2020年北京高考数学猜题卷(二)(Word版附解析)
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2020年北京高考数学猜题卷(二)(Word版附解析)

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资料简介
2020 年北京高考数学猜题卷(二) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.已知命题 : , ,那么命题 的否定为( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 原命题是全称命题, 命题 的否定是“ , ”. 故选:A. 2.设集合 , ,则 =( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意 , , 则 . 故选:C. 3.下列函数中既是奇函数,又在区间 上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于 A, ,不是奇函数,故 A 错误; 对于 B, ,所以 为偶函数不是奇函数,故 B 错误; p x∀ ∈R e 1x > p 0x∃ ∈R 0e 1x ≤ x∀ ∈R e 1x < 0x∃ ∈R 0e 1x > x∀ ∈R e 1x ≤  ∴ p 0x∃ ∈R 0e 1x ≤ { }2| 3 4 0A x Z x x= ∈ − − ≤ 2{ |e 1}xB x −= < A B { 1,0,1,2}− [ 1,2)− { 1,0,1}− [ 1,2]− { } { } { }2| 3 4 0 | 1 4 1,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x= ∈ − − ≤ = ∈ − ≤ ≤ = − { } { } { }2|e 1 | 2 0 | 2xB x x x x x−= < = − < = < { } { } { }1,0,1,2,3,4 | 2 1,0,1A B x x= − < = −  (0,1) 3( ) 2xf x= − + 1 2 ( ) log | |f x x= 3( ) 3f x x x= − ( ) sinf x x= ( )3( ) 2f x x f x− = + ≠ − ( )1 2 ( ) log | |f x x f x− = − = ( )f x对于 C, ,所以 为奇函数;由 ,当 时, ,故 在 上单调递减,故 C 正确; 对于 D,由正弦函数的单调性可知,函数 在 上单调递增,故 D 错误. 故选:C. 4.已知 , , ,则 , , 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【 解 析 】 由 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 , , 由正切函数的性质得 , 故 . 故选:A. 5.为了宣传今年 月即将举办的“第十八届中国西部博览会”(简称“西博会”),组委会举办了 “西博会”知识有奖问答活动. 在活动中,组委会对会议举办地参与活动的 岁市民进 行随机抽样,各年龄段人数情况如下: 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第 组 第 组 第 组 第 组 第 组 根据以上图表中的数据可知图表中 和 的值分别为( ) ( )3( ) 3f x x x f x− = − + = − ( )f x ( )2( ) 3 1f x x′ − = − ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ − < ( )f x ( )0,1 ( ) sinf x x= ( )0,1 3log 2a = 0.2log 0.3b = 11tan 3c π= a b c c b a< < b a c< < c a b< < b c a< < 3 3log 2 log 3 1a = > = 0.2 0.20 log 0.3 log 0.2 1b< = < = 11 2tan tan 3 03 3c π π= = = − < 0 1c b a< < < < 9 15 65 1 [15,25) 10 2 [25,35) a 3 [35,45) b 4 [45,55) c 5 [55,65] d a xA. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】由题意可得总人数为 人,则 , 由各组频率和为 1 可得 ,解得 . 故选:C. 6.已知向量 ,若 ,则 在 上的投影是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意 在 上的投影为 . 故选:D. 7.某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥中最长的棱的长度为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将几何体还原在长方体中,如图,则该几何体即为 , 可得最长棱为长方体的一条体对角线 . 故选:B. 20 0.15 15 0.015 20 0.015 15 0.15 10 1000.01 10 =× 100 0.02 10 20a = × × = ( )0.01 0.02 0.03 0.025 10 1x+ + + + × = 0.015x = (2,2 3)a = 16 3a b⋅ = − b a 3 4 3 4 − 4 3 4 3 − b a ( )22 16 43 32 2 3 a b a −⋅ = = − +   5 3 6 2 3 A BCD− 2 22 2 1 3AC = + + =8.