2020-2021学年高三数学（文）上学期开学考试模拟试卷 01（解析版）

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 绝密★启用前 2020-2021 学年高三数学（文）上学期开学考试模 拟试卷 01 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷 I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ， ） 1. 已知集合퐴＝{푥| ― 2 < 푥 < 5}，퐵＝{1, 3, 6}，푀＝{6}，则푀＝（ ） A.퐴 ∩ 퐵 B.퐴 ∪ 퐵 C.(∁푅퐴) ∩ 퐵 D.퐴 ∩ (∁푅퐵) 【答案】C 【解答】∵ 集合퐴＝{푥| ― 2 < 푥 < 5}，퐵＝{1, 3, 6}，푀＝{6}， ∴ ∁푅퐴＝{푥|푥 ≤ ―2或푥 ≥ 5}，∴ (∁푅퐴) ∩ 퐵＝{6}＝푀． 2. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成 绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分、得到7个有效评 分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 【答案】A 【解答】解：去掉最低分与最高分中位数不变，故퐴选项正确；平均数 可能会变，也可能不变，故퐵错误； 同理方差极差也可能变也可能不变，故퐶，퐷错误；故选퐴. 3. 设푧 = 푖 1 + 푖3（푖为虚数单位），则|푧| = ( ) A. 2 2 B. 2 C. 1 2 D.2 【答案】A 【解答】解：设푧 = 푖 1 + 푖3 = 푖 1 ― 푖 = 푖(1 + 푖) (1 ― 푖)(1 + 푖) = ―1 + 푖 2 = ― 1 2 + 1 2푖，∴ |푧| = 1 4 + 1 4 = 2 2 .故选 퐴. 4. 如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直 角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【解答】解：如图，设一个黑色等腰直角三角形的一条直角边长为푎， 则一个白色等腰直角三角形的一条直角边长为 2푎， 则黑色三角形的面积为4 × 1 2푎2 = 2푎2， 白色三角形的面积为4 × 1 2 × 2푎2 = 4푎2， 在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率 是 2푎2 2푎2 + 4푎2 = 1 3.故选 퐵. 5. 已知双曲线퐶:푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1的离心率为5 3，其左焦点为퐹1( ― 5, 0)，则双 曲线퐶的方程为( ) A. 푥2 4 ― 푦2 3 = 1 B. 푥2 3 ― 푦2 4 = 1 C. 푥2 16 ― 푦2 9 = 1 D. 푥2 9 ― 푦2 16 = 1 【答案】D 【解答】解：根据题意，双曲线퐶的左焦点为퐹1( ― 5, 0)，则푐 = 5， 又由双曲线퐶:푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1的离心率为5 3，所以푒 = 푐 푎 = 5 3，解得：푎 = 3， 则푏2 = 푐2 ― 푎2 = 16，所以双曲线的标准方程为：푥2 9 ― 푦2 16 = 1.故选퐷. 6. 如图，在下列四个正方体中，푃，푅，푄，푀，푁，퐺，퐻为所在棱的 中点，则在这四个正方体中，阴影平面与푃푅푄所在平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解答】由题意可知经过푃、푄、푅三点的平面如图：红色线的图形， 可知푁在经过푃、푄、푅三点的平面上，所以퐵、퐶错误； 푀퐶1与푄퐸是相交直线，所以퐴不正确； 7. 