2020-2021学年高三数学（理）上学期开学考试模拟试卷02（解析版）

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 绝密★启用前 2020-2021 学年高三数学（理）上学期开学考试模拟 试卷 02 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷 I（选择题）[来源:Z,xx,k.Com] 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ， ） 1. 已知集合푀 = {푥|푦 = 1 ― 푥2}，푁 = {푥| ― 2 < log1 2 (푥 +3) < ―1, 푥 ∈ Z}， 则有( ) A.푀 ⊆ 푁 B.푀 ∩ (∁R푁) = { ― 1, 1} C.푀 ∩ 푁 = {0} D.푀 ∪ 푁 = Z 【答案】C 【 解 答 】 解 ： 푀 = {푥|푦 = 1 ― 푥2} = {푥|1 ― 푥2 ≥ 0} = {푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 1}， 푁 = {푥|2 < 푥 +3 < 4, 푥 ∈ Z} = {푥| ― 1 < 푥 < 1, 푥 ∈ Z} = {0}， ∴ 푀 ∩ 푁 = {0}.故选퐶. 2. 若复数푧 = 1 ― 푎푖 1 ― 푖 (푎 ∈ R)的虚部为2，则|푧| = ( ) A. 5 B. 10 C.2 3 D. 13 【答案】A 【解答】解：∵ 푧 = 1 ― 푎푖 1 ― 푖 = (1 ― 푎푖)(1 + 푖) (1 ― 푖)(1 + 푖) = 1 + 푎 ― (푎 ― 1)푖 2 的虚部为2， ∴ ―(푎 ― 1) 2 = 2，解得푎 = ―3．∴ 푧 = ―1 + 2푖，则|푧| = 5．故选퐴. 3. “푎 < ―2”是“函数푓(푥) = 푎푥 +3在区间[ ― 1, 2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：∵ 푎 < ―2，푓(푥) = 푎푥 +3， ∴ 푓(0) = 3 > 0，푓(2) = 2푎 +3 < 2 × ( ― 2) + 3 = ― 1 < 0，푓(0) ⋅ 푓 (2) < 0 ∴ 函数푓(푥) = 푎푥 +3在区间[ ― 1, 2]上存在零点푥0． ∴ 푎 < ―2”是“函数푓(푥) = 푎푥 +3在区间[ ― 1, 2]上存在零点푥0”的充分条 件； 若函数푓(푥) = 푎푥 +3在区间[ ― 1, 2]上存在零点，则푓( ― 1) ⋅ 푓(2) ≤ 0， 即( ― 푎 +3)(2푎 +3) ≤ 0，解得푎 ≤ ― 3 2或푎 ≥ 3， ∴ 푎 < ―2不是“函数푓(푥) = 푎푥 +3在区间[ ― 1, 2]上存在零点的必要条 件．故选퐴. 4. 函数푓(푥) = 1 1 ― 푥 + lg(1 + 푥)的定义域是( ) A.( ― ∞, ― 1) B.(1, + ∞) C.( ― 1,1) ∪ (1, + ∞) D. ( ― ∞, + ∞) 【答案】C 【解答】解：要使函数푓(푥) = 1 1 ― 푥 + lg(1 + 푥)有意义， 则应满足1 + 푥 > 0且1 ― 푥 ≠ 0,解得푥 > ―1且푥 ≠ 1, 所以函数的定义域为( ― 1,1) ∪ (1, + ∞).故选퐶. 5. 已知푎 = log0.80.7，푏 = log0.70.8，푐 = 2.11.1，则（ ） A.푏 < 푎 < 푐 B.푎 < 푏 < 푐 C.푎 < 푐 < 푏 D.푏 < 푐 < 푎 【答案】A 【解答】解：∵ 2 = log0.80.64 > 푎 = log0.80.7 > log0.80.8 = 1， 푏 = log0.70.8 < 1，푐 = 2.11.1 > 2.11 = 2.1，∴ 푏 < 푎 < 푐.故选퐴. 6. (1 + 1 푥2)(1 + 푥)6展开式中푥2的系数为（ ） A.15 B.20 C.30 D.35 【答案】C 7. 