已知 ,则“ ”是“ 是直角三角形”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若 ,则 或 ,不能推出 是直角三角形; 若 ,则 ,所以 是直角三角形不能推出 ; 所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 9.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了 多年.如图是 由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记 为图中虚线上的数 构成的数列 的第 项,则 的值为( ) A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】由题意得 , , , 观察规律可得 , 所以 . 故选:B. ABC sin cosA B= ABC sin cosA B= 2A B π+ = 2A B π= + ABC 2A π= sin cosA B≠ ABC sin cosA B= sin cosA B= ABC 300 na 1,3,6,10,⋅⋅⋅ { }na n 100a 1 1a = 2 3 1 2a = = + 3 6 1 2 3a = = + + 4 10 1 2 3 4a = = + + + ⋅⋅⋅ ( )11 2 3 2n n na n += + + +⋅⋅⋅+ = 100 100 101 50502a ×= =10.关于函数 ,有以下三个结论: ①函数恒有两个零点,且两个零点之积为 ; ②函数的极值点不可能是 ; ③函数必有最小值. 其中正确结论的个数有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】由题意函数 的零点即为函数 的零点, 令 ,则 ,所以方程必有两个不等实根 , ,设 , 由韦达定理可得 ,故①正确; , 当 时, ,故 不可能是函数 的极值 点,故②正确; 令 即 , , 设 的两个实数根为 , 且 , 则当 , 时, ,函数 单调递增, 当 时, ,函数 单调递减,所以 为函数极小值; 由①知,当 时,函数 ,所以当 时, , 又 ,所以 ,所以 , 所以 为函数的最小值,故③正确. 故选:D. 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.在 的二项展开式中, 的系数为________.(用数字作答) 【答案】80 2( ) ( 1)exf x x ax= + − 1− 1− ( )2( ) 1 exf x x ax= + − 2 1y x ax= + − 2 1 0x ax+ − = 2 4 0a= + > 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x = − ( ) ( ) ( )2 2( ) 2 e 1 e 2 1 ex x xf x x a x ax x a x a′  = + + + − = + + + −  1x = − ( ) 1 1( ) 1 2 1 e 2 0f x a a e− −′ = − − + − = − ≠ 1− ( )f x ( ) 0f x′ = ( )2 2 1 0x a x a+ + + − = ( ) ( )2 22 4 1 8 0a a a= + − − = + > ( )2 2 1 0x a x a+ + + − = 3x 4x 3 4x x< ( )3,x x∈ −∞ ( )4 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )3 4,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 4( )f x ( )1,x x∈ −∞ ( ) 0f x > ( )3,x x∈ −∞ ( ) 0f x > (0) 0xf e= − < ( )30 ,x∈ +∞ ( )4( ) 0 0f x f≤ < 4( )f x 52x x  −   3x−【解析】由题意 的通项公式为 , 令 即 ,则 . 故答案为:80. 12.已知复数 在复平面内对应的点位于第一象限,且满足 , ,则 的实部 为_________,虚部为________. 【答案】 (1). 3 (2). 4 【解析】设 ,则 , 由 可得 即 , 则 ,由 可得 ,解得 , 所以 ,故 的实部为 3,虚部为 4. 故答案为:3,4. 13.设无穷等比数列 的各项为整数,公比为 ,且 , ,写出数列 的一个通项公式________. 【答案】 (答案不唯一) 【解析】由题意可得数列首项 、公比 均为整数, 由 可得 , 若 ,则 无解,不合题意; 若 ,则 ,解得 . 所以数列 首项 . 所以数列 的通项公式可以为 . 故答案为: (答案不唯一). 14.在平面直角坐标系中,已知点 , , 为直线 上的动点, 关于直线 的对称点记为 ,则线段 的长度的最大值是________. 