已知实数푥，푦满足{ 푦 ≥ 푥, 2푥 ― 푦 ≥ 0, 푥 + 푦 ≤ 5, 则푧 = 푦 푥 + 1的最大值为( ) A. 5 12 B. 5 7 C. 5 4 D.5 3[ 【答案】C 【解 答】解：由约束条件{ 푦 ≥ 푥, 2푥 ― 푦 ≥ 0, 푥 + 푦 ≤ 5, 作出可行域如图， 푧 = 푦 푥 + 1的几何意义为可行域内的动点与定点푃( ― 1, 0)连线的斜率， 由图可知，푧 = 푦 푥 + 1的最大值是푘푃퐴 = 0 ― 10 3 ―1 ― 5 3 = 5 4．故选퐶. 8. 函数푓(푥) = ln|푥| cos푥的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9. 函数 푓(푥 +2) = log2(3푥 ― 1) ，则 푓(5) = ( ) A.log214 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解答】解：∵ 函数 푓(푥 +2) = log2(3푥 ― 1) ， ∴ 푓(5) = 푓(3 + 2) = log2(3 × 3 ― 1) = 3.故选퐵． 10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 ( ) A.푛 ≤ 7 B.푛 > 7 C.푛 ≤ 6 D.푛 > 6 【答案】D 【解答】解：当푛 = 1时，푆 = 0 + 3 = 3，푎 = 3 + 2 = 5； 当푛 = 2时，푆 = 3 + 5 = 8，푎 = 5 + 2 = 7； 当푛 = 3时，푆 = 8 + 7 = 15，푎 = 7 + 2 = 9； 当푛 = 4时，푆 = 15 + 9 = 24，푎 = 9 + 2 = 11； 当푛 = 5时，푆 = 24 + 11 = 35，푎 = 11 + 2 = 13； 当푛 = 6时，푆 = 35 + 13 = 48，푎 = 13 + 2 = 15， 当푛 = 7时，푆 = 48 + 15 = 63． 此时有푛 = 7 > 6，算法结束， 所以判断框中的条件应填푛 > 6，这样才能保证进行7次求和．故选퐷． 11. 在 △ 퐴퐵퐶中，角퐴、퐵、퐶的对边分别为푎，푏，푐，若퐴 = 휋 3，푐＝1， 푎sin퐶＝푏sin퐵，则 △ 퐴퐵퐶的面积为（ ） A. 3 3 B. 3 2 C. 3 8 D. 3 4 【答案】D 【解答】∵ 푎sin퐶＝푏sin퐵，∴ 푎푐＝푏2，∵ 푐＝1，∴ 푏2＝푎， ∵ 퐴 = 휋 3， ∴ 푎2＝푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴＝푎 +1 ― 푎，整理可得푎(푎 ― 1)＝1 ― 푎， ∴ 푎＝1，푏＝1，∴ 푆△퐴퐵퐶 = 1 2푏푐sin퐴 = 1 2 × 1 × 1 × 3 2 = 3 4 ． 12. 已知퐹1，퐹2是椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的左、右焦点，以퐹1퐹2为 直径的圆与椭圆在第一象限的交点为푃，过点푃向푥轴作垂线，垂足为퐻， 若|푃퐻| = 푎 2，则此椭圆的离心率为( ) … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … A. 5 ― 1 2 B. 3 2 C. 17 ― 1 4 D.2 2 ― 2 【答案】C 【解答】解：∵ 퐹1，퐹2是椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的左、右焦点， 以퐹1퐹2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为푃， 过点푃向푥轴作垂线，垂足为퐻，若|푃퐻| = 푎 2， ∴ 푥2 푎2 + 푎2 4 푏2 = 1，解得푥2 = 4푎2푏2 ― 푎4 4푏2 ，∴ 푐2 = 4푎2푏2 ― 푎4 4푏2 + 푎2푏2 4푏2 = 5푎2푏2 ― 푎4 4푏2 ， ∴ 4푐2(푎2 ― 푐2) = 5푎2(푎2 ― 푐2) ― 푎4，∴ 4푎2푐2 ― 4푐4 = 4푎4 ― 5푎2푐2， ∴ 4푒2 ― 4푒4 = 4 ― 5푒2，∴ 4푒4 ― 9푒2 +4 = 0. ∵ 0 < 푒 < 1，∴ 푒2 = 9 ― 17 8 ，∴ 푒 = 17 ― 1 4 ．