北师大版七上第4章基本平面图形测试卷（3）含解析

《第四章 基本平面图形》章末测试卷 一、选择题（共 11 小题） 1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是 （  ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P， 用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ⊥l 于点 Q．”分别作出了下列四个图形．其中作 法错误的是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点 A 和 B 为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于 点 E，连接 CD，下列结论错误的是（  ） A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 4．如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于 点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧， 两弧在第二象限交于点 P，若点 P 的坐标为（6a，2b﹣1），则 a 和 b 的数量关系 为（  ） A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 5．如图，用尺规作图：“过点 C 作 CN∥OA”，其作图依据是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 6．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B、C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③ EB 平分∠AED；④ED= AB 中，一定正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．如图，分别以线段 AC 的两个端点 A，C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧， 两弧相交于 B，D 两点，连接 BD，AB，BC，CD，DA，以下结论： ①BD 垂直平分 AC； ②AC 平分∠BAD； ③AC=BD； ④四边形 ABCD 是中心对称图形． 其中正确的有（  ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 8．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（  ） A．PQ 为∠APB 的平分线 B．PA=PB C．点 A、B 到 PQ 的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ 9．如图，下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线 OC 的作法，在用尺规作角平分 线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（  ） 作法： ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 D，E； ②分别以 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点 C； ③画射线 OC，射线 OC 就是∠AOB 的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 10．如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点 A、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好 外切，若 AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（  ） A． B． C． D． 11．如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 O1，O2，O3，O4 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，若⊙O 的半径为 2，则阴影部分的面积为（  ） A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4 二、填空题（共 14 小题） 12．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是  ． 13．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； ②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数为  ． 14．如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个 单位长度）的格点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′、C′ 仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是  ．（π≈3.14，结果精确到 0.1） 15．如图，在△ABC 中，AC=BC，∠B=70°，分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 的 长为半径作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E， 连结 AE，则∠AED 的度数是  °． 16．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图 中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为  ． 17．如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是  ．（结 果保留 π） 18．如图，以 BC 为直径的⊙O 与△ABC 的另两边分别相交于点 D、E．若∠ A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为  ．（结果保留 π） 19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积 是  ． 20．如图，正三角形 ABC 的边长是 2，分别以点 B，C 为圆心，以 r 为半径作两 条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分面积为 S，当 ≤r＜2 时，S 的取值范围 是  ． 21．如图，三角形 ABC 是边长为 1 的正三角形， 与 所对的圆心角均为 120°， 则图中阴影部分的面积为  ． 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E 为 BC 边上的一点，以 A 为 圆心，AE 为半径的圆弧交 AB 于点 D，交 AC 的延长于点 F，若图中两个阴影部 分的面积相等，则 AF 的长为  （结果保留根号）． 23．如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两 种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为  ． 24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将△ABC 绕顶点 C 按顺 时针方向旋转 45°至△A1B1C 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中的阴影部分）的 面积为  cm2． 25．如图，AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4 ，弦 CD=DE=4，连结 OB，OD， 则图中两个阴影部分的面积和为  ． 三、解答题（共 5 小题） 26．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： OM 平分∠BOA ，然后证 明你的结论（不要求写已知、求证） 27．如图，一块余料 ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点 B 为圆心，适当长 为半径画弧，分别交 BA，BC 于点 G，H；再分别以点 G，H 为圆心，大于 GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD 于点 E． （1）求证：AB=AE； （2）若∠A=100°，求∠EBC 的度数． 28．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点． （1）作图： ①过 B 作 AC 的平行线 BH； ②过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G． （2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论． 29．