在等差数列{푎푛}中，若푎3 + 푎4 + 푎5 + 푎6 + 푎7 = 45，那么푎5等于（ ） A.4 B.5 C.9 D.18 【答案】C 【解答】解：∵ 푎3 + 푎4 + 푎5 + 푎6 + 푎7 = 45，∴ 5푎5 = 45， 那么푎5 = 9．故选：퐶． 8. 已知函数푓(푥) = 푥2 ― ln|푥| 푥 ，则函数푦 = 푓(푥)的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解答】依题意，①当푥 > 0时，푓′(푥) = 2푥 ― 1 ― ln푥 푥2 = 2푥3 + ln푥 ― 1 푥2 ， 记푔(푥) = 2푥3 + ln푥 ― 1，则函数푔(푥)在(0, + ∞)上是增函数， 注意到푔(푒―2) = 2푒―6 ― 3 < 0,푔(1) = 1 > 0，函数푔(푥)在(푒―2,1)上必存 在唯一零点푥0,푒―2 < 푥0 < 1,푔(푥0) = 0， 当푥 ∈ (0,푥0)时，푓′(푥) < 0；当푥 ∈ (푥0, + ∞)时，푓′(푥) > 0， 即函数푓(푥)在(0,푥0)上是减函数，在(푥0, + ∞)上是增函数； ②当푥 < 0时，푓(푥) = 푥2 ― ln( ―푥) 푥 ,푓( ―1) = 1 > 0，结合各选项知，选퐴． 9. 假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6:00 ― 7:00之间把牛奶送 到你家，你离开家去上学的时间在早上6:30 ― 7:30之间，则你在离开 家前能收到牛奶的概率是（ ） A. 1 8 B. 5 8 C. 1 2 D. 7 8 【答案】D 【解答】设送奶人到达的时间为푥，此人离家的时间为푦， 以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间， 建立平面直角坐标系（如图） 则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图 ∴ 所求概率푃＝1 ― 1 2 × 1 2 × 1 2 = 7 8； 10. 关于函数푓(푥)＝sin|푥| + |sin푥|有下述四个结论： ①푓(푥)是偶函数②푓(푥)的最大值为2 ③푓(푥)在[ ― 휋, 휋]有4个零点④푓(푥)在区间(휋 2,휋)单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③ 【答案】A 【解答】关于函数푓(푥)＝sin|푥| + |sin푥|有下述四个结论： 对于①：由于푓( ― 푥)＝푓(푥)，所以函数푓(푥)是偶函数．故正确． 对于②：当푥 > 0时，当푥 = 휋 2时，函数푓(푥)的最大值为2，故正确． 对于③푓(푥)在[ ― 휋, 휋]有3个零点，故错误． 对于④根据函数的图象푓(푥)）＝sin|푥| + |sin푥|在区间(휋 2,휋)都单调递减， 所以函数在区间(휋 2,휋)单调递减．故正确． 11. 设퐹1，퐹2为椭圆퐶1:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)与双曲线퐶2的公共的左右 焦点，它们在第一象限内交于点푀， △ 푀퐹1퐹2是以线段푀퐹1为底边的等 腰三角形，若双曲线퐶2的离心率푒 ∈ [3 2, 4]，则椭圆퐶1的离心率取值范围 是( ) A.[4 9, 5 9] B.[0, 3 8] C.[3 8, 4 9] D.[5 9, 1] 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵ △ 푀퐹1퐹2为等腰三角形，∴ |푀퐹2| = |퐹1퐹2| = 2푐， 根据椭圆定义应该有|푀퐹2| + |푀퐹1| = 2푎 = 2푐 +|푀퐹1|， 可推出|푀퐹1| = 2푎 ― 2푐， ∵ 双曲线也以퐹1和퐹2为焦点，根据其定义也有： |푀퐹1| ― |푀퐹2| = (2푎 ― 2푐) ― 2푐 = 2푎 ― 4푐， ∴ 퐴点横坐标为푎 ― 2푐，由푎 ― 2푐 > 0，得：0 < 푐 푎 < 1 2； 设椭圆퐶1的离心率为푒1，则0 < 푒1 < 1 2， 又∵ 双曲线离心率푒的范围：3 2 ≤ 푒 = |푂퐹2| |푂퐴| = 푐 푎 ― 2푐 = 푐 푎 1 ― 2푐 푎 ≤ 4, ∴ 3 8 ≤ 푒1 ≤ 4 9.