故选퐶. 卷 II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） 13. 向量 → 푎 = ( ― 1, 1)在向量 → 푏 = (3, 4)方向上的投影为________． 【答案】1 5 【解答】解：设向量 → 푎 = ( ― 1,1)与 → 푏 = (3,4)的夹角为휃 则向量 → 푎在向量 → 푏方向上的投影为| → 푎| ⋅ cos휃 = ˙ | → 푏| = ( ― 1,1) ⋅ (3,4) 32 + 42 = 1 5 故答案为：1 5． 14. 过点푃(1,1)作曲线푦 = 푥3的切线，则切线方程为________． 【答案】푦 = 3푥 ― 2或푦 = 3 4푥 + 1 4 【解答】解：设切点坐标为(푥0,푦0)，由푦 = 푥3得푦′ = 3푥2， 所以切线斜率푘 = 푦′|푥=푥0 = 3푥20，则切线方程为푦 ― 푦0 = 3푥20(푥 ― 푥0)． 又点(푥0,푦0)在曲线 푦 = 푥3上，且点푃(1,1)在切线上， 所以{1 ― 푦0 = 3푥20(1 ― 푥0)， 푦0 = 푥30， 消去푦0，得1 ― 푥30 = 3푥20(1 ― 푥0)， 所以(1 ― 푥0)(1 + 푥0 + 푥20) = 3푥20(1 ― 푥0)，即(푥0 ― 1)2(2푥0 +1) = 0． 解得푥0 = 1或푥0 = ― 1 2，所以{푥0 = 1， 푦0 = 1 或{푥0 = ― 1 2， 푦0 = ― 1 8． 所以切线方程为푦 ― 1 = 3(푥 ― 1)或푦 + 1 8 = 3 4(푥 + 1 2)， 即푦 = 3푥 ― 2或푦 = 3 4푥 + 1 4．故答案为：푦 = 3푥 ― 2或푦 = 3 4푥 + 1 4． 15. 已知cos훼 = 3 5，훼 ∈ (0, 휋 2)，则cos(휋 3 + 훼) = ________. 【答案】3 ― 4 3 10 【解答】解：∵ cos훼 = 3 5，훼 ∈ (0, 휋 2)，∴ sin훼 = 1 ― cos2훼 = 4 5， ∴ cos(휋 3 + 훼) = cos 휋 3cos훼 ― sin 휋 3sin훼 = 1 2 × 3 5 ― 3 2 × 4 5 = 3 ― 4 3 10 . 故答案为：3 ― 4 3 10 . 16. 已知 △ 퐴퐵퐶是以퐵퐶为斜边的直角三角形，푃为平面퐴퐵퐶外一点，且 平面푃퐵퐶 ⊥ 平面퐴퐵퐶，퐵퐶＝3，푃퐵＝2 2，푃퐶 = 5，则三棱锥푃 ― 퐴퐵퐶外接球的表面积为________． 【答案】10휋 【解答】由题意知 퐵퐶的中点 푂为 △ 퐴퐵퐶 外接圆的圆心，且平面푃퐵퐶 ⊥ 平面퐴퐵퐶．过푂 作面 퐴퐵퐶的垂线푙，则垂线푙 一定在面퐴퐵퐶 内． 根据球的性质，球心一定在垂线푙 上， ∵ 球心푂1 一定在平面푃퐵퐶 内，且球心푂1也是 △ 푃퐵퐶 外接圆的圆心． 在 △ 푃퐵퐶 中，由余弦定理得cos∠푃퐵퐶 = 푃퐵2 + 퐵퐶2 ― 푃퐶2 2푃퐵 ⋅ 퐵퐶 = 2 2 ， ∴ sin∠푃퐵퐶 = 2 2 ，由正弦定理得： 푃퐶 sin∠푃퐵퐶 = 2푅，解得푅 = 10 2 ， ∴ 三棱锥的外接球的表面积＝4휋푅2＝10휋． 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 12 分 ，共计 84 分 ， ） 17. 记푆푛是正项数列{푎푛}的前푛项和，푎푛 +1是4和푆푛的等比中项． [来源:学§科§网Z§X§X§K](1)求数列{푎푛}的通项公式； (2)记푏푛 = 1 (푎푛 + 1) ⋅ (푎푛+1 + 1)，求数列{푏푛}的前푛项和푇푛. 