2020年四川省乐山市中考数学试题(含答案)

1 2020 年四川省乐山市中考 数学试卷(含答案) 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共 8 页．考生作答时，须将答案答在 答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后， 将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 注意事项： 1．选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分． 1. 2 1 的倒数是 )A( 2 1 )B( 2 1 )C( 2 )D( 2 2.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了 部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、 “优”划分为四个等级，并绘制成如图 1 所示的条形统计图.若该校学生共有 2000 人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 )A( 1100 )B( 1000 )C( 900 )D( 110 3.如图 2， E 是直线CA 上一点，  40FEA ，射线 EB 平分 CEF ， EFGE  . 则 GEB )A( 10 )B( 20 )C( 30 )D( 40 4. 数轴上点 A 表示的数是 3 ，将点 A 在数轴上平移 7 个单位长度得到点 B .则点 B 表示的数是 )(A 4 )(B 4 或10 )(C 10 )(D 4 或 10 2 5.如图 3，在菱形 ABCD 中， 4AB ，  120BAD ，O 是对角线 BD 的中点，过点O 作 CDOE  于点 E ，连结OA .则四边形 AOED 的周长为 )(A 329  )(B 39  )(C 327  )(D 8 6.直线 bkxy  在平面直角坐标系中的位置如图 4 所示，则不等式 2 bkx 的解集是 )A( 2x )B( 4x )C( 2x )D( 4x 7.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对 角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 )A( )B( )C( )D( 8. 已知 43 m ， 23 42  nm .若 xn 9 ，则 x 的值为 )A( 8 )B( 4 )C( 22 )D( 2 9. 在 ABC 中，已知  90ABC ，  30BAC ， 1BC .如图 5 所示，将 ABC 绕点 A 按逆 时针方向旋转 90 后得到 ''CAB .则图中阴影部分面积为 )A( 4  )B( 2 3 )C( 4 3 )D(  2 3 10. 如图 6，在平面直角坐标系中，直线 xy  与双曲线 x ky  交于 A 、B 两点，P 是以点 )2,2(C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结 AP ，Q 为 AP 的中点.若线段OQ 长度的最大值为 2 ， 则 k 的值为 )A( 2 1 )B( 2 3 )C( 2 )D( 4 1 3 第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分） 注意事项 1．考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无 效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用 0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共 16 个小题，共 120 分． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． 11. 用“  ”或“  ”符号填空： 7 ▲ 9 . 12. 某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分 40 分）依次为 37，40，39，37，40，38，40.则这 组数据的中位数是 ▲ . 13. 图 7 是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 AB 的倾斜角为 30 ，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60 ， A 、C 之间的距离为 4 m . 则自动扶梯的垂直高度 BD = ▲ m .（结果保留根号） 14.已知 0y ，且 043 22  yxyx .则 y x 的值是 ▲ . 15.把两个含 30 角的直角三角板按如图 8 所示拼接在一起，点 E 为 AD 的中点，连结 BE 交 AC 于 点 F .则 AC AF = ▲ . 16.我们用符号 x 表示不大于 x 的最大整数.例如：  15.1  ，  25.1  .那么： （1）当   21  x 时， x 的取值范围是 ▲ ； （2）当 21  x 时，函数   322  xaxy 的图象始终在函数   3 xy 的图象下方.则实数 a 的范围是 ▲ . 4 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分. 17. 计算： 0)2020(60cos22   . 18. 解二元一次方程组：      .938 ,22 yx yx 19. 