理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分．考试时间 120 分
钟．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合要求．
1．已知集合 A＝{x｜ }，B＝{ }，则 A∩B＝.
A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜0≤x＜2}
C. {x｜2＜x＜3} D. {x｜2＜x≤3}
2．若复数 的共轭复数满足 ,则 .
A. B. C. D.
3．下列有关命题的说法错误的是.
A. 若“ ”为假命题，则 、 均为假命题；
B. 若 是两个不同平面， , ，则 ；
C. “ ”的必要不充分条件是“ ”；
D. 若命题 p： ，则命题： ；
4．已知某离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
则 X 的数学期望 .
A． B．1 C． D．2
5．已知向量 、 均为非零向量， 则 、 的夹角为.
A． B． C． D．
lg(2 )y x= − 2| 3 0x x x− ≤
8
27
4
9 m 1
27
( )E X =
2
3
3
2
z ( )1 1 2i Z i− = − + | |Z =
2
2
3
2
10
2
1
2
p q∨ p q
α β、 m α⊥ m β⊂ α β⊥
1sin = 2x = 6x
π
2
00 , 0x R x∃ ∈ ≥ 2: , 0P x R x¬ ∀ ∈ < a b a b 6 π 3 π 3 2π 6 5π
6．若 ，则 的值为.
A. B. C. D.
7．若直线 截得圆 的弦长为 2，则
的最小值为.
A. 4 B. 12 C. 16 D. 6
8．设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，
则 =.
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知定义在 R 上的偶函数 对任意
都有 ，当 取最小值时， 的值为.
A.1 B. C. D.
10．在如图直二面角 ABDC 中，△ABD、△CBD 均是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，取
AD 的中点 E，将△ABE 沿 BE 翻折到△A1BE，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.
A．BC 与平面 A1BE 内某直线平行
B．CD∥平面 A1BE
C．BC 与平面 A1BE 内某直线垂直
D．BC⊥A1B
11．定义 为 个正数 的“均倒数”，若已知正整数数列
的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 .
1cos =8 6
π α −
3cos 24
π α +
17
18
17
18
− 18
19
18
19
−
( )m n +2=0 m>0 n>0x y+ 、 ( ) ( )2 23 1 =1x y+ + +
1 3
m n
+
2
3
FM FN⋅
( )( ) 3sin( ) cos( ) (0, ), 0f x x xω ϕ ω ϕ ϕ π ω= + − + ∈ >
x∈R ( ) 02f x f x
π + + =
ω
6f
π
3 1
2
3
2
1 2 n
n
p p p+ +⋅⋅⋅+ n 1 2 np p p⋅⋅⋅、 、 、
{ }na
n 1
2 1n +
1= 4
n
n
ab
+
1 2 2 3 10 11
1 1 1 =b b b b b b
+ +⋅⋅⋅+
A. B. C. D.
12．已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是.
A. B. C. D.
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13．设 满足约束条件 ，则 的最大值为 ；
14．若 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 的系数为 ；
15．已知点 P 在双曲线 上， 轴(其中 为双曲线的右
焦点)，点 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 ，则该双曲线的离心率为 ；
16 ． 已 知 三 棱 锥 的 所 有 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 ， ，
，
∠BAC=120。
，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为 ；
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
如图，在 中，角 所对的边分别为 ，
；
（1）证明： 为等腰三角形；
（2）若 为 边上的点， ，且∠ADB =2∠ACD，
，求 的值．
1
11
1
12
10
11
11
12
( ) 2
x mf x xe mx= − + (0, )+∞ m
(0, )e (0,2 )e ( , )e +∞ (2 , )e +∞
,x y
1
2
3 14
y
x y
x y
≥ −
− ≥
+ ≤
4z x y= +
3( )nxx
− x
( )2 2
2 2 =1 0x y a ba b
− > >0, PF x⊥ F
P 1
3
P ABC− O PA ABC⊥ 平面
= =2AB AC
P ABC− 2 3
3 O
ABC△ 、 、A B C a b c、 、
2 sin cos sin 2 sinb C A a A c B+ =
ABC△
D BC 2BD DC=
3a = b
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同的 两点，试问在 轴上是否存在定点
，使得直线 与直线 恰好关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
说明理由．
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求 的值；
（3）若不等式 对任意正实数 恒成立，求正整数 的取值集合．
21. （本小题满分 12 分）
某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动
