2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题32 直线和圆的方程（解析版）

1 / 5 五年高考+命题轨迹 第九章 解析几何 专题 32 直线和圆的方程 考点 1 直线的方程和两条直线的位置关系判定 1. 【2016 高考上海理数】已知平行直线 ，则 的距离___________. 【答案】 【解析】试题分析： 利用两平行线间距离公式得 . 考点 2 圆的方程与直线与圆、圆与圆的位置关系 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 11 直线与圆的位置关系 选择题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅱ卷理数 5 直线与圆位置关系 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国Ⅲ卷理数 直线与圆、点到直线的距离公式 选择题 简单 5 分 2016 高考新课标 2 理数 圆的方程、点到直线的距离公式 选择题 简单 5 分 2016 高考新课标 3 理数 直线与圆的位置关系 填空题 简单 5 分 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 11】已知⊙ ，直线 ， 为 上的动点，过点 作⊙ 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，∴直 线 与圆相离．依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ， 012:,012: 21 =++=−+ yxlyxl 21,ll 2 5 5 1 2 2 2 2 2 | c c | | 1 1| 2 5d 5a b 2 1 − − −= = = + + 2 2: 2 2 2 0M x y x y+ − − − = : 2 2 0l x y+ + = P l P M ,PA PB ,A B PM AB⋅ AB 2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + = ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = M l 2 2 2 1 1 2 5 2 2 1 d × + += = > + l , , ,A P B M AB MP⊥ 2 / 5 五年高考+命题轨迹 ∴ ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． ∴以 为直径的圆的方程为 ，即 ，两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程，故选 D． 2. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 5】若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离 为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题 意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为 ．由题意可得 ，可得 ，解得 或 ，∴ 圆心的坐标为 或 ，圆心到直线 的距离均为 ， ∴圆心到直线 的距离为 ．故选 B． 3. 【2020 年高考北京卷 5】已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知圆心在以 为圆心， 为半径的圆上，所以圆心到原点的距离的最小值为 ，故选 A． 4. 【2018 年 高 考 全 国 Ⅲ 卷 理 数 】 直 线 分 别 与 轴 ， 轴 交 于 ， 两 点 ， 点 在 圆 上，则 面积的取值范围是 A． B． 12 2 22PAMPM AB S PA AM PA⋅ = = × × × =△ 2 4PA MP= − MP l⊥ min 5MP = min 1PA = PM AB⋅ ( )1: 1 12MP y x− = − 1 1 2 2y x= + 1 1 2 2 2 2 0 y x x y  = +  + + = 1 0 x y = −  = MP ( )( ) ( )1 1 1 0x x y y− + + − = 2 2 1 0x y y+ − − = 2 1 0x y+ + = AB ( )2 ,1 032 =−− yx 5 5 5 52 5 53 5 54 ( )2,1 ( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5 1 ( )3 , 4 4 5 6 7 ( )3 , 4 1 2 23 4 1 4+ − = 2 0x y+ + = x y A B P 2 2( 2) 2x y− + = ABP△ [ ]2 6， [ ]4 8， 3 / 5 五年高考+命题轨迹 C． D． 【答案】A 【解析】 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， ,则 . 点 P 在圆 上， 圆心为（2，0），则圆心到直线的距离 . 故点 P 到直线 的距离 的范围为 ，则 . 故答案为 A. 5. 【2016 高考新课标 2 理数】圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a= （ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】圆的方程可化为 ，所以圆心坐标为 ，由点到直线的距离公式得： ，解得 ，故选 A． 6. 【2020 年高考天津卷 12】已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________． 【答案】5 【解析】 因为圆心 到直线 的距离 ，由 可得 ，解得 ． 故答案为： ． 7. 【2020 年高考浙江卷 15】设直线 ，圆 ， ，若直线 与 ， 都相切，则 ； ． 【答案】 ； 2 3 2  ， 2 2 3 2  ，  2 0x y+ + = x y A B ( ) ( )2,0 , 0, 2A B∴ − − 2 2AB =  2 2( 2) 2x y− + = ∴ 1 2 0 2 2 2 2 d + += = 2 0x y+ + = 2d 2,3 2   [ ]2 2 1 2 2,62ABPS AB d d= = ∈△ 2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + = 1 0ax y+ − = 4 3 − 3 4 − 3 2 2(x 1) (y 4) 4− + − = (1,4) 2 4 1 1 1 ad a + −= = + 4 3a = − 3 8 0x y− + = 2 2 2 ( 0)x y r r+ = > ,A B | | 6AB = r ( )0,0 3 8 0x y− + = 8 4 1 3 d = = + 2 22l r d= − 2 26 2 4r= − = 5r 5 : ( 0)l y kx b k= + > 2 2 1 : 1C x y+ = 2 2 2 :( 4) 1C x y− + = l 1C 2C k = b = 3 3 2 3 3 − 4 / 5 五年高考+命题轨迹 【解析】由题意可知直线 是圆 和圆 的公切线，∵ ，为如图所示的切线， 由对称性可知直线 必过点 ，即 ① 并且 ，② 由①②解得： ， ，故答案为： ； ． 故答案为： ． 8. 【2019 年高考浙江卷】已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆 C 相切于 点 ，则 =___________， =___________． 【答案】 ， 【解析】由题意可知 ，把 代入直线 AC 的方程得 ，此时 . 9. 【2016 高考新课标 3 理数】已知直线 ： 与圆 交于 两点，过 分别做 的垂线与 轴交于 两点，若 ，则 __________________. 【答案】4 【解析】因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，则由 ，解得 ，代入直线 的方程，得 ，所 以直线 的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯形 中， ． 考点 3 与圆相关的综合问题 1. 【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos θ，sin θ）到直线 的距 l 1C 2C 0k > l ( )2,0 2 0k b+ = 2 2 4 1 1 1 b k b k k += = + + 3 3k = 2 3 3b = − 3 3 2 3 3 − 5 C (0, )m r 2 3 0x y− + = ( 2, 1)A − − m r 2− 5 1 1: 1 ( 2)2 2ACk AC y x= − ⇒ + = − + (0, )m 2m = − | | 4 1 5r AC= = + = l 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l x ,C D 2 3AB = | |CD = | | 2 3AB = 2 3 (0,0) 3 3 0mx y m+ + − = 2 2| |( ) 32 ABR − = 2 | 3 3 | 3 1 m m − = + 3 3m = − l 3 2 33y x= + l 30° ABDC | || | 4cos30 ABCD = =° 2 0x my− − = 5 / 5 五年高考+命题轨迹 离，当 θ，m 变化时，d 的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 P 为单位圆上一点，而直线 过点 A（2，0），所以 d 的最大值 为 OA+1=2+1=3,故选 C. 2 2cos sin 1θ θ+ = ∴ ， 2 0x my− − =