如图 9，E 是矩形 ABCD 的边CB 上的一点， DEAF  于点 F ， 3AB ， 2AD ， 1CE . 求 DF 的长度. 5 四、本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分． 20. 已知 xy 2 ，且 yx  ，求 22 2 )11( yx yx yxyx  的值. 21.如图 10，已知点 )22(  ，A 在双曲线 x ky  上，过点 A 的直线与双曲线的另一支交于点 )1( aB ， . （1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 B 作 xBC  轴于点C ，连结 AC ，过点C 作 ABCD  于点 D .求线段CD 的长. 22. 自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情.然而，全球新冠 肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈. 图 11 是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图. 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 ▲ 万人，扇形统计图中 40-59 岁感 染人数对应圆心角的度数为 ▲ º ； （2）补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的概 率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 %1 、 %75.2 、 %5.3 、 %10 、 %20 ，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率. 6 五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分. 23. 某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车 型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿 车 4 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多少 元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往.在 不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 24. 如图 12.1，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是 上一点， ABDE  于点 E ，交 AC 于点 F ，连结 BD 交 AC 于点G ，且 FGAF  . （1）求证：点 D 平分 ； （2）如图 12.2 所示，延长 BA 至点 H ，使 AOAH  ，连结 DH . 若点 E 是线段 AO 的中点. 求证： DH 是⊙O 的切线. 7 六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25. 点 P 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A 、C 重合），分 别过点 A 、C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E 、 F .点 O 为 AC 的中点. （1）如图 13.1，当点 P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 ▲ ； （2）当点 P 运动到如图 13.2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是 否仍然成立？ （3）如图 13.3，点 P 在线段OA 的延长线上运动，当  30OEF 时，试探究线段CF 、 AE 、 OE 之间的关系. 26. 已知抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴交于 )01( ，A ， )05( ，B 两点，C 为抛物线的顶点，抛 物线的对称轴交 x 轴于点 D ，连结 BC ，且 3 4tan CBD ，如图 14 所示. （1）求抛物线的解析式； （2）设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点. ①过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E ，过点 E 作 PEEF  交抛物线于点 F ，连结 FB 、 FC ，求 BCF 的面积的最大值； ②连结 PB ，求 PBPC  5 3 的最小值. 8 乐山市 2020 年初中学业水平考试 数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 （D） （A） （B） （D） （B） （C） （D） （C） （B） （A） 第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分. 11.  12.39 13. 32 14. 14 或 15. 5 3 16. 20  x ， 2 31  aa 或 注：第 14 题填对 1 个得 1 分，填对 2 个得 3 分，凡有错均不得分；第 16 题第（1）问 1 分，第 （2）问 2 分. 三、本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分. 17．