了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮
驱动的理想结构快速转变．下表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数 （万人）与年
份 的数据：
第 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
P ABCD− ABCD //BC AD 2 2 2,AD AB BC= = =
90 ,BAD PAD∠ = ° ∆ ABCD ⊥ PAD E M、 PD PC、
//CE PAB
DM ABM
( )2 2
2 2: =1 0x yC a ba b
+ > > 3
2
31, 2
−
C
( )3,0 l C A B、 x
Q QA QB x Q
( ) ln 2f x x x= − −
( )y f x= 1x =
( )f x ( , 1)( )k k k+ ∈N k
( )( 1) ( )x m x f xx
− − > x m
y
x
x
y
（万人）
该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了 与 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得 与 的线性回归方程
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程 ．
（ 精确到个位， 精确到 0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 ，并选择拟
合精度更高、更可靠的模型，预测 2021 年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 ① ②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘
法估计分别为 , ．
②刻画回归效果的相关指数
③参考数据： ， ．
5．5 449 6．05 83 4195 9．00
表中 ．
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题
目计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分）
y x
y x
bxy ae=
a b
2R
50.8 169.7y x= + bxy ae=
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nv w v w v w
5.46 235e ≈ 1.43 4.2e ≈
x y u
10
2
1
( )i
i
x x
=
−∑ ( )( )10
1
i i
i
x x y y
=
− −∑ ( )( )10
1
i i
i
x x u u
=
− −∑
10
1
1ln , 10i i i
i
u y u u
=
= = ∑
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），已知点 ，
点 是曲线 上任意一点，点 为 的中点，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求点 的轨迹 的极坐标方程；
（2）已知直线 ： 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分）
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，且对任意 ， 恒成立，求 的最小值．
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合要求．
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xOy 1C 2cos ,
2sin ,
x
y
θ
θ
=
=
θ (4,0)Q
P 1C M PQ x
M 2C
l y kx=
2C ,A B 3OA AB = k
( ) 1 2 1f x ax x= + + −
1a = ( ) 3f x >
0 2a< < x∈R 3( ) 2f x a ≥ a
号
答
案
B C C B B A D D A D C D
12、已知函数 （ 为自然对数的底数）在 上有两个零点，
则 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】
由 得 ，
当 时，方程不成立，即 ，
则 ， 设 （ 且 ），
则 ，
∵ 且 ，∴由 得 ，
当 时， ，函数为增函数，
当 且 时， ，函数为减函数，
则当 时函数取得极小值，极小值为 ，
当 时， ，且单调递减，作出函数 的图象如图：
故：要使 有两个不同的根，则 即可，
即实数 的取值范围是 .
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
( ) 2
x mf x xe mx= − + e (0, )+∞
m
(0, )e (0,2 )e ( , )e +∞ (2 , )e +∞
( ) 02
x mf x xe mx= − + = 1( )2 2
x mxe mx m x= − = −
1
2x = 1
2x ≠
1
2
xxem
x
=
−
( ) 1
2
xxeh x
x
=
− 0x > 1
2x ≠
( ) 2
2 2
1 1 1' 2 2 2'( )
1 1
2 2
x x xxe x xe e x x
h x
x x
− − − − = =
− −
2
1 ( 1)(2 1)2
1
2
xe x x
x
− +
=
−
0x > 1
2x ≠ '( ) 0h x = 1x =
1x > '( ) 0h x >
0 1x< < 1 2x ≠ '( ) 0h x < 1x = (1) 2h e= 10 2x< < ( ) 0h x < ( )h x 1 2 xxem x = − 2m e>
m (2 , )e +∞
13． 19 ； 14． 15 ； 15． ； 16． ；
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
如图，在 中，角 所对的边分别为 ，
；
（1）证明： 为等腰三角形；
（2）若 为 边上的点， ，且 ， ，求 的值．
【详解】（1） ，由正弦定理得：
………..2 分
由余弦定理得：
； ………..4 分
化简得： ,
所以 即
， ………..5 分
故 为等腰三角
形． ………..6 分
（2）如图，
由已知得 ， ，
，
， …
……..8 分
2 3