如图，在△ABC 中，∠C=60°，∠A=40°． （1）用尺规作图作 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（保留作图痕 迹，不要求写作法和证明）； （2）求证：BD 平分∠CBA． 30．如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线． （1）作 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为点 O．（要求用 尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：DE=BF． 参考答案 一、选择题（共 11 小题） 1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是 （  ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【考点】作图—基本作图；平行线的判定． 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行． 【解答】解：∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决 本题的关键．   2．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P， 用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ⊥l 于点 Q．”分别作出了下列四个图形．其中作 法错误的是（  ） A． B． C． D． 【考点】作图—基本作图． 【分析】A、根据作法无法判定 PQ⊥l； B、以 P 为圆心大于 P 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点 为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于 90°作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断． 【解答】解：根据分析可知， 选项 B、C、D 都能够得到 PQ⊥l 于点 Q；选项 A 不能够得到 PQ⊥l 于点 Q． 故选：A． 【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌 握基本作图方法是解题关键．   3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点 A 和 B 为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于 点 E，连接 CD，下列结论错误的是（  ） A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中 线． 【分析】由题意可知：MN 为 AB 的垂直平分线，可以得出 AD=BD；CD 为直角三 角形 ABC 斜边上的中线，得出 CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因 为∠A≠60°，得不出 AC=AD，无法得出 EC=ED，则∠ECD=∠EDC 不成立；由此选 择答案即可． 【解答】解：∵MN 为 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD，∠BDE=90°； ∵∠ACB=90°， ∴CD=BD； ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°， ∴∠A=∠BED； ∵∠A≠60°，AC≠AD， ∴EC≠ED， ∴∠ECD≠∠EDC． 故选：D． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平 分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．   4．如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于 点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧， 两弧在第二象限交于点 P，若点 P 的坐标为（6a，2b﹣1），则 a 和 b 的数量关系 为（  ） A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质． 【分析】根据作图方法可得点 P 在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质 和第二象限内点的坐标符号可得 6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案． 【解答】解：根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上；点 P 到 x 轴、y 轴 的距离相等；点 P 的横纵坐标互为相反数， 则 P 点横纵坐标的和为 0， 故 6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1）， 整理得：6a+2b=1， 故选 B． 【点评】此题主要考查了基本作图﹣角平分线的做法以及坐标与图形的性质：点 到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到 x 轴的距离 与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是 负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．   5．如图，用尺规作图：“过点 C 作 CN∥OA”，其作图依据是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【考点】作图—基本作图；平行线的判定． 【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可． 【解答】解：如图所示：“过点 C 作 CN∥OA”，其作图依据是：作出∠NCO=∠O， 则 CN∥AO， 故作图依据是：内错角相等，两直线平行． 故选：B． 【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解 题关键．   6．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B、C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③ EB 平分∠AED；④ED= AB 中，一定正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据作图过程得到 PB=PC，然后利用 D 为 BC 的中点，得到 PD 垂直平 分 BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：根据作图过程可知：PB=CP， ∵D 为 BC 的中点， ∴PD 垂直平分 BC， ∴①ED⊥BC 正确； ∵∠ABC=90°， ∴PD∥AB， ∴E 为 AC 的中点， ∴EC=EA， ∵EB=EC， ∴②∠A=∠EBA 正确；③EB 平分∠AED 错误；④ED= AB 正确， 故正确的有①②④， 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直 平分线，难度中等．   7．如图，分别以线段 AC 的两个端点 A，C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧， 两弧相交于 B，D 两点，连接 BD，AB，BC，CD，DA，以下结论： ①BD 垂直平分 AC； ②AC 平分∠BAD； ③AC=BD； ④四边形 ABCD 是中心对称图形． 其中正确的有（  ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形． 【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即 可． 【解答】解：①∵分别以线段 AC 的两个端点 A，C 为圆心，大于 AC 的长为半 径画弧， ∴AB=BC， ∴BD 垂直平分 AC，故此小题正确； ②在△ABC 与△ADC 中， ∵ ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴AC 平分∠BAD，故此小题正确； ③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误； ④∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴四边形 ABCD 是中心对称图形，故此小题正确． 故选 C． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题 的关键．   8．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（  ） A．PQ 为∠APB 的平分线 B．PA=PB C．点 A、B 到 PQ 的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ 【考点】作图—基本作图． 【分析】根据角平分线的作法进行解答即可． 【解答】解：∵由图可知，PQ 是∠APB 的平分线， ∴A，B，D 正确； ∵PQ 是∠APB 的平分线，PA=PB， ∴点 A、B 到 PQ 的距离相等，故 C 错误． 