52x x  −   ( )5 5 2 1 5 5 2 2 r rr r r r rT C x C xx − − +  = − = −   5 2 3r− = − 4r = ( )44 5 2 80C − = z | | 5z = 6z z+ = z ( )0, 0z a bi a b= + > > z a bi= − 6z z+ = 2 6a = 3a = 3z bi= + | | 5z = 2 23 5z b= + = 4b = 3 4z i= + z { }na q | | 1q ≠ 1 3 22a a a+ < { }na 1 *2 ( )n na n N−= − ∈ 1a q 1 3 22a a a+ < 2 1 1 12a a q a q+ < 1 0a > 2 2 1 0q q− + < 1 0a < 2 2 1 0q q− + > 1q ≠ { }na 1 0a < { }na 1 *2 ( )n na n N−= − ∈ 1 *2 ( )n na n N−= − ∈ (0,1)A (1,1)B P AB A OP Q BQ【答案】 【解析】 关于直线 的对称点记为 , 为直线 上的动点, , 点轨迹为以 为圆心, 为半径的圆(不包括点 ),如图, 又 , . 故答案为: . 15.关于曲线 ,给出下列三个结论: ① 曲线 关于原点对称,但不关于 轴、 轴对称; ② 曲线 恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ③ 曲线 上任意一点到原点的距离都不大于 . 其中,正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【解析】设 为曲线上任意一点,则 , 设点 关于原点、 轴、 轴的对称点分别为 、 、 , 因为 ; ; ; 所以点 在曲线 上,点 、点 不在曲线 上, 所以曲线 关于原点对称,但不关于 轴、 轴对称,故①正确; 当 时, ;当 , . 2 1+  A OP Q P AB ∴ OQ OA= ∴ Q O OA F 1 1 2OB = + = ∴ max 2 2 1BQ OA= + = + 2 1+ 2 2: 4C x xy y− + = C x y C C 2 2 ( ),P a b 2 2 4a ab b− + = P x y ( ),Q a b− − ( ),M a b− ( ),N a b− ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 4a a b b a ab b− − − − + − = − + = ( ) ( )22 2 2 4a a b b a ab b− − + − = + + ≠ ( ) ( )2 2 2 2 4a a b b a ab b− − − + = + + ≠ Q C M N C C x y 0x = 2y = ± 0y = 2x = ±此外,当 时, ;当 时, . 故曲线过整点 , , , , , ,故②错误; 又 ,所以 恒成立, 由 可得 ,当且仅当 时等号成立, 所以 ,所以曲线上任一点到原点的距离 ,故③正确. 故答案为:①③. 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.已知:①函数 ; ②向量 , ,且 , ; ③函数 的图象经过点 请在上述三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知_________________,且函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 . (1)若 ,且 ,求 的值; (2)求函数 在 上的单调递减区间. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】方案一:选条件① 因为 , 又 ,所以 ,所以 . 2x = 2y = 2x = − 2y = − ( )0,2 ( )0, 2− ( )2,2 ( )2, 2− − ( )2,0 ( )2,0− ( )22 2 2 0x y xy x y+ − = − ≥ 2 2 2 x yxy ≤ + 2 2 4x xy y− + = 2 2 2 2 4 4 2 x yx y xy ++ = + ≤ + x y= 2 2 8x y+ ≤ 2 2 2 2x y ≤+ 1( ) cos sin( ) ( 0)6 4f x x x πω ω ω= + − > ( 3sin ,cos2 )m x xω ω= 1 1( cos , )2 4n xω= 0>ω ( )f x m n= ⋅  1( ) sin(2 )( 0, )2 2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 1( , )6 2 π ( )f x 2 π 0 2 πθ< < 1sin 2 θ = ( )f θ ( )f x [0,2 ]π 1( ) cos sin( )6 4f x x x πω ω= + − 1cos (sin cos cos sin )6 6 4x x x π πω ω ω= + − 23 1 1sin cos cos2 2 4x x xω ω ω= + − 3 1sin 2 cos24 4x xω ω= + 1 3 1( sin 2 cos2 )2 2 2x xω ω= + 1 sin(2 )2 6x πω= + 2 2T π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x π= +方案二:选条件② 因为 , , 所以 . 又 ,所以 ,所以 . 方案三:选条件③ 由题意可知, ,所以 ,所以 . 又因为函数 图象经过点 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 . (1)因为 , ,所以 . 所以 (2)由 , 得 , 令 ,得 ,令 ,得 , 所以函数 在 上的单调递减区间为 , . 17.体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度 (单位: )平均在 之间即为正常体温,超过 即为发热.发热状态下,不同体温可分成以 下三种发热类型:低热: ;高热: ;超高热(有生命危险): . 