解：原式 = 12 122  …………………………………6 分 = 2 . ………………………………9 分 18．解法 1：②-① 3 ，得 32 x ， ………………………2 分 解得 2 3x ， ……………………………4 分 把 2 3x 代入①，得 1y ；………………………7 分 ∴原方程组的解为      .1 2 3 y x ， ……………………9 分 解法 2：由②得： 9)2(32  yxx ， ………………………2 分 把①代入上式，解得 2 3x ，……………………………4 分 把 2 3x 代入①，得 1y ；………………………7 分 ∴原方程组的解为      .1 2 3 y x ， ……………………9 分 19．解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ 3 ABDC ，  90CADC ， ………………2 分 ∵ 1CE ， 9 ∴ 1013 22 DE ， ………………………………3 分 ∵ DEAF  ，  90EDCADF ，  90DAFADF ， ∴ DAFEDC  ， ………………………………4 分 ∴ EDC ∽ DAF ， ………………………………6 分 ∴ DF EC AD DE  ，即 DF 1 2 10  ， …………………………8 分 解得 5 10DF ，即 DF 的长度为 5 10 . ………………9 分 四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分. 20.解法 1：原式= 22 2 ))(( 2 yx yx yxyx x  ……………………2 分 = yx yx yx x 2 22 22 2  ……………………4 分 = xy 2 ， …………………6 分 ∵ xy 2 ，∴原式= 12 2   xx .……………………10 分 解法 2：同解法 1，得原式= xy 2 ， …………………6 分 ∵ xy 2 ，∴ 2xy ， ………………8 分 ∴原式= 2 2 =1. ……………………………10 分 21. 解：（1）将点 )22(  ，A 代入 x ky  ，得 4k ，即 xy 4 ，……1 分 将 )1( aB ， 代入 xy 4 ，得 4a ，即 )41( ，B ，……………2 分 设直线 AB 的解析式为 nmxy  ， 将 )22(  ，A 、 )41( ，B 代入 bkxy  ，得      .4 22 nm nm ， ，解得      .2 2 n m ， ………………………4 分 ∴直线 AB 的解析式为 22  xy . ………………………5 分 （2）解法 1：∵ )22(  ，A 、 )41( ，B ， 10 ∴ 53)42()12( 22 AB ，………………………8 分 ∵ 32 1 2 1  BCCDABS ABC ， ∴ 5 54 53 343  AB BCCD . ……………………10 分 解法 2：设 AB 与 x 轴交于点 E ，如图 1. 将点 0y 代入 22  xy ，得 1x ， ∴ )01( ，E ， …………………………………6 分 ∴ 522  BEEC ， ， ………………………………8 分 易知 CDE ～ BCE ， ∴ BE EC BC CD  ，即 52 2 4 CD ， 图 1 ∴ 5 54CD . …………………………………10 分 解法 3：设 AB 与 x 轴交于点 E ，如图 1. 将点 0y 代入 22  xy ，得 1x ， ∴ )01( ，E ， …………………………………6 分 ∴ 52,2  BEEC ， ……………………………8 分 在 BECRt 和 CEDRt 中， 由 EC CD BE BCBEC sin ，得 252 4 CD ， ∴ 5 54CD . ………………………………10 分 22.解：（1） 20 ， 72 ；……………………4 分 （2）补全的折线统计图如图 2 所示； …………6 分 11 （3）该患者年龄为 60 岁及以上的概率为： %5.67%10020 5.49  ； …………………8 分 （4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为： %10%10020 %205.4%109%5.34%75.22%15.0  .………10 分 五、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分. 23.解：（1）设租用一辆轿车的租金为 x 元. 由题意得： 132032300  x . …………………1 分 解得 240x ， …………………2 分 答：租用一辆轿车的租金为 240 元. ……………………3 分 （2）方法 1：①若只租用商务车，∵ 3 256 34  ， ∴只租用商务车应租 6 辆，所付租金为 18006300  （元）；………4 分 ②若只租用轿车，∵ 5.84 34  ， ∴只租用轿车应租 9 辆，所付租金为 21609240  （元）； ………5 分 ③若混和租用两种车，设租用商务车 m 辆，租用轿车 n 辆，租金为W 元. 由题意，得      nmW nm 240300 3446 ……………………6 分 由 3446  nm ，得 3464  mn ， ∴ 204060)346(60300  mmmW ，……………………8 分 ∵ 04346  nm ，∴ 3 17m ， ∴ 51  m ，且 m 为整数， ∵W 随 m 的增大而减小， ∴当 5m 时，W 有最小值1740 ，此时 1n ，……………………9 分 综上，租用商务车5 辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740 元.