 49
cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面
积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形 A，B，C，D 的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
11．（4 分）小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为 40cm、
30cm、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： 能 （填“能”、或“不能”）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，
根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．
【解答】解：能，理由如下：
可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm，
根据题意，得 x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为 4900＜5000，
所以能放进去．
故答案为能．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．
12．（4 分）（2018•襄阳）已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ ，AD＝
1，AB＝2AC，则 BC 的长为 2 或 2 ．
【考点】KQ：勾股定理．
【专题】552：三角形．
【分析】分两种情况：
①当△ABC 是锐角三角形，如图 1，
②当△ABC 是钝角三角形，如图 2，
分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC 是锐角三角形，如图 1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∵CD＝ ，AD＝1，
∴AC＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC＝ ＝ ＝2 ；
②当△ABC 是钝角三角形，如图 2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC＝ ＝ ＝2 ；
综上所述，BC 的长为 2 或 2 ．
故答案为：2 或 2 ．
【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股
定理计算线段的长，要熟练掌握．
13．（4 分）（2018•福建）把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方
式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个
锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝ ，则 CD＝ ﹣1 ．
【考点】勾股定理．
【专题】11：计算题．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定
理求出 DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F，
在 Rt△ABC 中，∠B＝45°，
∴BC＝ AB＝2，BF＝AF＝ AB＝1，
∵两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF＝ ＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+ ﹣2＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是
解本题的关键．
14．（4 分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在
杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯
上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为
20 cm（杯壁厚度不计）．
【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．
【专题】27：图表型．
【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最
短可知 A′B 的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，
连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ ＝ ＝20
（cm）．
故答案为 20．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维
能力．
三、解答题：（每题 11 分，共计 44 分）
15．（11 分）一棵树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12 米处，
求树折断之前的高度？（自己画图并解答）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是 15 米，则折断前树的高度是
15+9=24 米．
【解答】解：如图所示：
因为 AB=9 米，AC=12 米，
根据勾股定理得 BC= =15 米，
于是折断前树的高度是 15+9=24 米．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学
的关键．
16．（11 分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以 6km/时的速度向正北方向的
学校走去，哥哥则以 8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多
远？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得，AC=6× =3km，BC=8× =4km，
∠ACB=90°，
则 AB= =5km．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定
理是解题的关键．
17．（11 分）如图所示，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，
CD=12cm，∠A=90°；
（1）求 BD 的长；
（2）求四边形 ABCD 的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求出 BD 的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC 为直角三角形，根据 S 四边形 ABCD=S△
ABD+S△BDC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，
∴△ABD 为直角三角形，
则 BD2=AB2+AD2=25，
解得：BD=5．
（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BD⊥CD，
故 S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BDC= AB×AD+ BD×DC=6+30=36．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，
我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．
18．（11 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AB=6cm，BC=8cm，现将
直角边 BC 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，求三角形 BDF 的面积是多少？
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】应用题；操作型．
【分析】由折叠的性质得到三角形 BDC 与三角形 BDE 全等，进而得到对应边相
等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到 FD=FB，
设 FD=FB=xcm，则 AF=（8﹣x）cm，在直角三角形 AFB 中，利用勾股定理列出关
于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 FD 的长，进而求出三角形 BDF
面积．
【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，
∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴FD=FB，
设 FD=FB=xcm，则有 AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，
在 Rt△ABF 中，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，
解得：x= ，即 FD= cm，
则 S△BDF= FD•AB= cm2．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等
三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性
质及定理是解本题的关键．
四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求
这块地的面积．
【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题．
【分析】连接 AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC 为直角三角形，可求
出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【解答】解：连接 AC，则在 Rt△ADC 中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC 中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD= AC•BC﹣ AD•CD= ×15×36﹣ ×12×9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是 216 平方米．
【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂
的求解过程变得简单．
20．如图，△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是
AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF．
（1）如图 1，试说明 BE2+CF2=EF2；
（2）如图 2，若 AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF 的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）延长 ED 至点 G，使得 EG=DE，连接 FG，CG，易证 EF=FG 和△BDE≌△
CDG，可得 BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解
题；
（2）连接 AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得 AE=CF，
BE=AF，S 四边形 AEDF= S△ABC，再根据△DEF 的面积= S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】（1）证明：延长 ED 至点 G，使得 DG=DE，连接 FG，CG，
∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF 垂直平分 DE，
∴EF=FG，
∵D 是 BC 中点，
∴BD=CD，
在△BDE 和△CDG 中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG2+CF2=FG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）解：连接 AD，
∵AB=AC，D 是 BC 中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE 和△CDF 中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S 四边形 AEDF= S△ABC，
∴S△AEF= ×5×12=30，
∴△DEF 的面积= S△ABC﹣S△AEF= ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，
本题中求证△BDE≌△CDG 和△ADE≌△CDF 是解题的关键．
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