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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第Ⅰ卷 1
至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题
卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号．
2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式：
·如果事件 与事件 互斥，那么 ．
·如果事件 与事件 相互独立，那么 ．
·球的表面积公式 ，其中 表示球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 的图象大致为（ ）
A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B= +
A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B=
24S Rπ= R
{ 3, 2, 1,0,1,2,3}U = − − − { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B= − = − ( )UA B =∩
{ 3,3}− {0,2} { 1,1}− { 3, 2, 1,1,3}− − −
a∈R 1a > 2a a>
2
4
1
xy x
= +
A． B．
C． D．
4．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为 9 组：
，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间 内的个数为（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
5．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若
的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
mm
[5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49]
[5.43,5.47)
2 3
12π 24π 36π 144π
0.8
0.7
0.7
13 , , log 0.83a b c
− = = = , ,a b c
a b c< < b a c< < b c a< < c a b< < C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C
l l C
A． B． C． D．
8．已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
9．已知函数 若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
2 2
14 4
x y− =
2
2 14
yx − =
2
2 14
x y− = 2 2 1x y− =
( ) sin 3f x x
π = +
( )f x 2π
2f
π
( )f x
siny x=
3
π
( )y f x=
3, 0,( )
, 0.
x xf x
x x
= − ,A B | | 6AB = r
1
2
1
3
0, 0a b> > 1ab = 1 1 8
2 2a b a b
+ + +
ABCD 60 , 3B AB°∠ = = 6BC = 3, 2AD BC AD ABλ= ⋅ = −
λ ,M N BC | | 1MN = DM DN⋅
ABC , ,A B C , ,a b c 2 2, 5, 13a b c= = =
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
17．（本小题满分 15 分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分
别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切
于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
19．（本小题满分 15 分）
已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
C
sin A
sin 2 4A
π +
1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ , , 2ABC AC BC AC BC⊥ = = 1 3CC = ,D E
1AA 1CC 1 2,AD CE M= = 1 1A B
1 1C M B D⊥
1B B E D− −
AB 1DB E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (0, 3)A − F | | | |OA OF= O
C 3OC OF= B B AB C
P P AB AB
{ }na { }nb ( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = −
{ }na { }nb
{ }na n nS ( )2 *
2 1n n nS S S n+ +< ∈N
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
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数学参考解答
一、选择题：每小题 5 分，满分 45 分．
1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D
二、填空题：每小题 5 分，满分 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分．
10． 11．10 12．5 13． ； 14．4 15． ；
三、解答题
16．满分 14 分．
（Ⅰ）解：在 中，由余弦定理及 ，有 ．又因
为 ，所以 ．
（Ⅱ）解：在 中，由正弦定理及 ，可得 ．
（Ⅲ）解；由 及 ，可得 ，进而
n
( )
2
1
1
3 2 , ,
, .
n n
n n
n
n
n
a b na ac
a nb
+
−
+
−
=
为奇数
为偶数
{ }nc 2n
3( ) ln ( )f x x k x k R= + ∈ ( )f x′ ( )f x
6k =
( )y f x= (1, (1))f
9( ) ( ) ( )g x f x f x x
′= − +
3k − 1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x>
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −
3 2i− 1
6
2
3
1
6
13
2
ABC 2 2, 5, 13a b c= = =
2 2 2 2cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0, )C π∈
4C
π=
ABC , 2 2, 134C a c
π= = = sin 2 13sin 13
a CA c
= =
a c< 2 13sin 13A = 2 3 13cos 1 sin 13A A= − =
．所以，
．
17．满分 15 分．
依题意，以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系（如
图），可得 ，
， ．
（Ⅰ）证明：依题意， ， ，从而 ，所以
．
（Ⅱ）解：依题意， 是平面 的一个法向量， ， ．设
为平面 的法向量，则 即 不妨设 ，可得 ．
因此有 ，于是 ．
所以，二面角 的正弦值为 ．
（Ⅲ）解：依题意， ．由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是
212 5sin 2 2sin cos , cos2 2cos 113 13A A A A A= = = − =
12 2 5 2 17 2sin 2 sin 2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2 26A A A
π π π + = + = × + × =
C 1, ,CA CB CC x y z
1(0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,3)C A B C
1 1(2,0,3), (0,2,3), (2,0,1), (0,0,2)A B D E (1,1,3)M
1 (1,1,0)C M =
1 (2, 2, 2)B D = − −
1 1 2 2 0 0C M B D⋅ = − + =
1 1C M B D⊥
(2,0,0)CA =
1BB E 1 (0,2,1)EB = (2,0, 1)ED = −
( , , )n x y z=
1DB E 1 0,
0,
n EB
n ED
⋅ = ⋅ =
2 0,
2 0.