故选퐶. 12. 定义域为R的偶函数푓(푥)满足∀푥 ∈ R，有푓(푥 +2) = 푓(푥) ― 푓(1)，且 当푥 ∈ [2, 3]时，푓(푥) = ―2푥2 +12푥 ― 18．若函数푦 = 푓(푥) ― log푎(푥 +1) … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 至少有三个零点，则푎的取值范围是( ) A.(0,  2 2 ) B.(0,  3 3 ) C.(0,  5 5 ) D.(0,  6 6 ) 【答案】B 【解答】解：∵ 푓(푥 +2) = 푓(푥) ― 푓(1)， 且푓(푥)是定义域为R的偶函数， 令푥 = ―1可得푓( ― 1 + 2) = 푓( ― 1) ― 푓(1)，又푓( ― 1) = 푓(1)， 可得푓(1) = 0 则有，푓(푥 +2) = 푓(푥)，∴ 푓(푥)是周期为2的偶函数． 当푥 ∈ [2, 3]时，푓(푥) = ―2푥2 +12푥 ― 18 = ―2(푥 ― 3)2， 函数푓(푥)的图象为开口向下、顶点为(3, 0)的抛物线． ∵ 函数푦 = 푓(푥) ― log푎(푥 +1)在(0,  + ∞)上至少有三个零点， 令푔(푥) = log푎(푥 +1)，则푓(푥)的图象和푔(푥)的图象至少有3个交点． 作出函数的图象，如图所示， ∵ 푓(푥) ≤ 0，∴ 푔(푥) ≤ 0，可得0 < 푎 < 1． 要使函数푦 = 푓(푥) ― log푎(푥 +1)在(0, + ∞)上至少有三个零点， 则有푔(2) > 푓(2)，即 log푎(2 + 1) > 푓(2) = ―2， ∴ log푎3 > ―2，∴ 3 < 1 푎2，解得 ― 3 3 < 푎 < 3 3 ． 又푎 > 0，∴ 0 < 푎 < 3 3 .故选퐵． 卷 II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） 13. 在等比数列{푎푛}中，푎1 > 0，푎2푎4 +2푎3푎5 + 푎4푎6＝25，则푎3 + 푎5的 值是________． 【答案】5[来源:学#科#网] 【解答】∵ {푎푛}是等比数列，且푎1 > 0，푎2푎4 +2푎3푎5 + 푎4푎6＝25， ∴ 푎23 +2푎3푎5 + 푎25＝25，即 (푎3 + 푎5)2＝25． 再由푎3＝푎1 ⋅ 푞2 > 0，푎5＝푎1 ⋅ 푞4 > 0，푞为公比，可得푎3 + 푎5＝5， 14. 设 → 푎 ⋅ → 푏 = 4，若 → 푎在 → 푏方向上的投影为2，且 → 푏在 → 푎方向上的投影为1， 则 → 푎与 → 푏的夹角等于________． 【答案】휋 3 【解答】解：设 → 푎与 → 푏的夹角等于휃， 由题意可得 → |푎| ⋅ | → 푏| ⋅ cos휃 = 4， → |푎| ⋅ cos휃 = 2，| → 푏| ⋅ cos휃 = 1， 解得 → |푎| = 4，| → 푏| = 2，cos휃 = 1 2，∴ 휃 = 휋 3．故答案为：휋 3． 15. 已知函数푓(푥)＝log푎(2푥 ― 푎)在区间[1 2,2 3]上恒有푓(푥) > 0，则实数푎 的取值范围是________． 【答案】(1 3,1) 【解答】由对数函数的图象性质，푓(푥)＝log푎(2푥 ― 푎) > 0⇔ { 푎 > 1 2푥 ― 푎 > 1 或{ 0 < 푎 < 1 0 < 2푥 ― 푎 < 1 由{ 푎 > 1 2푥 ― 푎 > 1 在区间[1 2,2 3]上恒成立，得{ 푎 > 1 2 × 1 2 ― 푎 > 1 即푎 ∈ ⌀ 由{ 0 < 푎 < 1 0 < 2푥 ― 푎 < 1 在区间[1 2,2 3]上恒成立，得{ 0 < 푎 < 1 2 × 2 3 ― 푎 < 1 2 × 1 2 ― 푎 > 0  即푎 ∈ (1 3,1) 16. 