2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
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2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)

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资料简介
绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案标号框.回答非选择题时,将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x||x|1,x∈Z},则 A∩B=( ) A. B. {–3,–2,2,3) C. {–2,0,2} D. {–2,2} 【答案】D 【解析】 【分析】 解绝对值不等式化简集合 的表示,再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为 , 或 , 所以 . 故选:D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查集合交集的定义,属于基础题. 2.(1–i)4=( ) A. –4 B. 4 C. –4i D. 4i 【答案】A 【解析】 ∅ ,A B { } { }3, 2, 1,0,1,2A x x x Z= < ∈ = − − { } {1, 1B x x x Z x x= > ∈ = > }1,x x Z< − ∈ { }2, 2A B = −【分析】 根据指数幂的运算性质,结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质,考查了数学运算能力,属于基础题. 3.如图,将钢琴上的 12 个键依次记为 a1,a2,…,a12.设 1≤i 2 3 1 7a = × + = , 2 1 3k = + = 7 10> 2 7 1 15a = × + = , 3 1 4k = + = 15 10> 4k = 2 3 0x y− − = 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 ( ), , 0a a a > a ( )2,1 a 2 3 0x y− − = ( )2,1 ( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5圆心到直线 的距离均为 ; 所以,圆心到直线 的距离为 . 故选:B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题. 9.设 为坐标原点,直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点,若 的面积为 8,则 的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 ,可得双曲线的渐近线方程是 ,与直线 联立方程求得 , 两点坐标,即可求得 ,根据 的面积为 ,可得 值,根据 ,结合均值不等式, 即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 , 两点 不妨设 为在第一象限, 在第四象限 联立 ,解得 故 联立 ,解得 故 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5 O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,D E ODE C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± x a= D E | |ED ODE 8 ab 2 22 2c a b= +  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴| | 2ED b=面积为: 双曲线 其焦距为 当且仅当 取等号 的焦距的最小值: 故选:B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求 最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 10.设函数 ,则 ( ) A. 是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的解析式可知函数的定义域为 ,利用定义可得出函数 为奇函数, 再根据函数的单调性法则,即可解出. 【详解】因为函数 定义域为 ,其关于原点对称,而 , 所以函数 为奇函数. 又因为函数 在 上单调递增,在 上单调递增, 而 在 上单调递减,在 上单调递减, 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递增. 故选:A. 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题. 11.已知△ABC 是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π,则 O 到 ∴ ODE 1 2 82ODES a b ab= × = =△  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = = 2 2a b= = ∴ C 8 3 3 1( )f x x x = − ( )f x { }0x x ≠ ( )f x ( ) 3 3 1f x x x = − { }0x x ≠ ( ) ( )f x f x− = − ( )f x 3y x= ( )0,+¥ ( ),0- ¥ 3 3 1y xx −= = ( )0,+¥ ( ),0- ¥ ( ) 3 3 1f x x x = − ( )0,+¥ ( ),0- ¥ 9 3 4平面 ABC 的距离为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ,由球的性质可知所求距 离 . 【详解】设球 的半径为 ,则 ,解得: . 设 外接圆半径为 ,边长为 , 是面积为 的等边三角形, ,解得: , , 球心 到平面 的距离 . 