2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题35 抛物线（解析版）

1 / 17 五年高考+命题轨迹 第九章 解析几何 专题 35 抛物线 考点 1 抛物线的定义与标准方程 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 4 抛物线的定义 选择题 简单 5 分 2017 年高考全国 II 理数 抛物线的定义 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国Ⅱ卷理数 标准方程 解答题 一般 12 分 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 4】已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离 为 ，到 轴的距离为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案． 【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 ，故选 C． 2. 【2017 年高考全国 II 理数】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 _______________． 【答案】 【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 于点 ， 于点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ， A ( )2: 2 0C y px p= > A C 12 y 9 p = 2 3 6 9 122A pAF x= + = 12 9 2 p= + 6p = F :C 2 8y x= M C FM y N M FN FN = 6 x F' MB l⊥ B NA l⊥ A 2x = − | | 2,| | 4AN FF'= = 2 / 17 五年高考+命题轨迹 在直角梯形 中，中位线 ， 由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ， 故 ． 3. 【2016 高考天津理数】设抛物线 ，（t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ p,0），AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为 ，则 p 的值为_________. 【答案】 【解析】：抛物线的普通方程为 ， ， ，又 ，则 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，则 ，由 得 ， 即 ，所以 ， ，所以 ， ． 4. 【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______． 【答案】 【解析】： 5.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1） ；（2） 或 ． 【解析】（1）由题意得 ，l 的方程为 ． 设 ， 由 得 ． ANFF' | | | || | 32 AN FF'BM += = | | | | 3MF MB= = | | | | 3MN MF= = 3 3 6FN FM NM= + = + = 22 2 x pt y pt  =  = 7 2 3 2 6 2 2y px= ( ,0)2 pF 7 32 2 pCF p p= − = 2CF AF= 3 2AF p= 3 2AB p= Ax p= | | 2Ay p= //CF AB EF CF EA AB = 2EF CF EA AF = = 2 6 2CEF CEAS S∆ ∆= = 9 2ACF AEC CFES S S∆ ∆ ∆= + = 1 3 2 9 22 p p× × = 6p = 9 1 10 9M Mx x+ = ⇒ = 2 4C y x=： F F ( 0)k k > l C A B | | 8AB = l A B C 1y x= − 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = (1,0)F ( 1)( 0)y k x k= − > 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 2 ( 1), 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 3 / 17 五年高考+命题轨迹 ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 （舍去）， ． 因此 l 的方程为 ． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为 ， 所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为 ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 考点 2 抛物线的几何性质 年 份 考 向 题型 难度 分值 2017 年高考全国 I 理数 抛物线求弦长问题 选择题 一般 5 分 2016 高考新课标 1 卷 抛物线的性质 选择题 一般 5 分 1. 【2017 年高考全国 I 理数】已知 F 为抛物线 C： 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直 线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】设 ，直线 的方程为 ， 联立方程 ，得 ，∴ ， 216 16 0k∆ = + > 1 2 2 2 2 4 kx kx ++ = 1 2 2 2 4 4| | | | | | ( 1) ( 1)x kAB AF BF kx += + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = 1k = − 1k = 1y x= − (3,2) 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0( , )x y 0 0 2 2 0 0 0 5, ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + 0 0 3, 2 x y =  = 0 0 11, 6. x y =  = − 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = 2 4y x= 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y D x y E x y 1l 1( 1)y k x= − 2 1 4 ( 1) y x y k x  =  = − 2 2 2 2 1 1 12 4 0k x k x x k− − + = 2 1 1 2 2 1 2 4kx x k − −+ = − 2 1 2 1 2 4k k += 4 / 17 五年高考+命题轨迹 同理直线 与抛物线的交点满足 ， 由抛物线定义可知 ，当且仅当 （或 ）时，取等号． 故选 A． 2. 