在三棱锥푃 ― 퐴퐵퐶中，平面푃퐴퐵 ⊥ 平面퐴퐵퐶， △ 푃퐴퐵和 △ 퐴퐵퐶均为 边长为2 3的等边三角形，若三棱锥푃 ― 퐴퐵퐶的四个顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为________. 【答案】20휋 【解答】解：如图，设 △ 푃퐴퐵和 △ 퐴퐵퐶的外心的半径为푟1, 푟2， 则2푟1 = 2푟2 = 2 3 sin60∘ = 4，푟1 = 푟2 = 2， ∴ 푂2퐻 = 1，푂1퐻 = 1，퐴퐻 = 3， ∴ 푅2 = 퐴푂2 = 퐴퐻2 + 푂1퐻2 + 푂1푂2 = 5，푅 = 5， ∴ 球的表面积为푆 = 4휋푅2 = 20휋.故答案为：20휋. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计 60 分 ， ） 17. 在 △ 퐴퐵퐶中，设角퐴，퐵，퐶的对边分别为푎，푏，푐，已知cos2퐴 = sin2퐵 + cos2퐶 + sin퐴sin퐵． (1)求角퐶的大小； (2)若푐 = 3，求 △ 퐴퐵퐶周长的取值范围． 【答案】解：(1)∵ cos2퐴 = sin2퐵 + cos2퐶 + sin퐴sin퐵， ∴ 1 ― sin2퐴 = sin2퐵 +1 ― sin2퐶 + sin퐴sin퐵， ∴ sin2퐴 + sin2퐵 ― sin2퐶 = ― sin퐴sin퐵，∴ 푎2 + 푏2 ― 푐2 = ― 푎푏， ∴ cos퐶 = 푎2 + 푏2 ― 푐2 2푎푏 = ― 1 2， 又0 < 퐶 < 휋，∴ 퐶 = 2휋 3 ． (2)∵ 푎 sin퐴 = 푏 sin퐵 = 푐 sin퐶，∴ 푎 = 2sin퐴，푏 = 2sin퐵， [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 则 △ 퐴퐵퐶的周长퐿 = 푎 + 푏 + 푐 = 2(sin퐴 + sin퐵) + 3 = 2(sin퐴 + sin(휋 3 ― 퐴)) + 3 = 2sin(퐴 + 휋 3) + 3， ∵ 0 < 퐴 < 휋 3，∴ 휋 3 < 퐴 + 휋 3 < 2휋 3 ，∴ 3 2 < sin(퐴 + 휋 3) ≤ 1， 即2 3 < 2sin(퐴 + 휋 3) + 3 ≤ 2 + 3， ∴ △ 퐴퐵퐶周长的取值范围是(2 3，2 + 3]． 18. 为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某 医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 根据研究的数据，绘制了如下等高条形图． (1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由； (2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药 的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天）， 统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说 明理由； (3)标准差푠除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个 数据偏离平均水平的程度．如果出现了 治疗时间在( ¯ 푥 ― 3푠, ¯ 푥 + 3푠)之外 的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检 查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药 的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：푠 = 1 푛 ⋅ [(푥1 ― ¯ 푥)2 + (푥2 ― ¯ 푥)2 + ⋯ + (푥푛 ― ¯ 푥)2]． 