【答案】解：(1)由푎푛 +1是4和푆푛的等比中项，知(푎푛 + 1)2 = 4푆푛 ①， 故当푛 ≥ 2时，(푎푛―1 + 1)2 = 4푆푛―1 ②， 由① ― ②，得(푎푛 ― 1)2 = (푎푛―1 + 1)2， 即푎푛 ― 1 = 푎푛―1 +1或者푎푛 ― 1 + (푎푛―1 + 1) = 0（舍去）， 则可得푎푛 ― 푎푛―1 = 2(푛 ≥ 2)， 则{푎푛}为等差数列，且(푎1 + 1)2 = 4푆1，得푎1 = 1，所以푎푛 = 2푛 ― 1． (2)푏푛 = 1 2푛 ⋅ (2푛 + 2) = 1 4(1 푛 ― 1 푛 + 1)， 所以푇푛 = 1 4(1 ― 1 2 + 1 2 ― 1 3 + ⋯ + 1 푛 ― 1 푛 + 1) = 푛 4(푛 + 1)． 18. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐵퐶 = 4，点퐸在线段퐴퐵上，过点퐸作 퐸퐹 // 퐵퐶交퐴퐶于点퐹，将 △ 퐴퐸퐹沿퐸퐹折起到 △ 푃퐸퐹的位置（点퐴与푃重 合），使得∠푃퐸퐵 = 30∘． (퐼 )求证：퐸퐹丄푃퐵； (퐼퐼 )试问：当点퐸在何处时，四棱锥푃 ― 퐸퐹퐶퐵的侧面푃퐸퐵的面积最大？ 并求此时四棱锥푃 ― 퐸퐹퐶퐵的体积 【答案】解：(퐼)在푅푇 △ 퐴퐵퐶中，∵ 퐸퐹 // 퐵퐶，퐴퐵 ⊥ 퐵퐶 ；∴ 퐸퐹 ⊥ 퐴퐵 ∴ 퐸퐹 ⊥ 퐸퐵，퐸퐹 ⊥ 퐸푃 又∵ 퐸퐵 ∩ 퐸푃 = 퐸，∴ 퐸퐹 ⊥ 平面푃퐸퐵∴ 퐸퐹 ⊥ 푃퐵 (퐼퐼)由(퐼)知퐸퐹 ⊥ 平面푃퐸퐵，又∵ 퐸퐹 ⊂ 平面퐵퐶퐹퐸 ∴ 平面퐵퐶퐹퐸 ⊥ 平面푃퐸퐵， 又∵ 平面퐵퐶퐹퐸 ∩ 平面푃퐸퐵 = 퐵퐸 在平面푃퐸퐵内，过푃点作푃퐷 ⊥ 퐵퐸于퐷；∴ 푃퐷 ⊥ 平面퐵퐶퐹퐸 设푃퐸 = 푥，푥 ∈ (0, 4)，则퐵퐸 = 4 ― 푥 在푅푇 △ 푃퐸퐷中，∵ ∠푃퐸퐵 = 30∘；∴ 푃퐷 = 1 2푥， ∴ 푆△푃퐸퐵 = 1 2 × 푃퐷 × 퐵퐸 = 1 2 × (4 ― 푥) × 1 2푥 = ― 1 4(푥 ― 2)2 +1 当且仅当푥 = 2，即퐸为퐴퐵的中点时， △ 푃퐸퐷面积最大；此时푃퐷 = 1 易得푆퐸퐹퐶퐵 = 1 2(4 + 2) × 2 = 6；∴ 푉푃―퐸퐹퐶퐵 = 1 3 × 푆퐸퐹퐶퐵 × 푃퐷 = 1 3 × 6 × 1 = 2 19. 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自 动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助. 某市 工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了 2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步 软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为 [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11，13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组 （单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分 布直方图如下，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下， 并利用该样本的频率分布估计总体的概率 分布. 分组 (单 位： 千步 ) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21) 频数 10 20 20 30 400 200 200 100 20 (1)现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”,填写下面列联 表，并根据列联表判断能否有99.9%的把握认为是否为“健步达人”与年 龄有关； 健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 不超过40岁的市民 总计 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … (2)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数(单 位:千步)的平均数和中位数； (3)若日健步步数落在区间( ¯ 푥 ― 2푠, ¯ 푥 +2푠)内，则可认为该市民“运动适 量”，其中 ¯ 푥,푠分别为样本平均数和样本标准差，计算可求得频率分布直 方图中数据的标准差푠约为3.64，若一市民某天的健步步数为2万步，试 判断该市民这天是否“运动适量”？ 