……10 分 方法 2：设租用商务车 m 辆，租用轿车 n 辆，租金为W 元. 由题意，得      nmW nm 240300 3446 ……………………6 分 由 3446  nm ，得 03464  mn ，∴ 3 17m ， ∵ m 为整数，∴ m 只能取 0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 12 不租商务车，则需租 9 辆轿车，所需租金为 21602409  （元）； 租 1 商务车，则需租 7 辆轿车，所需租金为 198024073001  （元）； 租 2 商务车，则需租 6 辆轿车，所需租金为 204024063002  （元）； 租 3 商务车，则需租 4 辆轿车，所需租金为 186024043003  （元）； 租 4 商务车，则需租 3 辆轿车，所需租金为 192024033004  （元）； 租 5 商务车，则需租 1 辆轿车，所需租金为 174024013005  （元）； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车5 辆和轿车1辆， 此时所付租金最少，为1740 元. ………………10 分 24. 证明：（1）连接 AD 、 BC ，如图 3 所示， ∵ AB 是半圆O 的直径，∴  90ADB ， ………………1 分 ∵ ABDE  ，∴ ABDADE  ， ………………2 分 又∵ FGAF  ，即点 F 是 AGDRt 的斜边 AG 的中点， ∴ AFDF  ，∴ ABDADFDAF  ，……3 分 又∵ DBCDAC  ，（同弧所对的圆周角相等） ∴ DBCABD  ， ………………4 分 ∴ ，即点 D 平分 ； ………………5 分 （2）如图 4 所示，连接OD 、 AD ， ∵点 E 是线段OA 的中点， ∴ ODOAOE 2 1 2 1  ， ………………6 分 ∴  60AOD ，∴ OAD 是等边三角形， ……7 分 ∴ AHAOAD  ， ………………8 分 ∴ ODH 是直角三角形，且  90HDO ， ……………9 分 ∴ DH 是⊙O 的切线. ……………………10 分 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分 25.解：（1） OFOE  ； ……………………………………2 分 （2）补全图形如右图 5 所示，……………………………………3 分 OFOE  仍然成立. ……………………4 分 证明如下： 延长 EO 交CF 于点G ， ∵ BPCFBPAE  ， ，∴ CFAE // ， 13 ∴ GCOEAO  ， ∵点O 为 AC 的中点，∴ COAO  ， 又∵ COGAOE  ，∴ COGAOE  ， ……………………6 分 ∴ OGOE  ， ∵  90GFE ，∴ OFOE  ， ……………………………………7 分 （3）当点 P 在线段OA 的延长线上时， 线段CF 、 AE 、OE 之间的关系为 AECFOE  . …………8 分 证明如下： 延长 EO 交 FC 的延长线于点 H ，如图 6 所示， 由（2） 可知 COHAOE  ，………………9 分 ∴ CHAE  ， OHOE  ， ……………10 分 又∵  30OEF ，  90HFE ， ∴ OEEHHF  2 1 ， ∴ AECFCHCFOE  . ………………12 分 26.解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为： )5)(1(  xxay ， ……1 分 ∵CD 是抛物线的对称轴，∴ )02( ，D ， 又∵ 3 4tan CBD ，∴ 4tan  CBDBDCD ，即 )42( ，C ， …2 分 代入抛物线的解析式，得 )52)(12(4  a ，解得 9 4a ， …………3 分 ∴二次函数的解析式为 )5)(1(9 4  xxy 或 9 20 9 16 9 4 2  xxy ；…4 分 （2）①设 )2( tP ， ，其中 40  t ，直线 BC 的解析式为 bkxy  ， ∴      .24 50 bk bk ， 解得        .3 20 3 4 b k ， 即直线 BC 的解析式为 3 20 3 4  xy ， ……………………5 分 令 ty  ，得： tx 4 35 ，即 )4 35( ttE ， ， 把 tx 4 35 代入 )5)(1(9 4  xxy ，得 )42( tty  ， 14 即 )4 124 35( 2tttF  ， ， ……………………6 分 ∴ 4)4 12( 2 2 tttttEF  ， ……………………7 分 ∴ BCF 的面积 )4(2 3 2 1 2ttBDEFS  2 3)2(8 3)4(8 3 22  ttt ， ……………………8 分 ∴当 2t 时， BCF 的面积最大，且最大值为 2 3 ； ……………………9 分 ②如图 6，连接 AC ，根据图形的对称性可知 BCDACD  ， 5 BCAC ， ∴ 5 3sin  AC ADACD ， ……………………10 分 过点 P 作 ACPG  于G ，则在 PCGRt 中， PCACDPCPG 5 3sin  ， ∴ PBPGPBPC  5 3 ， …………………11 分 再过点 B 作 ACBH  于点 H ，则 BHPHPG  ， ∴线段 BH 的长就是 PBPC  5 3 的最小值，…………12 分 ∵ 12462 1 2 1  CDABS ABC ， 又∵ BHBHACS ABC 2 5 2 1  ， ∴ 122 5 BH ，即 5 24BH ， ∴ PBPC  5 3 的最小值为 5 24 . ………………13 分