故选:C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解,涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;解题关键是明 确球的性质,即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 12.若 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式变为 ,根据 的单调性知 ,以此去判断各个选项中真数与 的大小关系,进而得到结果. 【详解】由 得: , 令 , 为 上的增函数, 为 上的减函数, 为 上的增函数, 3 3 2 3 2 O ABC O R ABC r 2 2d R r= − O R 24 16Rπ π= 2R = ABC r a ABC 9 3 4 21 3 9 3 2 2 4a∴ × = 3a = 2 22 2 99 33 4 3 4 ar a∴ = × − = × − = ∴ O ABC 2 2 4 3 1d R r= − = − = 2 2 3 3x y x y− −− < − ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− < 2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= − x y< 1 2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= − 2xy = R 3 xy −= R ( )f t∴ R, , , ,则 A 正确,B 错误; 与 的大小不确定,故 CD 无法确定. 故选:A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得 到 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 ,则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用,属于基础题. 14.记 为等差数列 的前 n 项和.若 ,则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 因为 是等差数列,根据已知条件 ,求出公差,根据等差数列前 项和,即可求得答案. 【详解】 是等差数列,且 , 设 等差数列的公差 根据等差数列通项公式: 可得 即: 整理可得: x y∴ < 0y x− > 1 1y x∴ − + > ( )ln 1 0y x∴ − + > x y− 1 ,x y 2sin 3x = − cos2x = 1 9 2 22 8 1cos2 1 2sin 1 2 ( ) 13 9 9x x= − = − × − = − = 1 9 nS { }na 1 2 62, 2a a a= − + = 10S = 25 { }na 2 6 2a a+ = n  { }na 1 2a = − 2 6 2a a+ = { }na d ( )1 1na a n d+ −= 1 1 5 2a d a d+ + + = ( )2 2 5 2d d− + + − + = 6 6d =解得: 根据等差数列前 项和公式: 可得: . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和,解题关键是掌握等差数列的前 项和公式,考查了分析能 力和计算能力,属于基础题. 15.若 x,y 满足约束条件 则 的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,然后平移直线 ,在平面区域内找到一点使得 直线 在纵轴上的截距最大,求出点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示: 平移直线 ,当直线经过点 时,直线 在纵轴上的截距最大, 此时点 的坐标是方程组 的解,解得: , 因此 的最大值为: . 故答案为: . 【点睛】本题考查了线性规划的应用,考查了数形结合思想,考查数学运算能力. 1d =  n * 1 ( 1) ,2n n nS na d n N −= + ∈ ( )10 10 (10 1)10 2 20 45 252S × −= − + = − + = ∴ 10 25S = 25 n n 1 1 2 1, x y x y x y + ≥ −  − ≥ −  − ≤ , , 2z x y= + 8 1 2y x= − 1 1 2 2y x z= − + 1 2y x= − A 1 1 2 2y x z= − + A 1 2 1 x y x y − = −  − = 2 3 x y =  = 2z x y= + 2 2 3 8+ × = 816.设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. p4:若直线 l 平面 α,直线 m⊥平面 α,则 m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假;利用三点共线可判断命题 的真假;利用异面直线可 判断命题 的真假,利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题 ,可设 与 相交,这两条直线确定的平面为 ; 若 与 相交,则交点 在平面 内, 同理, 与 的交点 也在平面 内, 所以, ,即 ,命题 真命题; 对于命题 ,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个, 命题 为假命题; 对于命题 ,空间中两条直线相交、平行或异面, 命题 为假命题; 对于命题 ,若直线 平面 , 则 垂直于平面 内所有直线, 直线 平面 , 直线 直线 , 为 ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 1p 2p 3p 4p 1p 1l 2l α 3l 1l A α 3l 2l B α AB α⊂ 3l α⊂ 1p 2p 2p 3p 3p 4p m ⊥ α m α  l ⊂ α ∴ m ⊥ l命题 为真命题. 综上可知, 为真命题, 为假命题, 为真命题, 为真命题. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假,同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断,考查推理能力, 属于中等题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 . (1)求 A; (2)若 ,证明:△ABC 是直角三角形. 