参考公式：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)，其中푛 = 푎 + 푏 + 푐 + 푑. 参考数据： 푃(퐾2 ≥ 푘0) 0.15 0.10 0.05 0.025 [来源:学科网푍푋푋퐾]0.010 0.001 푘0 [来源:学科网푍푋푋퐾]2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】 解：(1)列联表为： 健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市 民 520 480 1000 不超过40岁的 市民 400 600 1000 总计 920 1080 2000 퐾2 = 2000 × (520 × 600 ― 480 × 400)2 920 × 1080 × 1000 × 1000 ≈ 29 > 10.828, 所以有99.9%的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关. (2)样本平均数为 ¯ 푥 = 4 × 0.04 + 6 × 0.06 + 8 × 0.10 + 10 × 0.10 + 12 × 0.3 + 14 × 0.2 + 16 × 0.1 + 18 × 0.08 + 20 × 0.02 = 12.16， 由前4组的频率之和为0.04 + 0.06 + 0.10 + 0.10 = 0.30，前5组的频率 之和为0.30 + 0.30 = 0.6，得知样本中位数落在第5组， 设样本中位数为푡，则(푡 ― 11) × 0.15 = 0.5 ― 0.3, ∴ 푡 = 37 3 ， 故可以估计：该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16，中 位数为37 3 . (3)( ¯ 푥 ― 2푠, ¯ 푥 +2푠) = (4.88,19.44),而两万步恰好落在该区间右侧， 所以可据此判断该市民这天“运动不适量”. 20. 已知抛物线퐶:푥2 = 2푝푦(푝 > 0)的焦点为퐹，直线푙过点퐹交抛物线퐶于 퐴，퐵两点．且以퐴퐵为直径的圆푀与直线푦 = ―1相切于点푁． (1)求퐶的方程； (2)若圆푀与直线푥 = ― 3 2相切于点푄，求直线푙的方程和圆푀的方程． 【答案】解：(1)设퐴(푥1, 푦1)，퐵(푥2, 푦2)，∴ |퐴퐵| = 푦1 + 푦2 + 푝, ∵ 以퐴퐵为直径的圆푀与直线푦 = ―1相切， 퐴퐵的中点到直线푦 = ―1的距离等于半径，∴ 푦1 + 푦2 2 +1 = |퐴퐵| 2 = 푦1 + 푦2 + 푝 2 , ∴ 푦1 + 푦2 + 2 2 = 푦1 + 푦2 + 푝 2 ,∴ 푝 = 2，∴ 抛物线퐶的方程为푥2 = 4푦． (2)设直线푙的方程为푦 = 푘푥 +1，代入푥2 = 4푦中， 化简整理得푥2 ― 4푘푥 ― 4 = 0，∴ 푥1 + 푥2 = 4푘，푥1푥2 = ―4， ∴ 푦1 + 푦2 = 푘(푥1 + 푥2) + 2 = 4푘2 +2，∴ 圆心的坐标为푀(2푘, 2푘2 +1)， ∵ 圆푀与直线푥 = ― 3 2相切于点푄，∴ |푀푄| = |푀푁|， ∴ |2푘 + 3 2| = |2푘2 +2|，解得푘 = 1 2， 此时直线푙的方程为푦 = 1 2푥 +1，即푥 ― 2푦 +2 = 0， 圆心푀(1,3 2)，半径푟 = 5 2，∴ 圆푀的方程为(푥 ― 1)2 +(푦 ― 3 2)2 = (5 2)2． 21. 