参考数据： 2340 ≈ 48． 【答案】解：(1)甲药的治愈率更高． (2)甲药的疗效更好． 理由一：从茎叶图可以看出，有 9 10的叶集中在茎0，1上， 而服用乙药患者的治疗时间有3 5的叶集中在茎1，2上， 还有 1 10的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好． 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗时间的中位数为10 天， 而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好． 理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗时间的平均值为10 天， 而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗更好． (3)由(2)中茎叶图可知， … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为： ¯ 푥 = 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 22 10 = 10， 푠 = 36 + 25 + 16 + 4 + 0 + 0 + 1 + 4 + 4 + 144 10 = 23.4 ≈ 4.8， 则 ¯ 푥 ― 3푠 ≈ ―4.4， ¯ 푥 +3푠 ≈ 24.4，而26 > 24.4， 所以应该对患者进行进一步检查． 19. 如图，已知四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷，푃퐴 ⊥ 平面퐴퐵퐶퐷，底面퐴퐵퐶퐷为矩形， 퐴퐵＝3，퐴푃＝4，퐸为푃퐷的中点，퐴퐸 ⊥ 푃퐶． （1）求线段퐴퐷的长． （2）若푀为线段퐵퐶上一点，且퐵푀＝1，求二面角푀 ― 푃퐷 ― 퐴的余弦值． 【答案】（1）分别以퐴퐵，퐴푃，퐴퐷所在直线为푥，푦，푧轴，建立如图所 示的空间直角坐标系퐴 ― 푥푦푧． 设퐴퐷＝푡，则퐴(0,0,0),퐸(0,2,푡 2),퐶(3,0,푡),푃(0,4,0)， 所以 → 퐴퐸 = (0,2,푡 2), → 푃퐶 = (3, ― 4,푡)． 因为퐴퐸 ⊥ 푃퐶，所以 → 퐴퐸 ⋅ → 푃퐶 = 0， 即16 ― 푡2＝0，解得푡＝4，所以퐴퐷的长为4． （2）因为퐵푀＝1，所以푀(3, 0, 1)，又푃(0, 4, 0)，퐷(0, 0, 4)， 故 → 퐷푃 = (0,4, ― 4), → 퐷푀 = (3,0, ― 3)． 设 → 푛 = (푥,푦,푧)为平面퐷푀푃的法向量，则{ → 푛 ⋅ → 퐷푃 = 4푦 ― 4푧 = 0 → 푛 ⋅ → 퐷푀 = 3푥 ― 3푦 = 0  ， 取푧＝1，解得푦＝1，푥＝1，所以 → 푛 = (1,1,1)为平面퐷푀푃的一个法向量， 显然， → 퐴퐵 = (3,0,0)为平面푃퐷퐴的一个法向量， 则cos⟨ → 푛, → 퐴퐵⟩ = → 푛 ⋅ → 퐴퐵 | → 푛|| → 퐴퐵| = 3 3 1 + 1 + 1 = 3 3 ， 据图可知，二面角푀 ― 푃퐷 ― 퐴的余弦值为 3 3 ． 20. 动点푃在抛物线푥2＝2푦上，过点푃作푃푄垂直于푥轴，垂足为푄，设 → 푃푀 = 1 2 → 푃푄． (Ⅰ)求点푀的轨迹퐸的方程； (Ⅱ)设点푆( ― 4, 4)，过푁(4, 5)的直线푙交轨迹퐸于퐴，퐵两点，设直线푆퐴， 푆퐵的斜率分别为푘1，푘2，求|푘1 ― 푘2|的最小值． 【答案】（I）设点푀(푥, 푦)，푃(푥0, 푦0)，则由 → 푃푀 = 1 2 → 푃푄，得{ 푥0 = 푥 푦0 = 2푦 ， 因为点푃在抛物线푥2＝2푦上，所以，푥2＝4푦． (퐼퐼)由已知，直线푙的斜率一定存在， 设点퐴(푥1, 푦1)，퐵(푥2, 푦2)，则联立{푦 = 푘(푥 ― 4) + 5 푥2 = 4푦  ， 得，푥2 ― 4푘푥 +16푘 ― 20＝0， 由韦达定理，得{ 푥1 + 푥2 = 4푘 푥1푥2 = 16푘 ― 20 ． 