y z
x z
+ =
− = 1x = (1, 1,2)n = −
6cos , 6| || |CA n
CA nCA n
⋅〈 〉 = =
30sin , 6CA n〈 〉 =
1B B E D− − 30
6
( 2,2,0)AB = − (1, 1,2)n = −
1DB E
．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．满分 15 分．
（Ⅰ）解：由已知可得 ．记半焦距为 ，由 可得 ．又由 ，可得
．所以，椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）解：因为直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ．依题意，直线 和直线 的
斜率均存在．设直线 的方程为 ．由方程组 消去 ，可得
，解得 ，或 ．依题意，可得点 的坐标 ．因
为 为线段 的中点，点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ．由 ，
得点 的坐标为 ，故直线 的斜率为 ，即 ．又因为 ，所以
，整理得 ，解得 ，或 ．
所以，直线 的方程为 ，或 ．
19．满分 15 分．
（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．由 ， ，可得
，从而 的通项公式为 ．由 ，又 ，可得 ，解
得 ，从而 的通项公式为 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 ，故 ，
，从而 ，所以 ．
3cos 3| || |
AB n
AB n
⋅ = −
AB 1DB E 3
3
3b = c | | | |OF OA= 3c b= = 2 2 2a b c= +
2 18a =
2 2
118 9
x y+ =
AB C P AB CP⊥ AB CP
AB 3y kx= − 2 2
3,
1,18 9
y kx
x y
= − + =
y
( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2
12
2 1
kx k
= + B
2
2 2
12 6 3,2 1 2 1
k k
k k
−
+ +
P AB A (0, 3)− P 2 2
6 3,2 1 2 1
k
k k
−
+ + 3OC OF=
C (1,0) CP
2
2
3 02 1
6 12 1
k
k
k
− −+
−+
2
3
2 6 1k k− + AB CP⊥
2
3 12 6 1k k k
⋅ = −− +
22 3 1 0k k− + = 1
2k = 1k =
AB 1 32y x= − 3y x= −
{ }na d { }nb q 1 1a = ( )5 4 35a a a= −
1d = { }na na n= ( )1 5 4 31, 4b b b b= = − 0q ≠ 2 4 4 0q q− + =
2q = { }nb 12n
nb −=
( 1)
2n
n nS
+= 2
1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + +
( )22 2
1
1 ( 1) 24nS n n+ = + + 2
2 1
1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + < 2 2 1n n nS S S+ + 1
2
( 1)x t tx
= >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22x x f x f x f x f x′ ′− + − −
( ) 2 2 3 3 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2
3 3 2 ln xk kx x x x x x kx x x
= − + + + − − +
3 3 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2
3 3 2 lnx x xx x x x x x k kx x x
= − − + + − −
( )3 3 2
2
13 3 1 2lnx t t t k t tt
= − + − + − −
1( ) 2ln , [1, )h x x x xx
= − − ∈ +∞ 1x >
2
2
1 2 1( ) 1 1 0h x x x x
′ = + − = − > ( )h x
[1, )+∞ 1t > ( ) (1)h t h> 1 2ln 0t t− − > 2 1x
3 2 33 3 1 ( 1) 0, 3t t t t k− + − = − > −
( )3 3 2 3 2
2
1 13 3 1 2ln ( 3 3 1) 3 2lnx t t t k t t t t t t tt t
− + − + − − > − + − − − −
22 36ln3 1t tt t
−= + + −
1t = ( ) (1)g t g> 3 2 33 6ln 1t t t t
− + + >
22 33 6ln 1 0t t t t
− + + − >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 0x x f x f x f x f x′ ′− + − − > 3k −
，且 ，有 ．1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −
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