故选 C． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题 的关键．   9．如图，下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线 OC 的作法，在用尺规作角平分 线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（  ） 作法： ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 D，E； ②分别以 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点 C； ③画射线 OC，射线 OC 就是∠AOB 的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定． 【分析】根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的 判定定理 SSS 可以证得△EOC≌△DOC． 【解答】解：如图，连接 EC、DC． 根据作图的过程知， 在△EOC 与△DOC 中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定 理有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL．   10．如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点 A、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好 外切，若 AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；相切两圆的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，再由⊙A 与⊙B 恰好外切且是等圆，根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵AC=2，△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB=2 ， ∵⊙A 与⊙B 恰好外切且是等圆， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和= + = = πR2= ． 故选 B． 【点评】本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出 两扇形面积之和的表达式，难度一般．   11．如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 O1，O2，O3，O4 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，若⊙O 的半径为 2，则阴影部分的面积为（  ） A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4 【考点】扇形面积的计算；圆与圆的位置关系． 【分析】首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形 COB 中两空白面 积相等，进而得出阴影部分面积． 【解答】解：如图所示： 可得正方形 EFMN，边长为 2， 正方形中两部分阴影面积为：22﹣π×12=4﹣π， ∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4， ∵⊙O 的半径为 2， ∴O1，O2，O3，O4 的半径为 1， ∴小圆的面积为：π×12=π， 扇形 COB 的面积为： =π， ∴扇形 COB 中两空白面积相等， ∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8． 故选 A． 【点评】此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空 白面积是解题关键．   二、填空题（共 14 小题） 12．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线 上，两点确定一条直线． ． 【考点】作图—基本作图． 【专题】作图题；压轴题． 【分析】通过作图得到 CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理 判断 CD 为线段 AB 的垂直平分线． 【解答】解：∵CA=CB，DA=DB， ∴CD 垂直平分 AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点 确定一条直线．） 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条 直线．． 【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个 角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线．   13．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； ②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数为  105° ． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】首先根据题目中的作图方法确定 MN 是线段 BC 的垂直平分线，然后利 用垂直平分线的性质解题即可． 【解答】解：由题中作图方法知道 MN 为线段 BC 的垂直平分线， ∴CD=BD， ∵∠B=25°， ∴∠DCB=∠B=25°， ∴∠ADC=50°， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50°， ∴∠ACD=80°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性 质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．   14．如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个 单位长度）的格点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′、C′ 仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 7.2 ．（π≈3.14，结果精确到 0.1） 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质． 【专题】压轴题． 【分析】扇形 BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：由题意可得，AB=BA'= = ，∠ABA'=90°， S 扇形 BAA'= = ，S△BA'C'= BC'×B'C'=3， 则 S 阴影=S 扇形 BAA'﹣S△BA'C'= ﹣3≈7.2． 故答案为：7.2． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴 影部分面积的表达式．   15．如图，在△ABC 中，AC=BC，∠B=70°，分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 的 长为半径作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E， 连结 AE，则∠AED 的度数是 50 °． 【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质． 【分析】由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出结论． 【解答】解：∵由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线， ∴CE=AE， ∴∠C=∠CAE， ∵AC=BC，∠B=70°， ∴∠C=40°， ∴∠AED=50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂 直平分线的性质是解答此题的关键．   16．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图 中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为  π ． 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；相切两圆的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为 90°的扇形的面积． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴扇形的半径为 5， ∴阴影部分的面积= = π． 故答案为： π． 【点评】解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面 积．   17．