某位患者因患肺炎发热,于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化,从 14 日开始,以 3 天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间,患者每天上午 8:00 服药,护士每天下午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下: ( 3sin ,cos2 )m x xω ω= 1 1( cos , )2 4n xω= 3 1 1( ) sin cos cos2 sin(2 )2 4 2 6f x m n x x x x πω ω ω ω= ⋅ = + = +  2 2T π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x π= + 2 2T π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2f x x ϕ= + ( )f x 1( , )6 2 π 1 1 sin(2 )2 2 6 π ϕ= × + | | 2 ϕ π< π 6 ϕ = 1( ) sin(2 )2 6f x x π= + 0 2 πθ< < 1sin 2 θ = 6 πθ = 1 1( ) ( ) sin6 2 2 2f f π πθ = = = 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 ,6 3k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 0k = 2 6 3x π π≤ ≤ 1k = 7 5 6 3x π π≤ ≤ ( )f x [0,2 ]π 2[ , ]6 3 π π 7 5[ , ]6 3 π π T C° 36 37C C° ∼ ° 37.1 C° 37.1 38T≤ ≤ 38 40T< ≤ 40T >(1)请你计算住院期间该患者体温不低于 的各天体温平均值; (2)在 日— 日期间,医生会随机选取 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊 项目“ 项目”的检查,记 为高热体温下做“ 项目”检查的天数,试求 的分布列与数学 期望; (3)抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到 消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗 效果最佳,并说明理由. 【答案】(1) ;(2)分布列见解析, ;(3)答案不唯一,给出合理理 由即可. 【解析】(1)由表可知,该患者共 6 天的体温不低于 ,记平均体温为 , . 所以,患者体温不低于 的各天体温平均值为 . (2) 的所有可能取值为 , , . , , . 则 的分布列为: P 所以 . (3)“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由: 39 C° 19 23 3 α X α X 39.55 C 6( ) 5E X = 39 C x 1 (39.4 39.7 40.1 39.9 39.2+39.0) 39.55 C6x = + + + + =  39 C° 39.55 C X 0 1 2 3 0 3 2 3 5 1( 0) 10 C CP X C = = = 2 1 3 2 3 5 6 3( 1) 10 5 C CP X C = = = = 1 2 3 2 3 5 3( 2) 10 C CP X C = = = X X 0 1 2 1 10 3 5 3 10 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =①“抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 又回升 0.1 ,“抗生素 C”使用期间持续降温 共计 1.2 ,说明“抗生素 C”降温效果最好,故“抗生素 C”治疗效果最佳. ②抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 ,方差约为 ;“抗生素 C”平均体温 38 , 方差约为 ,“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果 明显,故“抗生素 C”治疗效果最佳. “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由: 自使用“抗生素 B”开始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 ,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素 B”治疗效果最佳. 18.在四棱锥 中,平面 平面 .底面 为梯形, , ,且 , , . (1)求证: ; (2)求二面角 的余弦值; (3)若 是棱 的中点,求证:对于棱 上任意一点 , 与 都不平行. 【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析 【解析】 (1)证明:因为平面 平面 , 平面 平面 , 平面 , , 所以 平面 , 又因为 平面 , 所以 . (2)因为 , ,所以 . 