已知函数푓(푥) = ln푥 ― 푚푥2，푔(푥) = 1 2푚푥2 + 푥，푚 ∈ R，퐹(푥) = 푓(푥 ) + 푔(푥)． (1)讨论函数푓(푥 )的单调区间及极值； (2)若关于푥的不等式퐹(푥) ≤ 푚푥 ― 1恒成立，求整数푚的最小值． 【答案】解：(1)由题知定义域为(0,  + ∞)，푓′(푥) = 1 푥 ― 2푚푥 = 1 ― 2푚푥2 푥 ， ①当푚 ≤ 0时푓′(푥) > 0恒成立，∴ 푓(푥)在(0,  + ∞)上是增函数，无极值， ②当푚 > 0时令푓′(푥) > 0，∴ 0 < 푥 < 1 2푚，令푓′(푥) < 0，∴ 푥 > 1 2푚， 所以函数푓(푥)在(0,  1 2푚)上为增函数，在( 1 2푚,  + ∞)为减函数， 所以当푥 = 1 2푚时，有极大值，极大值为 ― 1 2(ln2푚 +1)，无极小值. (2)由퐹(푥) ≤ 푚푥 ― 1恒成立知푚 ≥ 2(ln푥 + 푥 + 1) 푥2 + 2푥 恒成立，令ℎ(푥) = 2(ln푥 + 푥 + 1) 푥2 + 2푥 ， 则ℎ′(푥) = ―2(푥 + 1)(2ln푥 + 푥) (푥2 + 2푥)2 ， 令휑(푥) = 2ln푥 + 푥，因为휑(1 2) = 1 2 ― ln4 < 0，휑(1) = 1 > 0，则휑(푥)为 增函数． 故存在푥0 ∈ (1 2, 1)，使휑(푥0) = 0，即2ln푥0 + 푥0 = 0， 当0 < 푥 < 푥0时，ℎ′(푥) > 0，ℎ(푥)为增函数，当푥0 < 푥时，ℎ′(푥) < 0，ℎ( 푥)为减函数． 所以ℎ(푥)max = ℎ(푥0) = 2(ln푥0 + 푥0 + 1) 푥0 2 + 2푥0 = 1 푥0 ， 而푥0 ∈ (1 2, 1)，所以 1 푥0 ∈ (1, 2)，所以整数푚的最小值为2． 四、 选做题 （任选一题 ，每题 10 分 ，共计 10 分 ） 22. 在直角坐标系푥푂푦中，以原点푂为极点，以푥轴非负半轴为极轴，与 直角坐标系푥푂푦取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线퐶参数方程 为{푥 = 3cos휃 푦 = sin휃 （휃为参数），直线푙的极坐标方程为휌cos(휃 ― 휋 4) = 2 2． （1）写出曲线퐶的普通方程和直线푙的直角坐标方程； （2）求曲线퐶上的点到直线푙的最大距离． 【答案】 解：（1）由휌cos(휃 ― 휋 4) = 2 2得 휌(cos휃 + sin휃) = 4，∴ 直线푙:푥 + 푦 ― 4 = 0． 由{푥 = 3cos휃 푦 = sin휃 得퐶:푥2 3 + 푦2 = 1． （2）在퐶:푥2 3 + 푦2 = 1上任取一点푃( 3cos휃，sin휃)，则点푃到直线푙的距 离为 푑 = | 3cos휃 + sin휃 ― 4| 2 = |2 ⋅ sin(휃 + 휋 3) ― 4| 2 ≤ | ― 2 ― 4| 2 = 3 2． ∴ 当sin(휃 + 휋 3) = ―1，即휃 = ― 5 6휋 +2푘휋，푘 ∈ 푧 时，푑max = 3 2． 23. 已知函数푓(푥)＝|푥 + 푚| + |2푥 ― 1|． （1）当푚＝ ― 1时，求不等式푓(푥) ≤ 2的解集； （2）若푓(푥) ≤ |2푥 +1|的解集包含[3 4 ,2]，求푚的取值范围． 【答案】（1）当푚＝ ― 1时，푓(푥)＝|푥 ― 1| + |2푥 ― 1|， ①푥 ≥ 1时，푓(푥)＝3푥 ― 2 ≤ 2，解得1 ≤ 푥 ≤ 4 3； ②当1 2 < 푥 < 1时，푓(푥)＝푥 ≤ 2，解得1 2 < 푥 < 1； ③当푥 ≤ 1 2时，푓(푥)＝2 ― 3푥 ≤ 2，解得0 ≤ 푥 ≤ 1 2； 综合①②③可知，原不等式的解集为{푥|0 ≤ 푥 ≤ 4 3}． （2）由题意可知푓(푥) ≤ |2푥 +1|在[3 4,2]上恒成立， 当푥 ∈ [3 4,2]时，푓(푥)＝|푥 + 푚| + |2푥 ― 1|＝|푥 + 푚| + 2푥 ― 1 ≤ |2푥 +1|＝ 2푥 +1， 从而可得|푥 + 푚| ≤ 2，即 ― 2 ≤ 푥 + 푚 ≤ 2⇔ ― 2 ― 푥 ≤ 푚 ≤ 2 ― 푥， 且( ― 2 ― 푥)max = ― 11 4 ，(2 ― 푥)min＝0， 因此푚 ∈ [ ― 11 4 ,0]．