当直线푙经过点푆即푥1＝ ― 4或푥2＝ ― 4时， 当푥1＝ ― 4时，直线푆퐴的斜率看作抛物线在点퐴处的切线斜率， 则 푘1＝ ― 2，푘2 = 1 8，此时|푘1 ― 푘2| = 17 8 ； 同理，当点퐵与点푆重合时，|푘1 ― 푘2| = 17 8 （学生如果没有讨论，不扣分） 直线푙不经过点푆即푥1 ≠ ―4且푥2 ≠ ―4时∵ 푘1 = 푦1 ― 4 푥1 + 4,푘2 = 푦2 ― 4 푥2 + 4， ∴ 푘1푘2 = (푘푥1 ― 4푘 + 1)(푘푥2 ― 4푘 + 1) (푥1 + 4)(푥2 + 4) ， = 푘2푥1푥2 + (푘 ― 4푘2)(푥1 + 푥2) + 16푘2 ― 8푘 + 1 푥1푥2 + 4(푥1 + 푥2) + 16 ， = 1 ― 8푘 32푘 ― 4 = ― 1 4， 故|푘1 ― 푘2| ≥ 2 |푘1푘2| = 2 ⋅ 1 4 = 1，所以|푘1 ― 푘2|的最小值为1． 21. 已知函数푓(푥) = 푎푥2 + 푥 ― 1 푥 (푎 ∈ 푅)． （1）当푎＝1时，若1 ≤ 푥 ≤ 3，求函数푓(푥)的最值； （2）若函数푓(푥)在푥＝2处取得极值，求实数푎的值． 【答案】（1）当푎＝1时，푓(푥) = 푥2 + 푥 ― 1 푥 = 푥 ― 1 푥 +1，则푓′(푥) = 1 + 1 푥2 > 0， ∴ 函数푓(푥)在[1, 3]上为增函数， ∴ 푓(푥)min = 푓(1) = 1,푓(푥)max = 푓(3) = 11 3 ； （2）∵ 푓(푥) = 푎푥2 + 푥 ― 1 푥 (푎 ∈ 푅)，∴ 푓′(푥) = 푎푥2 + 1 푥2 ， 又函数푓(푥)在푥＝2处取得极值，∴ 푓′(2) = 4푎 + 1 4 = 0，解得푎 = ― 1 4， 验证知，푎 = ― 1 4满足题意，综上，实数푎的值为 ― 1 4． 四、 选做题 （任选一题 ，每题 10 分 ，共计 10 分 ） 22. 已知曲线퐶：4푥2 9 + 푦2 16 = 1，直线푙：{ 푥 = 3 + 푡 푦 = 5 ― 2푡 (푡为参数)． (Ⅰ)写出曲线퐶的参数方程，直线푙的普通方程； (Ⅱ)过曲线퐶上任意一点푃作与푙夹角为30∘的直线，交푙于点퐴，求|푃퐴|的 最大值与最小值． 【答案】(Ⅰ)曲线퐶的参数 方程{푥 = 3 2cos휃 푦 = 4sin휃  (휃为参数)， (Ⅱ)曲线퐶上任意一点푃(3 2cos휃, 4sin휃)到直线푙的距离为푑 = 5 5 |3cos휃 +4 sin휃 ― 11|， 则|푃퐴| = 푑 sin30∘ = 2 5 5 |5sin(휃 + 훼) ― 11|，其中훼为锐角，且tan훼 = 4 3， 当sin(휃 + 훼) = ―1时，最大值为32 5 5 ，当sin(휃 + 훼) = 1时，最小值为 12 5 5 ．………． 23. 已知正数푥，푦，푧满足푥2 + 푦2 + 푧2＝6． （1）求푥 +2푦 + 푧的最大值； （2）若不等式|푎 +1| ― 2푎 ≥ 푥 +2푦 + 푧对满足条件的푥，푦，푧恒成立， 求实数푎的取值范围． 【答案】（1）由柯西不等式(푥2 + 푦2 + 푧2)(12 + 22 + 12) ≥ (푥 +2푦 + 푧)2， 即有(푥 +2푦 + 푧)2 ≤ 36． 又푥，푦，푧是正数，∴ 푥 +2푦 + 푧 ≤ 6， 即푥 +2푦 + 푧的最大值为6，当且仅当푥 1 = 푦 2 = 푧 1，即当푥＝푧＝1，푦＝2时 取得最大值． （2）由题意及（1）得，|푎 +1| ― 2푎 ≥ (푥 +2푦 + 푧)max＝6． 即：푎 +1 ≥ 0且푎 +1 ― 2푎 ≥ 6①，푎 +1 < 0，且 ― 푎 ― 1 ― 2푎 ≥ 6， ② 即푎 ≥ ―1，且푎 ≤ ―5；푎 < ―1且푎 ≤ ― 7 3， 解得푎无解或푎 ≤ ― 7 3， 综上，实数푎的取值范围为{푎|푎 ≤ ― 7 3}．