如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所 在 的 直 线 折 叠 ， 若 圆 弧 BC 恰 好 过 圆 心 O ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是    ．（结果保留 π） 【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题． 【分析】过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，交 于点 E，则可判断点 O 是 的中点，由 折叠的性质可得 OD= OE= R=2，在 Rt△OBD 中求出∠OBD=30°，继而得出∠AOC， 求出扇形 AOC 的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，交 于点 E，连接 OC， 则点 E 是 的中点，由折叠的性质可得点 O 为 的中点， ∴S 弓形 BO=S 弓形 CO， 在 Rt△BOD 中，OD=DE= R=2，OB=R=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°， ∴S 阴影=S 扇形 AOC= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点 O 是 的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．   18．如图，以 BC 为直径的⊙O 与△ABC 的另两边分别相交于点 D、E．若∠ A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为  π ．（结果保留 π） 【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题． 【分析】先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB 的度数，再由△OBD、△OCE 是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO 的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+ ∠COD 的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC 中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°， ∵△OBD、△OCE 是等腰三角形， ∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣ 120°=120°， ∵BC=4， ∴OB=OC=2， ∴S 阴影= = π． 故答案为： π． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角 和是 180°这一隐藏条件，要求同学们掌握扇形的面积公式．   19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是  ﹣  ． 【考点】扇形面积的计算；圆周角定理． 【专题】压轴题． 【分析】如图，连接 OC．图中阴影部分的面积=扇形 OBC 的面积﹣△BOC 的面 积． 【解答】解：如图，连接 OC． ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30° ∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°． 又∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∴在 Rt△ABC 中，AC=2，∠ABC=30°，则 AB=2AC=4，BC= =2 ． ∵OC 是△ABC 斜边上的中线， ∴S△BOC= S△ABC= × AC•BC= ×2×2 = ． ∴S 阴影=S 扇形 OBC﹣S△BOC= ﹣ = ﹣ ． 故答案是： ﹣ ． 【点评】本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理．求图中阴影部分的面积时， 采用了“分割法”，即把不规则阴影图形转化为规则图形，然后来计算其面积．   20．如图，正三角形 ABC 的边长是 2，分别以点 B，C 为圆心，以 r 为半径作两 条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分面积为 S，当 ≤r＜2 时，S 的取值范围 是  ﹣1≤S＜ ﹣  ． 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】首先求出 S 关于 r 的函数表达式，分析其增减性；然后根据 r 的取值， 求出 S 的最大值与最小值，从而得到 S 的取值范围． 【解答】解：如右图所示，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，易知 G 为 BC 的中点， CG=1． 在 Rt△CDG 中，由勾股定理得：DG= = ． 设∠DCG=θ，则由题意可得： S=2（S 扇形 CDE﹣S△CDG）=2（ ﹣ ×1× ）= ﹣ ， ∴S= ﹣ ． 当 r 增大时，∠DCG=θ 随之增大，故 S 随 r 的增大而增大． 当 r= 时，DG= =1，∵CG=1，故 θ=45°， ∴S= ﹣ = ﹣1； 若 r=2，则 DG= = ，∵CG=1，故 θ=60°， ∴S= ﹣ = ﹣ ． ∴S 的取值范围是： ﹣1≤S＜ ﹣ ． 故答案为： ﹣1≤S＜ ﹣ ． 【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识 点．解题关键是求出 S 的函数表达式，并分析其增减性．   21．如图，三角形 ABC 是边长为 1 的正三角形， 与 所对的圆心角均为 120°， 则图中阴影部分的面积为   ． 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】设 与 相交于点 O，连 OA，OB，OC，线段 OA 将阴影的上方部分分 成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点 O 旋转 120°后，阴 影部分便合并成△OBC，得到它的面积等于△ABC 面积的三分之一，利用等边三 角形的面积公式： ×边长 2，即可求得阴影部分的面积． 【解答】解：如图，设 与 相交于点 O，连接 OA，OB，OC，线段 OA 将阴影 的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点 O 旋转 120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC 面积的三分之一， ∴S 阴影部分= × ×12= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距 离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形 的面积公式： ×边长 2．   22．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E 为 BC 边上的一点，以 A 为 圆心，AE 为半径的圆弧交 AB 于点 D，交 AC 的延长于点 F，若图中两个阴影部 分的面积相等，则 AF 的长为   （结果保留根号）． 【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题． 【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC 和扇形 ADF 的面积就相等，可 分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出 AF 的长度． 【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴S 扇形 ADF=S△ABC，即： = ×AC×BC， 又∵AC=BC=1， ∴AF2= ， ∴AF= ． 故答案为 ． 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根 据题意得到△ABC 和扇形 ADF 的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．   23．如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两 种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π﹣4 ． 【考点】扇形面积的计算；中心对称图形． 【专题】压轴题． 【分析】连接 AB，则阴影部分面积=2（S 扇形 AOB﹣S△ABO），依此计算即可求解． 【解答】解： 由题意得，阴影部分面积=2（S 扇形 AOB﹣S△AOB）=2（ ﹣ ×2×2）=2π﹣ 4． 故答案为：2π﹣4． 【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们 仔细观察图形，将不规则面积转化．   24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将△ABC 绕顶点 C 按顺 时针方向旋转 45°至△A1B1C 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中的阴影部分）的 面积为   cm2． 