3 20π
ABC△ 、 、A B C a b c、 、
2 sin cos sin 2 sinb C A a A c B+ =
ABC△
D BC 2BD DC= 2ADB ACD∠ = ∠ 3a = b
2 sin cos sin 2 sinb C A a A c B+ =
22 cos 2bc A a cb+ =
2 2 2
22 22
b c abc a bcbc
+ −⋅ + =
2 2 2b c bc+ =
( )2 0b c− =
b c=
ABC
2BD = 1DC =
2 ,ADB ACD ACD DAC∠ = ∠ = ∠ + ∠
ACD DAC∴∠ = ∠
1AD CD∴ = =
又 ，
， …
……..10 分
即 ，
得 ，由（1）可知 ，得
． ………..12 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点
分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）设 的中点为 ，连接 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，
则可得 ，且
； ………..2 分
在梯形 中， ，且 ，
，
所以四边形 是平行四边
形， ………..4 分
，又 平面 ， 平面 ，
平面
． ………..6 分
cos cosADB ADC∠ = − ∠
2 2 2 2 2 2
2 2
AD BD AB AD CD AC
AD BD AD CD
+ − + −∴ = −⋅ ⋅
2 2 2 2 2 21 2 1 1
2 2 1 2 1 1
c b+ − + −= −× × × ×
2 22 9b c+ = b c=
3b =
P ABCD− ABCD //BC AD 2 2 2,AD AB BC= = =
90 ,BAD PAD∠ = ° ∆ ABCD ⊥ PAD
E M、 PD PC、
//CE PAB
DM ABM
PA N ,EN BN
E PD EN PAD△
//EN AD
1
2EN AD=
ABCD //BC AD 1
2BC AD=
// ,BC EN BC EN∴ =
ENBC
//CE BN∴ BN ⊂ PAB CE ⊄ PAB
//CE∴
PAB
法二：设 为 的中点，连接 ，
为 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面
， ………..2 分
又在梯形 中， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面
， ………..4 分
又 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
平面
． ………..6 分
（2）设 的中点为 ，又 ．
因 平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
平面 ，
为
O AD ,CO OE
E PD
OE ADP△ //OE AP
OE ⊄ PAB AP ⊂ PAB
//OE∴
PAB
ABCD //BC AD 1
2BC AD=
BAOC
//BC BA∴
OC ⊄ PAB AB Ì PAB
//OC∴
PAB
OE OC O∩ =
//OEC PAB
CE ⊂ PAB
//CE∴
PAB
AD O ,PA PD PO AD= ∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD AD PO ⊂ PAD
PO∴ ⊥ ABCD
又由 ， ，
．
即有 两两垂直，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建
立坐标系．
………..7 分
已知点
， ……..
8 分
设平面 的法向量为： ．
则有 ，可得平面 的一个法向量为 ，
， …
……..10 分
可得：
， ……….
.11 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
． ………..12 分
//CO BA 90BAD∠ = °
CO AD∴ ⊥
, ,OA OC OP O OA x OP y OC z
( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 11,0,0 , 1,0,1 , 0, , , 1,0,0 , 0,0,1 , 1, ,2 2 2 2A B M D AB AM
− = = −
ABM ( ), ,m x y z=
0
3 1 02 2
m AB z
m AM x y z
⋅ = =
⋅ = − + + =
ABM ( )3,2,0m =
3 11, ,2 2DM
=
( ) 2 22 2 2 2
3 13 1 2 0 422 2cos , 73 13 2 0 1 2 2
m DMm DM
m DM
× + × + ×⋅= = =
⋅ + + ⋅ + +
DM ABM
42
7
19. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同的 两点，试问在 轴上是否存在定点
，使得直线 与直线 恰好关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
说明理由．
【 详 解 】 （ Ⅰ ） 由 题 意 可 得 ， ， 又 a2 ﹣ b2 ＝
c2， ………..2 分
解得 a2＝4，b2＝1，．
所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为
． ………..4 分
（Ⅱ）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，
设直线 l 的方程为 x+my﹣ ＝0，与椭圆联立可得 ．
设 A（x1，y1），B（x2，y2），假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0）．
y1+ y 2 ＝ ， y 1 y 2 ＝
． ………..6 分
∵ PN 与 QN 关 于 x 轴 对 称 ， ∴ kAQ+kQB ＝
0， ………..7 分
即 ⇒y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，
⇒ ，
⇒ ，
⇒ ⇒t ＝
( )2 2
2 2: =1 0x yC a ba b
+ > > 3
2
31, 2
−
C
( )3,0 l C A B、 x
Q QA QB x Q
． ………..9 分