【答案】(1) ;(2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系, 可化为 , 即可解出; (2)根据余弦定理可得 ,将 代入可找到 关系, 再根据勾股定理或正弦定理即可证出. 【详解】(1)因为 ,所以 , 即 , 解得 ,又 , 所以 ; 4p 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 2 5cos ( ) cos2 4A A π + + = 3 3b c a− = 3A π= 2 5cos cos2 4A A π + + =   2 51 cos cos 4A A− + = 2 2 2b c a bc+ − = 3 3b c a− = , ,a b c 2 5cos cos2 4A A π + + =   2 5sin cos 4A A+ = 2 51 cos cos 4A A− + = 1cos 2A = 0 A π< < 3A π=(2)因为 ,所以 , 即 ①, 又 ②, 将②代入①得, , 即 ,而 ,解得 , 所以 , 故 , 即 是直角三角形. 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判断三角形的形 状,属于基础题. 18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数 量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到 样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野 生动物的数量,并计算得 , , , , . (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均 数乘以地块数); (2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到 0.01); (3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物 数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. 附:相关系数 r= , =1.414. 【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析 【解析】 【分析】 (1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可; 3A π= 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 2 2 2b c a bc+ − = 3 3b c a− = ( )22 2 3b c b c bc+ − − = 2 22 2 5 0b c bc+ − = b c> 2b c= 3a c= 2 2 2b a c= + ABC 20 1 60 i ix = =∑ 20 1 1200 i iy = =∑ 20 2 1 ) 80 i i xx = − =∑( 20 2 1 ) 9000 i iy y = − =∑( 20 1 ) ) 800i i ix yx y = − − =∑( ( 1 2 2 1 1 ) ) ) ) n i i i i i n n i i x y x x y yyx = = = − − − − ∑ ∑ ∑ ( ( ( ( 2 12000 0.94(2)利用公式 计算即可; (3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样. 【详解】(1)样区野生动物平均数为 , 地块数为 200,该地区这种野生动物的估计值为 (2)样本 的相关系数为 (3) 由于各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层, 在各层内按比例抽取样本, 在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可. 【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力, 是一道容易题. 19.已知椭圆 C1: (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,且|CD|= |AB|. (1)求 C1 的离心率; (2)若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12,求 C1 与 C2 的标准方程. 【答案】(1) ;(2) : , : . 【解析】 【分析】 (1)根据题意求出 的方程,结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限,运用代入法求出 20 1 20 20 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 20 1 1 1 1200 6020 20i i y = = × =∑ 200 60 12000× = ( , )i ix y 20 1 20 20 2 2 1 1 ( )( ) 800 2 2 0.94380 9000( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3 1 2 1C 2 2 116 12 x y+ = 2C 2 8y x= 2C ,A C点的纵坐标,根据 ,结合椭圆离心率的公式进行求解即可; (2)由(1)可以得到椭圆的标准方程,确定椭圆的四个顶点坐标,再确定抛物线的准线方程,最后结合 已知进行求解即可; 【详解】解:(1)因为椭圆 的右焦点坐标为: ,所以抛物线 的方程为 ,其中 . 不妨设 在第一象限,因为椭圆 的方程为: , 所以当 时,有 ,因此 的纵坐标分别为 , ; 又因为抛物线 的方程为 ,所以当 时,有 , 所以 的纵坐标分别为 , ,故 , . 由 得 ,即 ,解得 (舍去), . 所以 的离心率为 . (2)由(1)知 , ,故 ,所以 的四个顶点坐标分别为 , , , , 的准线为 . 由已知得 ,即 . 所以 的标准方程为 , 的标准方程为 . 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求椭圆和抛物线的标准方程,考查了椭圆的四个顶点的 坐标以及抛物线的准线方程,考查了数学运算能力. 20.