由(1)得 平面 ,所以 , C C C C 0.0156 C 0.1067 C P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD / /AB CD AB AD⊥ 1AB = 2PA AD DC= = = 2 2PD = AB PD⊥ P BC D− − M PA BC F MF PC 6 6 ABCD ⊥ PAD ABCD  PAD AD= AB Ì ABCD AB AD⊥ AB ⊥ PAD PD ⊂ PAD AB PD⊥ 2PA AD= = 2 2PD = PA AD⊥ AB ⊥ PAD AB PA⊥故 , , 两两垂直. 如图,以 为原点, , , 所在直线分别为 轴, 建立空间直角坐标系 , 则 , , , . 因为 平面 ,所以平面 的一个法向量是 . 而 , , 设平面 的一个法向量为 , 则由 得 取 ,有 , 所以 . 由题知,二面角 为锐角,所以二面角 的余弦值为 . (3)证明:假设棱 上存在点 , ,设 . 依题意,可知 , , , 所以 , ,设 , 根据假设,有 ,而此方程组无解,故假设错误,问题得证. AB AD AP A AB AD AP , ,x y z A xyz− (0,0,2)P (1,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D PA ⊥ BCD BCD (0,0,1)n = (1,0, 2)PB = − (2,2, 2)PC = − PBC ( , , )m x y z= 0, 0, m PB m PC  ⋅ =  ⋅ =   2 0 2 2 2 0 x z x y z − =  + − = 1z = (2, 1,1)m = − 1 6cos , 66 n mn m n m ⋅〈 〉 = = =      P BC D− − P BC D− − 6 6 BC F / /MF PC , [0,1]BF BCλ λ= ∈  (0,0,1)M (1,2,0)BC = ( 1,2 ,0)F λ λ= + ( 1,2 , 1)MF λ λ= + − (2,2, 2)PC = − MF PCµ=  1 2 2 2 1 2 λ µ λ µ µ + =  = − = −19.已知椭圆 的离心率为 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点,当直线 与 轴垂直时, . (1)求椭圆 的标准方程; (2)当直线 与 轴不垂直时,在 轴上是否存在一点 (异于点 ),使 轴上任意点到 直线 , 的距离均相等?若存在,求 点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) ;(2)存在点 【解析】(1)由题意得 ,解得: , , . 所以椭圆的标准方程为: . (2)依题意,若直线 的斜率不为零,可设直线 , , . 假设存在点 ,设 ,由题设, ,且 , . 设直线 , 的斜率分别为 , , 则 , . 因为 , 在 上, 故 , , 而 轴上任意点到直线 , 距离均相等等价于“ 平分 ”, 继而等价于 . 则 . 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 F l A B l x 3AB = C l x x P F x PA PB P 2 2 14 3 x y+ = (4,0)P 2 2 2 2 2 3, 1 ,2 b a c a a b c  =   =  = +  2a = 3b = 1c = 2 2 14 3 x y+ = l : 1( 0)l x my m= + ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y P 0( ,0)P x 0 1x ≠ 0 1x x≠ 0 2x x≠ PA PB 1k 2k 1 1 1 0 yk x x = − 2 2 2 0 yk x x = − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1x my= + 1 1 1x my= + 2 2 1x my= + x PA PB PF APB∠ 1 2 0k k+ = 1 2 1 2 1 0 2 0 y yk k x x x x + = +− − 1 2 2 1 0 1 2 1 0 2 0 ( ) ( )( ) x y x y x y y x x x x + − += − − 1 2 0 1 2 1 0 2 0 2 (1 )( ) 0( )( ) my y x y y x x x x + − += =− −联立 ,消去 得: , 有 , . 则 , 即 ,故 或 (舍). 当直线 的斜率为零时, 也符合题意. 故存在点 ,使得 轴上任意点到直线 , 距离均相等. 20.已知函数 . (1)若曲线 在 处的切线与 轴平行,求 ; (2)已知 在 上的最大值不小于 ,求 的取值范围; (3)写出 所有可能的零点个数及相应的 的取值范围.(请直接写出结论) 【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析 【解析】(1)因为 ,故 . 依题意 ,即 . 