∴ 在 x 轴 上 存 在 定 点 Q （ ， 0 ）．使 得 直 线 QA 与 直 线 QB 恰 关 于 x 轴 对
称． ………..10 分
特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（ ，0）．也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对
称． …..11 分
综 上 ， 在 x 轴 上 存 在 定 点 Q （ ， 0 ）．使 得 直 线 QA 与 直 线 QB 恰 关 于 x 轴 对
称． ………..12 分
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求 的值；
（3）若不等式 对任意正实数 恒成立，求正整数 的取值集合．
【详解】（1） ，所以切线斜率为 ，
又 ，切点为 ，所以切线方程为 ． -------------2
分
（2）令 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以 的极小值为 ，又 ，
所以 在区间 上存在一个零点 ，此时 ；
因为 ， ，
所 以 在 区 间 上 存 在 一 个 零 点 ， 此 时 ． 综 上 ， 的 值 为 0 或
3． -------------6 分
（3）当 时，不等式为 ．显然恒成立，此时 ；
当 时，不等式 可化为 ， ------------7
分
( ) ln 2f x x x= − −
( )y f x= 1x =
( )f x ( , 1)( )k k k+ ∈N k
( )( 1) ( )x m x f xx
− − > x m
1( ) 1f x x
′ = − (1) 0f ′ =
(1) 1f = − (1, 1)− 1y = −
1( ) 1 0f x x
′ = − = 1x =
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (1) 1 0f = − < 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ln 2 0e e e ef = − − = >
( )f x (0,1) 1x 0k =
(3) 3 ln3 2 1 ln3 0f = − − = − < (4) 4 ln 4 2 2 2ln 2 2(1 ln 2) 0f = − − = − = − >
( )f x (3,4) 2x 3k = k
1x = (1) 1 0g = > m∈R
0 1x< < ( )( 1) ( )x m x f xx − − > ln
1
x x xm x
+> −
令 ，则 ，
由（2）可知，函数 在 上单调递减，且存在一个零点 ，
此时 ，即
所以当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减．
所 以 有 极 大 值 即 最 大 值 ， 于 是
． ------------9 分
当 时，不等式 可化为 ，
由（2）可知，函数 在 上单调递增，且存在一个零点 ，同理可得 ．
综上可知 ．
又因为 ，所以正整数 的取值集合为 ． ------------12
分
21. （本小题满分 12 分）
某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动
了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮
驱动的理想结构快速转变．下表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数 （万人）与年
份 的数据：
第 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数
（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了 与 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得 与 的线性回归方程 ；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程 ．
（ 精确到个位， 精确到 0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的
ln( ) 1
x x xg x x
+= − 2 2
ln 2 ( )( ) ( 1) ( 1)
x x f xg x x x
− −′ = =− −
( )f x (0,1) 1x
1 1 1( ) ln 2 0f x x x= − − = 1 1ln 2x x= −
10 x x< < ( ) 0f x > ( ) 0g x′ > ( )g x
1 1x x< < ( ) 0f x < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )g x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ( 2)( ) 1 1 x x x x x xg x xx x + − += = =− − 1m x>
1x > ( )( 1) ( )x m x f xx
− − > ln
1
x x xm x
+< − ( )f x (3,4) 2x 2m x< 1 2x m x< < 1 2(0,1), (3,4)x x∈ ∈ m {1,2,3} y x x y y x y x 50.8 169.7y x= + bxy ae= bxy ae= a b 2R
模型，预测 2021 年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 ① ②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小
二乘法估计分别为 ．
②刻画回归效果的相关指数 ．
③参考数据： ， ．
5．5 449 6．05 83 4195 9．00
表中 ．
解 ： （ 1 ） 对 取 对 数 ， 得
， ……1 分
设 ， ，先建立 关于 的线性回归方程。
， …
…3 分
……5 分 ……6 分
模 型 ② 的 回 归 方 程 为
。 ……7 分
（ 2 ） 由 表 格 中 的 数 据 ， 有 30407>14607 ， 即
50.8 169.7y x= + bxy ae=
10
2
1
( )i i
i
y y
=
−∑
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nv w v w v w w vα β= +