【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已 知|AB|= ,|DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 【解析】：如图,设抛物线方程为 , 交 轴于 点,则 ,即 点纵坐标为 ,则 点横坐标为 ,即 ,由勾股定理知 , ,即 ,解得 ,即 的焦点到准线的距离为 4,故选 B. 3. 【2019 年高考浙江卷】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的 右侧．记 的面积分别为 ． （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； 2l 2 2 3 4 2 2 2 4kx x k ++ = 2 1 1 2 3 4 2 1 2 4| | | | 2 kAB DE x x x x p k ++ = + + + + = + 2 2 2 2 2 4 4k k + + = 2 2 1 2 4 4 8k k + + ≥ 2 2 1 2 162 8 16k k + = 1 2 1k k= − = 1− 4 2 2 5 2 2y px= ,AB DE x ,C F 2 2AC = A 2 2 A 4 p 4OC p = 2 2 2 2DF OF DO r+ = = 2 2 2 2AC OC AO r+ = = 2 2 2 24( 5) ( ) (2 2) ( )2 p p + = + 4p = C (1 0)F ， 2 2 ( 0)y px p= > ABC△ ,AFG CQG△ △ 1 2,S S 5 / 17 五年高考+命题轨迹 （2）求 的最小值及此时点 G 的坐标． 【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为 ，此时G（2，0）． 【解析】（1）由题意得 ，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1. （2）设 ，重心 .令 ，则 . 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，所以 . 又 由 于 及 重 心 G 在 x 轴 上 ， 故 ， 得 . 所以，直线AC方程为 ，得 . 由于Q在焦点F的右侧，故 .从而 1 2 S S 31 2 + 12 p = ( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B c cA x y B x y C x y ( ),G GG x y 2 , 0Ay t t= ≠ 2 Ax t= 2 1 12 tx yt −= + 2 4y x= ( )2 2 2 1 4 0 t y yt − − − = 2 4Bty = − 2 By t = − 2 1 2,B t t  −   ( ) ( )1 1,3 3G A B c G A B cx x x x y y y y= + + = + + 22 0ct yt − + = 2 4 2 2 1 1 2 2 2,2 , ,03 t tC t t Gt t t    − +   − −              ( )22 2y t t x t− = − ( )2 1,0Q t − 2 2t > 6 / 17 五年高考+命题轨迹 . 令 ，则m>0， . 当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）． 4. 【2018 年高考北京卷理数】已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物 线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． 【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析. 【解析】（1）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2）， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 由 得 ． 依题意 ，解得 k= ppxy py 2±= 1−=⋅ OEOD kk 12 2 2 2 −=−⋅ pp 1=p xyC 2: 2 = )0,2 1(F O F l P O P PQ l Q FQ O P OP OP FQ P 2 3 FM FN⋅  2 3 ( )2 23y x= + ( ) 2 2 23 4 y x y x  = +  = 2 6 8 0y y− + = ( ) ( )1,2 , 4,4M N ( )1,0F ( ) ( )0,2 , 3,4FM FN= =  10 / 17 五年高考+命题轨迹 从而可以求得 ，故选 D. 4. 【2020 年高考山东卷 13】斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则 __________． 【答案】 【解析】由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，如图所示．作 ， ，直线 准线交于点 ，由 ，∴倾斜角 ，∴ ， 由抛物线定义知： ， ， 又∵ ，∴ 为 中点，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ． 5. 【2018 年高考全国Ⅲ理数】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________． 【答案】2 【解析】设 ，则 ，所以 ，所以 . 取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作抛物线准线 的垂线，垂足分别为 ，设 F 为 的焦点. 因为 ,所以 . 因为 为 AB 中点，所以 平行于 x 轴. 因为 M(−1,1)，所以 ，则 ，即 . 故答案为 2. 0 3 2 4 8FM FN⋅ = × + × =  3 2: 4C y x= C A B AB = 16 3 2: 4C y x= (1, 0)F : 1l x = − AA l′ ⊥ BB l′ ⊥ AB H 3ABk = 60θ =  30A HA′∠ =  | | | |AA AF′ = | | | |BB BF′ = | | 2 | |AH AA′= F AH | | 2MF = | | | | 4HF AF= = 1| | | | | |2BB BF HB′ = = 3 | | 4BF = 4| | 3BF = 4 16| | | | | | 4 3 3AB AF BF= + = + = ( )1 1M − ， 2 4C y x=： C k C A B 90AMB∠ = ° k = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x  = = 2 2 1 2 1 24 4y y x x− = − 1 2 1 2 1 2 4y yk x x y y −= =− + ( )0 0M x y′ , 1x = − ,A B′ ′ C 90AMB °∠ = ( ) ( )1 1 1 2 2 2MM AB AF BF AA BB′ ′= = + +′= M ′ MM ′ 0 1y = 1 2 2y y+ = 2k = 11 / 17 五年高考+命题轨迹 6. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B， 与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】设直线 ． （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ． 由 ，可得 ，则 ． 从而 ，得 ． 所以 的方程为 ． （2）由 可得 ． 由 ，可得 ． 所以 ．从而 ，故 ． 代入 的方程得 ． 故 ． 7. 【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交 直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线 的方程为 ，准线方程为 ；（2）见解析. 3 2 3AP PB=  3 7 2 8y x= − 4 13 3 ( ) ( )1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y= + 3 ,04F      1 2 3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2 5 2x x+ = 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2 12( 1) 9 tx x −+ = − 12( 1) 5 9 2 t −− = 7 8t = − l 3 7 2 8y x= − 3AP PB=  1 23y y= − 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 2 2 0y y t− + = 1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − = C 1 2 13, 3x x= = 4 13| | 3AB = C 2 4x y= − 1y = 12 / 17 五年高考+命题轨迹 【解析】（1）由抛物线 经过点 ，得 . 所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 . （2）抛物线 的焦点为 . 设直线 的方程为 . 由 得 . 设 ，则 . 直线 的方程为 . 令 ，得点 A 的横坐标 . 同理得点 B 的横坐标 . 设点 ，则 ， . 令 ，即 ，则 或 . 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 和 . 8. 【2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点，圆 M 是以 线段 AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； 2: 2C x py= − (2, 1)− 2p = C 2 4x y= − 1y = C (0, 1)F − l 1( 0)y kx k= − ≠ 2 1, 4 y kx x y = −  = − 2 4 4 0x kx+ − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 4x x = − OM 1 1 yy xx = 1y = − 1 1 A xx y = − 2 2 B xx y = − (0, )D n 1 2 1 2 , 1 , , 1x xDA n DB ny y    = − − − = − − −          21 2 1 2 ( 1)x xDA DB ny y ⋅ = + +  21 2 2 2 1 2 ( 1) 4 4 x x n x x = + +  − −     2 1 2 16 ( 1)nx x = + + 24 ( 1)n= − + + 0DA DB⋅ =  24 ( 1) 0n− + + = 1n = 3n = − (0,1) (0, 3)− 13 / 17 五年高考+命题轨迹 （2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程. 【答案】（1）见解析；（2）直线 的方程为 ，圆 的方程为 ，或直 线 的方程为 ，圆 的方程为 【解析】（1）设 ， . 由 可得 ，则 . 又 ，故 . 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 . 故坐标原点 在圆 上. （2）由（1）可得 . 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 . 由于圆 过点 ，因此 ，故 ， 即 ， 由（1）可得 . 所以 ，解得 或 . 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 . 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 . 9. 【 2017 年 高 考 浙 江 卷 】 如 图 ， 已 知 抛 物 线 ， 点 A ， ， 抛 物 线 上 的 点 ( )4, 2P − l 2 0x y− − = M ( ) ( )2 23 1 10x y− + − = l 2 4 0x y+ − = M 2 29 1 85 4 2 16x y   − + + =       ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y : 2l x my= + 2 2, 2 x my y x = +  = 2 2 4 0y my− − = 1 2 4y y = − 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx x= = ( )2 1 2 1 2 44 y yx x = = OA OB 1 2 1 2 4 14 y y x x −⋅ = = − OA OB⊥ O M ( ) 2 1 2 1 2 1 22 , 4 2 4y y m x x m y y m+ = + = + + = + M ( )2 2,m m+ M ( )22 22r m m= + + M ( )4, 2P − 0AP BP⋅ =  ( )( ) ( )( )1 2 1 24 4 2 2 0x x y y− − + + + = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 2 20 0x x x x y y y y− + + + + + = 1 2 1 24, 4y y x x= − = 22 1 0m m− − = 1m = 1 2m = − 1m = l 2 0x y− − = M ( )3,1 M 10 M ( ) ( )2 23 1 10x y− + − = 1 2m = − l 2 4 0x y+ − = M 9 1,4 2  −   M 85 4 M 2 29 1 85 4 2 16x y   − + + =       2x y= 1 1( )2 4 ，− 3 9( )2 4 ，B 14 / 17 五年高考+命题轨迹 ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设直线 AP 的斜率为 k， ， 因为 ， 所以直线 AP 斜率的取值范围是 ． （2）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标是 ． 因为|PA|= = ，|PQ|= ， 所以 ． 令 ，因为 ， 所以 f(k)在区间 上单调递增， 上单调递减， 因此当 k= 时， 取得最大值 ． 