当 时, ,此时切线不与 轴重合,符合题意, 因此 . (2)当 时, 最大值不小于 2 在 上有解, 显然 不是解,即 在 上有解, 设 , , 2 2 14 3 1 x y x my  + =  = + x 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − = 1 2 2 6 3 4 my y m −+ = + 1 2 2 9 3 4y y m −= + 0 0 1 2 2 2 1 0 2 0 1 0 2 0 18 6 6 24 60 (3 4)( )( ) (3 4)( )( ) m m mx m mxk k m x x x x m x x x x − − + − ++ = = =+ − − + − − 04 0m mx− + = 0 4x = 0m = l (4,0)P (4,0)P x PA PB 2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈ ( )y f x= (1, (1))f x a ( )f x [0,1] 2 a ( )f x a e 2a = ( ,e 2]−∞ − 2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈ ( ) e 2xf x ax′ = − (1) e 2 0f a′ = − = e 2a = e 2a = e(1) 02f = ≠ x e 2a = [0,1]x∈ ( )f x ⇔ 2( ) e 2xf x ax= − ≥ [0,1]x∈ 0x = 2 e 2x a x −≤ (0,1]x∈ 2 e 2( ) x g x x −= (0,1]x∈则 . 设 , , 则 . 所以 在 单调递减, , 所以 ,所以 在 单调递增, 所以 . 依题意需 , 所以 的取值范围为 . (3)当 时, 有 0 个零点;当 时, 有 1 个零点 当 时, 有 2 个零点;当 时, 有 3 个零点.· 21.已知集合 ,对于 , ,定义 与 的差为 ; 与 之间的距离为 . (1)若 ,试写出所有可能的 , ; (2) ,证明: ; (3) , 三个数中是否一定有偶数?证明你的结论. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)一定有偶数,理由见解析 【解析】(1)由题意可得,所有满足要求的 , 为: , ; , ; 3 e 2e 4( ) x xxg x x − +′ = ( ) e 2e 4x xh x x= − + (0,1]x∈ ( ) e ( 1) 0xh x x′ = − ≤ ( )h x (0,1] ( ) (1) 4 0h x h e≥ = − > ( ) 0g x′ > ( )g x (0,1] max( ) (1) 2g x g e= = − 2a e≤ − a ( ,e 2]−∞ − 0a ≤ ( )y f x= 2e0 4a< < ( )y f x= 2e 4a = ( )y f x= 2e 4a > ( )y f x= { }1 2{ | ( , , , ), 0,1 , 1,2, , }( 2)n n iS X X x x x x i n n= = ∈ = ≥  1 2( , , , )nA a a a=  nS∈ 1 2( , , , )n nB b b b S= ∈ A B 1 1 2 2( , , , )n nA B a b a b a b− = − − − A B 1 1 2 2( , )= + n nd A B a b a b a b− − + + − (0,1)A B− = A B , , nA B C S∀ ∈ ( , ) ( , )d A C B C d A B− − = , , nA B C S∀ ∈ ( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C A B ( )0,0A = ( )0,1B = ( )0,1A = ( )0,0B =, ; , . (2)证明:令 , , , 对 , 当 时,有 ; 当 时,有 . 所以 . (3) , , , , , 三个数中一定有偶数. 理由如下: 设 , , , , , , 记 ,由(2)可知: , , , 所以 中 1 的个数为 , 中 1 的个数为 . 设 是使 成立的 的个数,则 . 由此可知, , , 三个数不可能都是奇数, 即 , , 三个数中一定有偶数. ( )1,0A = ( )1,1B = ( )1,1A = ( )1,0B = 1 2( , , , )nA a a a=  1 2( , , , )nB b b b=  1 2( , , , )nC c c c=  1,2, ,i n=  0ic = i i i i i ia c b c a b− − − = − 1ic = 1 (1 )i i i i i i i ia c b c a b a b− − − = − − − = − ( , )d A C B C− − 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n na c b c a c b c a c b c= − − − + − − − +⋅⋅⋅+ − − − 1 1 2 2 ( , )n na b a b a b d A B= − + − + + − = A∀ B nC S∈ ( , )d A B ( , )d A C ( , )d B C 1 2( , , , )nA a a a= ⋅⋅⋅ 1 2( , , , )nB b b b= ⋅⋅⋅ 1 2( , , , )n nC c c c S= ⋅⋅⋅ ∈ ( , )d A B k= ( , )d A C l= ( , )d B C h= 0 (0,0, 0) nS= ⋅⋅⋅ ∈ ( , ) ( , ) (0, )d A B d A A B A d B A k= − − = − = ( , ) ( , ) (0, )d A C d A A C A d C A l= − − = − = ( , ) ( , )d B C d B A C A h= − − = ( 1,2, , )i ib a i n− = ⋅⋅⋅ k ( 1,2, , )i ic a i n− = ⋅⋅⋅ l t 1i i i ib a c a− = − = i 2h l k t= + − k l h ( , )d A B ( , )d A C ( , )d B C

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