2020年高考真题-数学（理）（全国卷Ⅰ）（附答案）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题 卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若 z＝1＋i，则|z2－2z|＝ A.0 B.1 C. D.2 2.设集合 A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且 A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则 a＝ A.－4 B.－2 C.2 D.4 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底 面正方形的边长的比值为 2 A. B. C. D. 4.已知为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9， 则 p＝ A.2 B.3 C.6 D.9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：℃)的关系，在 20 个不 同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在 10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回 归方程类型的是 A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋blnx 6.函数 f(x)＝x4－2x3 的图像在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1 7.设函数 f(x)＝cos(ωx＋ )在[－π，π]的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为 A. B. C. D. 8.(x＋ )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为 A.5 B.10 C.15 D.20 9.已知 a∈(0，π)，且 3cos2α－8cosα＝5，则 sinα＝ A. B. C. D. 10.已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1 为△ABC 的外接圆，若⊙O1 的面积为 4π， 5 1 4 − 5 1 2 − 5 1 4 + 5 1 2 + 6 π 10 9 π 7 6 π 4 3 π 3 2 π 2y x 5 3 2 3 1 3 5 9 AB＝BC＝AC＝OO1，则球 O 的表面积为 A.64π B.48π C.36π D.32π 1..已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线 l：2x＋y＋2＝0，P 为 l 上的动点，过点 P 作⊙M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线 AB 的方程为 A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0 12.若 2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A.a>2b B.ab2 D.a > 3 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 设{an}是公比不为 1 的等比数列，a1 为 a2，a3 的等差中项。 (1)求{an}的公比； (2)若 a1＝1，求数列{nan}的前 n 项和。 18.(12 分) 如图，D 为圆锥的项点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE＝AD。△ABC 是底 面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO＝ DO。 (1)证明：PA⊥平面 PBC； (2)求二面角 B－PC－E 的余弦值。 19.(12 分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者 与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的 两人继续比赛，直至其中人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为 。 (1)求甲连胜四场的概率； 6 6 1 2 (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率。 20.(12 分) 已知 A，B 分别为椭圆 E： 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ＝8。P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D。 (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点。 21.(12 分) 已知函数 f(x)＝ex＋ax2－x。 (1)当 a＝1 时，讨论 f(x)的单调性： (2)当 x≥0 时，f(x)≥ x3＋1，求 a 的取值范围。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)。以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0。 (1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线? (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标。 2 2 2 1( 1)x y aa + = > AG GB⋅  1 2 cos sin k k x t y t = =   23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|。 (1)画出 y＝f(x)的图像； (2)求不等式 f(x)>f(x＋1)的解集。 答案 1D 2B 3C 4C 5D 6B 7C 8C 9A 10A 11D 12B 13.1 14. 15.2 16. 17. 18 19 20 21 22 3