绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
2.（1–i）4=（ ）
A –4 B. 4
C. –4i D. 4i
3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设 1≤i ,D E
ODE C
3
3
1( )f x x x
= − ( )f x
9 3
4A. B. C. 1 D.
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 ，则 __________．
14.记 为等差数列 的前 n 项和．若 ，则 __________．
15.若 x，y 满足约束条件 则 最大值是__________．
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 A；
（2）若 ，证明：△ABC 是直角三角形．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数
量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到
样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得 ， ， ， ，
的
3 3
2
3
2
2 2 3 3x y x y− −− < −
ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− <
2sin 3x = − cos2x =
nS { }na 1 2 62, 2a a a= − + = 10S =
1
1
2 1,
x y
x y
x y
+ ≥ −
− ≥ −
− ≤
，
， 2z x y= +
⊂
1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
2 5cos ( ) cos2 4A A
π + + =
3
3b c a− =
20
1
60
i
ix
=
=∑ 20
1
1200
i
iy
=
=∑ 20
2
1
) 80
i
i xx
=
− =∑（
20
2
1
) 9000
i
iy y
=
− =∑（.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物
数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r= ， =1 414.
19.已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过
F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|．
（1）求 C1 的离心率；
（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．
20.如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中
点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F．
（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥 B–EB1C1F 的体
积．
21.已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围；
.
20
1
) ) 800i
i
ix yx y
=
− − =∑（ （
1
2 2
1 1
) )
) )
n
i
i i
i i
n n
i i
x y
x
x y
yyx
=
= =
− −
− −
∑
∑ ∑
（ （
（ （
2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
4
3
π
3（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）= 的单调性．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将
所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多
答按所答第一题评分．
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 a 的取值范围.
( ) ( )f x f a
x a
−
−
2
2
4cos
4sin
x
y
θ
θ
=
=
，
1,
1
x t t
y t t
= +
= −
2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − +
2a = ( ) 4f x
( ) 4f x
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