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
w w v v
w v
v v
β α β=
=
− −
= = −
−
∑
∑
2
2 1
2
1
( )
1
( )
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
=
=
−
= −
−
∑
∑
5.46 235e ≈ 1.43 4.2e ≈
x y u
10
2
1
( )i
i
x x
=
−∑ ( )( )10
1
i i
i
x x y y
=
− −∑ ( )( )10
1
i i
i
x x u u
=
− −∑
10
1
1ln , 10i i i
i
u y u u
=
= = ∑
bxy ae=
ln lny bx a= +
lnu y= lnc a= u x
( )( )
( )
10
1
10 2
1
9.00 0.10883
i i
i
i
i
x x u u
b
x x
=
=
− −
= = ≈
−
∑
∑
6.05 0.108 5.5 5.456 5.46c u bx= − ≈ − × = ≈
5.46 235ca e e= ≈ ≈
∴
0.11235 xy e=
， ……9 分
即 ，
……10 分
模 型 ① 的 相 关 指 数 小 于 模 型 ② 的 ， 说 明 回 归 模 型 ② 的 拟 合 效 果 更
好。 ……11 分
2021 年 时 ， ， 预 测 旅 游 人 数 为 （ 万
人） ……12 分
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题
目计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），已知点 ，
点 是曲线 上任意一点，点 为 的中点，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求点 的轨迹 的极坐标方程；
（2）已知直线 ： 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
【详解】（1）设 ， .且点 ，由点 为 的中点，
所以
……3 分
整理得 .即 ，
化为极坐标方程为
. ……5 分
10 10
2 2
1 1
30407 14607
( ) ( )i i
i i
y y y y
= =
>
− −∑ ∑
10 10
2 2
1 1
30407 146071 1
( ) ( )i i
i i
y y y y
= =
− < − − −∑ ∑ 2 2 1 2R R< 2 1R 2 2R 13x = 0.11 13 1.43235 235 235 4.2 987y e e×= = ≈ × = xOy 1C 2cos , 2sin , x y θ θ = = θ (4,0)Q P 1C M PQ x M 2C l y kx= 2C ,A B 3OA AB = k ( )2cos ,2sinP θ θ ( ),M x y ( )4,0Q M PQ 2cos 4 2 ,2 2sin ,2 x cos y sin θ θ θ θ + = = + = = ( )2 22 1x y− + = 2 2 4 3 0x y x+ − + = 2 4 cos 3 0ρ ρ θ− + =
（2）设直线 ： 的极坐标方程为 .设 ， ，
因为 ，所以 ，即
. ……6 分
联立 整理得
. ……7 分
则 解得
. ……9 分
所以 ，则
. ……10 分
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分）
已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，且对任意 ， 恒成立，求 的最小值．
【详解】（1）当 时， ，即
， ……3 分
解法一：作函数 的图象，它与直线 的交点为 ，
l y kx= θ α= ( )1,A ρ α ( )2,B ρ α
3OA AB= 4 3OA OB=
1 24 3ρ ρ=
2 4 3 0,
,
cosρ ρ θ
θ α
− + =
=
2 4cos 3 0ρ α ρ− ⋅ + =
1 2
1 2
1 2
4 ,
3,
4 3 ,
cosρ ρ α
ρ ρ
ρ ρ
+ =
=
=
7cos 8
α =
2 2
2
1 15tan 1cos 49k α α= = − =
15
7k = ±
( ) 1 2 1f x ax x= + + −
1a = ( ) 3f x >
0 2a< < x∈R 3( ) 2f x a ≥ a 1a = ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 3 , 1 12, 1 2 13 , 2 x x f x x x x x − < − = − + − ≤ ≤ >
( ) 1 2 1f x x x= + + − 3y = ( ) ( )1,3 , 1,3A B−
……4 分
所以， 的解集的解集为
． ……5 分
解法 2：原不等式 等价于 或 或
， ……3 分
解得： 或无解或 ，
所以， 的解集为
． ……5 分
（2）
． …
…6 分
则
……7 分
( ) 3f x >
( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
( ) 3f x > 1
3 3
x
x
< − − >
11 2
2 3
x
x
− ≤ ≤
− + >
1
2
3 3
x
x
>
>
1x < − 1x >
( ) 3f x >
( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
1 10 2, , 2 0, 2 02a a aa
< < ∴− + −
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递
增．
所以当 时， 取得最小值，
． ……8 分
因为对 ， 恒成立，
所以
． …
…9 分
又因 ，
所以 ，解得 （ 不合题意）．
所以 的最小值为
1． ……10 分
为
( )f x 1, a
−∞ −
1 1, 2a
−
1 ,2
+∞
1
2x = ( )f x
( )min
1 12 2
af x f = = +
x R∀ ∈ ( ) 3
2f x a
≥
( )min
31 2 2
af x a
= + ≥
0a >
2 2 3 0a a+ − ≥ 1a ≥ 3a ≤ −
a
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