如图,已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 BB1C1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B1C1 的中 点,P 为 AM 上一点.过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E,交 AC 于 F. , , ,A B C D 4| | | |3CD AB= 1C (c,0)F 2C 2 4y cx= 2 2c a b= − ,A C 1C 2 2 2 2 1x y a b + = x c= 2 2 2 2 2 1c y bya b a + = ⇒ = ± ,A B 2b a 2b a − 2C 2 4y cx= x c= 2 4 2y c c y c= ⋅ ⇒ = ± ,C D 2c 2c− 22| | bAB a = | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3 bc a = 23 2 2( )c c a a ⋅ = − 2c a = − 1 2 c a = 1C 1 2 2a c= 3b c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 1C (2 ,0)c ( 2 ,0)c− (0, 3 )c (0, 3 )c− 2C x c= − 3 12c c c c+ + + = 2c = 1C 2 2 116 12 x y+ = 2C 2 8y x=(1)证明:AA1//MN,且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F; (2)设 O 为△A1B1C1 的中心,若 AO=AB=6,AO//平面 EB1C1F,且∠MPN= ,求四棱锥 B–EB1C1F 的体 积. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)由 分别为 , 的中点, ,根据条件可得 ,可证 ,要证平 面 平面 ,只需证明 平面 即可; (2)根据已知条件求得 和 到 的距离,根据椎体体积公式,即可求得 . 【详解】(1) 分别为 , 的中点, 又 在等边 中, 为 中点,则 又 侧面 为矩形, 由 , 平面 平面 π 3 24 ,M N BC 1 1B C 1//MN CC 1 1/ /AA BB 1MN AA// 1 1EB C F ⊥ 1A AMN EF ⊥ 1A AMN 1 1EB C FS四边形 M PN 1 1B EB C FV −  ,M N BC 1 1B C 1//MN BB∴ 1 1/ /AA BB 1//MN AA∴ ABC M BC BC AM⊥  1 1BB C C 1BC BB∴ ⊥ 1//MN BB MN BC⊥ MN AM M∩ = ,MN AM ⊂ 1A AMN ∴ BC ⊥ 1A AMN又 ,且 平面 , 平面 , 平面 又 平面 ,且平面 平面 又 平面 平面 平面 平面 平面 (2)过 作 垂线,交点为 , 画出图形,如图 平面 平面 ,平面 平面 又 为 的中心. 故: ,则 ,  1 1 //B C BC 1 1B C ⊄ ABC BC ⊂ ABC 1 1 //B C∴ ABC  1 1B C ⊂ 1 1EB C F 1 1EB C F ∩ ABC EF= 1 1 / /B C EF∴ //EF BC∴ BC ⊥ 1A AMN ∴ EF ⊥ 1A AMN EF ⊂ 1 1EB C F ∴ 1 1EB C F ⊥ 1A AMN M PN H  //AO 1 1EB C F AO ⊂ 1A AMN 1A AMN ∩ 1 1EB C F NP= //AO NP∴  //NO AP ∴ 6AO NP= =  O 1 1 1A B C△ ∴ 1 1 1 1sin 60 6 sin 60 33 3ON AC= ° = × × ° = 3ON AP= = 3 3 3AM AP= =平面 平面 ,平面 平面 , 平面 平面 又 在等边 中 即 由(1)知,四边形 为梯形 四边形 的面积为: , 为 到 的距离 , . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直,及其求四棱锥的体积,解题关键是掌握面面垂直转为 求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=2lnx+1. (1)若 f(x)≤2x+c,求 c 的取值范围; (2)设 a>0 时,讨论函数 g(x)= 的单调性. 【答案】(1) ;(2) 在区间 和 上单调递减,没有递增区间 【解析】 【分析】 (1)不等式 转化为 ,构造新函数,利用导数求出新函数的最大值,进而进 行求解即可; (2)对函数 求导,把导函数 分子构成一个新函数 ,再求导得到 ,根据 的正 负,判断 的单调性,进而确定 的正负性,最后求出函数 的单调性. 的  1 1EB C F ⊥ 1A AMN 1 1EB C F ∩ 1A AMN NP= MH ⊂ 1A AMN ∴ MH ⊥ 1 1EB C F  ABC EF AP BC AM = 3 6 2 3 3 AP BCEF AM ⋅ ×= = = 1 1EB C F ∴ 1 1EB C F 1 1 1 1 2 6= 6 242 2EB C F EF B CS NP + += ⋅ × =四边形 1 1 1 1 1 3B EB C F EB C FV S h−∴ = ⋅四边形 h M PN 2 3 sin 60 3MH ⋅= ° = ∴ 1 24 3 243V = × × = ( ) ( )f x f a x a − − 1c ≥ − ( )g x (0, )a ( , )a +∞ ( ) 2f x x c≤ + ( ) 2 0f x x c− − ≤ ( )g x ( )g x′ ( )m x ( )m x′ ( )m x′ ( )m x ( )g x′ ( )g x【详解】(1)函数 的定义域为: , 设 ,则有 , 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增, 所以当 时,函数 有最大值, 即 , 要想不等式 在 上恒成立, 只需 ; (2) 且 因此 ,设 , 则有 , 当 时, ,所以 , 单调递减,因此有 ,即 ,所以 单调递减; 当 时, ,所以 , 单调递增,因此有 ,即 , 所以 单调递减, 所以函数 在区间 和 上单调递减,没有递增区间. 