10. 【2017 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P(1，1).过点(0， )作直线 l 与抛物线 C 交于 1 3( , )( )2 2P x y x− < < | | | |PA PQ⋅ ( 1,1)− 27 16 2 1 14 1 2 2 x k x x − = = − + 1 3 2 2x− < < ( 1,1)− 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k  − + + =  + − − = 2 2 4 3 2( 1)Q k kx k − + += + 2 11 ( )2k x+ + 21 ( 1)k k+ + 2 2 2 ( 1)( 1)1 ( ) 1Q k kk x x k − ++ − = − + 3( 1)( 1)k kPA PQ⋅ − − += 3( ) ( 1)( 1)f k k k= − − + 2'( ) (4 2)( 1)f k k k= − − + 1( 1, )2 − 1( ,1)2 1 2 | | | |PA PQ⋅ 27 16 1 2 15 / 17 五年高考+命题轨迹 不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点. 【答案】（1）抛物线 C 的方程为 ，焦点坐标为( ，0)，准线方程为 ；（2）见解析. 【解析】（1）由抛物线 C： 过点 P(1，1)，得 . 所以抛物线 C 的方程为 . 抛物线 C 的焦点坐标为( ，0)，准线方程为 . （2）由题意，设直线 l 的方程为 （ ），l 与抛物线 C 的交点为 ， . 由 ，得 . 则 ， . 因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 . 直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 . 因为 ， 所以 . 故 A 为线段 BM 的中点. 11. 【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． 2y x= 1 4 1 4x = − 2 2y px= 1 2p = 2y x= 1 4 1 4x = − 1 2y kx= + 0k ≠ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2y kx y x  = +  = 2 24 (4 4) 1 0k x k x+ − + = 1 2 2 1 kx x k −+ = 1 2 2 1 4x x k = y x= 1 1( , )x y 2 2 yy xx = 2 1 1 2 ( , )y xx x 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y x y x y x x xy xx x + −+ − = 1 2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x x + + + − = 1 2 2 1 2 1(2 2) ( )2k x x x x x − + + = 2 2 2 1 1(2 2) 4 2 kk k k x −− × + = 0= 2 1 1 1 2 2y xy xx + = C 2 2y x= F x 1 2,l l C ,A B C P Q， 16 / 17 五年高考+命题轨迹 （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ． 【解析】：由题设 .设 ，则 ，且 . 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .....3 分 （Ⅰ）由于 在线段 上，故 . 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ， 所以 . ......5 分 （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 . 由题设可得 ，所以 （舍去）， . 设满足条件的 的中点为 . 当 与 轴不垂直时，由 可得 . 而 ，所以 . 当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . 12. 【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB 2 1y x= − )0,2 1(F bylayl == :,: 21 0≠ab )2,2 1(),,2 1(),,2 1(),,2(),0,2( 22 baRbQaPbbBaA +−−− BA, l l 0)(2 =++− abybax F AB 01 =+ ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak =−=−==− −=+ −= AR FQ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF −=−−=−= ∆∆ 22 1 2 1 1 baxab −=−− 01 =x 11 =x AB ),( yxE AB x DEAB kk = )1(1 2 ≠−=+ xx y ba yba =+ 2 )1(12 ≠−= xxy AB x E D 12 −= xy C 2 2y x= F x 1 2,l l C ,A B C P Q， F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB 17 / 17 五年高考+命题轨迹 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ． 【解析】：由题设 .设 ，则 ，且 . 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .....3 分 （Ⅰ）由于 在线段 上，故 . 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ， 所以 . ......5 分 （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 . 由题设可得 ，所以 （舍去）， . 设满足条件的 的中点为 . 当 与 轴不垂直时，由 可得 . 而 ，所以 . 当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . 2 1y x= − )0,2 1(F bylayl == :,: 21 0≠ab )2,2 1(),,2 1(),,2 1(),,2(),0,2( 22 baRbQaPbbBaA +−−− BA, l l 0)(2 =++− abybax F AB 01 =+ ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak =−=−==− −=+ −= AR FQ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF −=−−=−= ∆∆ 22 1 2 1 1 baxab −=−− 01 =x 11 =x AB ),( yxE AB x DEAB kk = )1(1 2 ≠−=+ xx y ba yba =+ 2 )1(12 ≠−= xxy AB x E D 12 −= xy