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质． 【分析】根据阴影部分的面积是：S扇形 BCB1+S△CB1A1﹣S△ABC﹣S 扇形 CAA1，分别求得： 扇形 BCB1 的面积，S△CB1A1，S△ABC 以及扇形 CAA1 的面积，即可求解． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，BC= = ， 扇形 BCB1 的面积是= = ， S△CB1A1= ×5×2=5； S 扇形 CAA1= = ． 故 S 阴影部分=S 扇形 BCB1+S△CB1A1﹣S△ABC﹣S 扇形 CAA1= +5﹣5﹣ = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=S 扇形 BCB1+S△ CB1A1﹣S△ABC﹣S 扇形 CAA1 是关键．   25．如图，AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4 ，弦 CD=DE=4，连结 OB，OD， 则图中两个阴影部分的面积和为 10π ． 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】综合题． 【分析】根据弦 AB=BC，弦 CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点 O 作 OF ⊥BC 于点 F，OG⊥CD 于点 G，在四边形 OFCG 中可得∠FCD=135°，过点 C 作 CN ∥OF，交 OG 于点 N，判断△CNG、△OMN 为等腰直角三角形，分别求出 NG、 ON，继而得出 OG，在 Rt△OGD 中求出 OD，即得圆 O 的半径，代入扇形面积公 式求解即可． 【解答】解： ∵弦 AB=BC，弦 CD=DE， ∴点 B 是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点， ∴∠BOD=90°， 过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，OG⊥CD 于点 G． 则 BF=FC=2 ，CG=GD=2，∠FOG=45°， 在四边形 OFCG 中，∠FCD=135°， 过点 C 作 CN∥OF，交 OG 于点 N， 则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°， ∴△CNG 为等腰三角形， ∴CG=NG=2， 过点 N 作 NM⊥OF 于点 M，则 MN=FC=2 ， 在等腰三角形 MNO 中，NO= MN=4， ∴OG=ON+NG=6， 在 Rt△OGD 中，OD= = =2 ， 即圆 O 的半径为 2 ， 故 S 阴影=S 扇形 OBD= =10π． 故答案为：10π． 【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的 关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆 0 的半径，此题难度较 大．   三、解答题（共 5 小题） 26．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： OM 平分∠BOA ，然后证 明你的结论（不要求写已知、求证） 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质． 【专题】作图题． 【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的 判定和性质得到答案． 【解答】解：结论：OM 平分∠BOA， 证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM， 在△COM 和△DOM 中， ， ∴△COM≌△DOM， ∴∠COM=∠DOM， ∴OM 平分∠BOA． 【点评】本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺 规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．   27．如图，一块余料 ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点 B 为圆心，适当长 为半径画弧，分别交 BA，BC 于点 G，H；再分别以点 G，H 为圆心，大于 GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD 于点 E． （1）求证：AB=AE； （2）若∠A=100°，求∠EBC 的度数． 【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可 得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案； （2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC． 由 BE 是∠ABC 的角平分线， ∴∠EBC=∠ABE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE； （2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得 ∠ABE=∠AEB=40°． 由 AD∥BC，得 ∠EBC=∠AEB=40°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质， 等腰三角形的判定．   28．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点． （1）作图： ①过 B 作 AC 的平行线 BH； ②过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G． （2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论． 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；等边三角形的性质． 【分析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可； （2）根据 ASA 定理得出△DEC≌△DFB 即可． 【解答】解：（1）作图如下：①如图 1； ②如图 2： （2）△DEC≌△DFB 证明：∵BH∥AC， ∴∠DCE=∠DBF， 又∵D 是 BC 中点， ∴DC=DB． 在△DEC 与△DFB 中， ∵ ， ∴△DEC≌△DFB（ASA）． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关 键．   29．如图，在△ABC 中，∠C=60°，∠A=40°． （1）用尺规作图作 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（保留作图痕 迹，不要求写作法和证明）； （2）求证：BD 平分∠CBA． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】作图题． 【分析】（1）分别以 A、B 两点为圆心，以大于 AB 长度为半径画弧，在 AB 两 边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为 AB 的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可． 【解答】解：（1）如图 1 所示： （2）连接 BD，如图 2 所示： ∵∠C=60°，∠A=40°， ∴∠CBA=80°， ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴∠A=∠DBA=40°， ∴∠DBA= ∠CBA， ∴BD 平分∠CBA． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解 题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．   30．如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线． （1）作 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为点 O．（要求用 尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：DE=BF． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 【专题】作图题；证明题． 【分析】（1）分别以 B、D 为圆心，以大于 BD 的长为半径四弧交于两点，过两 点作直线即可得到线段 BD 的垂直平分线； （2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO 即可证得结论． 【解答】解：（1）答题如图： （2）∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵EF 垂直平分线段 BD， ∴BO=DO， 在△DEO 和三角形 BFO 中， ， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴DE=BF． 【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答 本题的关键，难度中等．