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题,以及利用导数判断含参函数的单调性,考查了数学 运算能力,是中档题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多 答按所答第一题评分. [选修 4—4:坐标系与参数方程] ( )f x (0, )+∞ ( ) 2 ( ) 2 0 2ln 1 2 0( )f x x c f x x c x x c≤ + ⇒ − − ≤ ⇒ + − − ≤ ∗ ( ) 2ln 1 2 ( 0)h x x x c x= + − − > 2 2(1 )( ) 2 xh x x x −′ = − = 1x > ( ) 0, ( )h x h x′ < 0 1x< < ( ) 0, ( )h x h x′ > 1x = ( )h x max( ) (1) 2ln1 1 2 1 1h x h c c= = + − × − = − − ( )∗ (0, )+∞ max( ) 0 1 0 1h x c c≤ ⇒ − − ≤ ⇒ ≥ − 2ln 1 (2ln 1) 2(ln ln )( ) ( 0x a x ag x xx a x a + − − −= = >− − )x a≠ 2 2( ln ln )( ) ( ) x a x x x ag x x x a − − +′ = − ( ) 2( ln ln )m x x a x x x a= − − + ( ) 2(ln ln )m x a x′ = − x a> ln lnx a> ( ) 0m x′ < ( )m x ( ) ( ) 0m x m a< = ( ) 0g x′ < ( )g x 0 x a< < ln lnx a< ( ) 0m x′ > ( )m x ( ) ( ) 0m x m a< = ( ) 0g x′ < ( )g x ( )g x (0, )a ( , )a +∞22.已知曲线 C1,C2 的参数方程分别为 C1: (θ 为参数),C2: (t 为参数). (1)将 C1,C2 的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1,C2 的交点为 P,求圆心在极轴上,且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案】(1) ; ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)分别消去参数 和 即可得到所求普通方程; (2)两方程联立求得点 ,求得所求圆的直角坐标方程后,根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极 坐标方程. 【详解】(1)由 得 的普通方程为: ; 由 得: ,两式作差可得 的普通方程为: . (2)由 得: ,即 ; 设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中 , 则 ,解得: , 所求圆的半径 , 所求圆的直角坐标方程为: ,即 , 所求圆的极坐标方程为 . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题,涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识,属于常考题型. 2 2 4cos 4sin x y θ θ  =  = , 1, 1 x t t y t t  = +  = − 1 : 4C x y+ = 2 2 2 : 4C x y− = 17 cos5 ρ θ= θ t P 2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ = 1 1 x t t y t t  = +  = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t  = + +  = + − 2C 2 2 4x y− = 2 2 4 4 x y x y + =  − = 5 2 3 2 x y  =  = 5 3,2 2P     ( ),0a 0a > 2 2 25 302 2a a   − + − =       17 10a = ∴ 17 10r = ∴ 2 2 217 17 10 10x y   − + =       2 2 17 5x y x+ = ∴ 17 cos5 ρ θ=[选修 4—5:不等式选讲] 23.已知函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 ,求 a 的取值范围. 【答案】(1) 或 ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果; (2)利用绝对值三角不等式可得到 ,由此构造不等式求得结果. 【详解】(1)当 时, . 当 时, ,解得: ; 当 时, ,无解; 当 时, ,解得: ; 综上所述: 的解集为 或 . (2) (当且仅当 时取等号), ,解得: 或 , 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型. 2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − + 2a = ( ) 4f x  ( ) 4f x  3 2x x ≤ 11 2x ≥  ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ 3x ≤ 3 4x< < 4x ≥ ( ) ( )21f x a≥ − 2a = ( ) 4 3f x x x= − + − 3x ≤ ( ) 4 3 7 2 4f x x x x= − + − = − ≥ 3 2x≤ 3 4x< < ( ) 4 3 1 4f x x x= − + − = ≥ 4x ≥ ( ) 4 3 2 7 4f x x x x= − + − = − ≥ 11 2x ≥ ( ) 4f x ≥ 3 2x x ≤ 11 2x ≥  ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a= − + − + ≥ − − − + = − + − = − 22 1a x a− ≤ ≤ ( )21 4a∴ − ≥ 1a ≤ − 3a ≥ a∴ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞

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