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专题三 导数及其应用
第八讲 导数的综合应用
答案部分
2019 年
1.解析（1） ．
令 ，得 x=0 或 .
若 a>0，则当 时， ；当 时， ．故
在 单调递增，在 单调递减；
若 a=0， 在 单调递增；
若 a 0, 3
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0), ,3 a −∞ +∞ 0, 3 a ( )f x ( , )−∞ +∞ , (0, )3 ax ∈ −∞ +∞ ( ) 0f x′ > ,03
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x , ,(0, )3 a −∞ +∞ ,03 a 0 3a< < ( )f x 0, 3 a ,13 a ( )f x 3 23 27 a af = − + (0)=2f (1)=4f a− 3 227 am = − + 4 ,0 2, 2,2 3. a aM a − <
( )f' x ( )1 2 1 2,x x x x< ( ) 0f' x = 2 2 1 2 1 1 1 1,3 3 b b b b b bx x + − − + + + − += = x 1( , )x−∞ 1x ( )1 2,x x 2x 2( , )x +∞
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+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
解法一：
．因此 ．
解法二：因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
4.解析 （1）设 ，则 .
( )f' x
( )f x
( )f x ( )1M f x=
( ) 3 2
1 1 1 1( 1)M f x x b x bx= = − + +
( )2
2 1
1 1 1
2 11 ( 1)[3 2( 1) ] 3 9 9 9
b bx b b bx b x b x
− ++ + = − + + − − +
( ) ( )2 3
22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27
b b b b b b b
− − + + += + + − +
2
3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27
b b b b b b
+ − += − + − +
( 1) 2 4
27 27 27
b b +≤ + ≤ 4
27M ≤
0 1b< ≤ 1 (0,1)x ∈ (0,1)x∈ 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x= − − ≤ − 2( ) ( 1) , (0,1)g x x x x= − ∈ 1( ) 3 ( 1)3g' x x x = − − ( ) 0g' x = 1 3x = x 1(0, )3 1 3 1( ,1)3 ( )g' x ( )g x 1 3x = ( )g x max 1 4( ) 3 27g x g = = (0,1)x∈ 4( ) ( ) 27f x g x≤ ≤ 4 27M ≤ ( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − =
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当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当
时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
5.解析 （1）设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当
时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2 π ,π2 π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = − ( )g x (0,π)
( )f x′ (0,π)
(π) π, (π) 0f a f =
( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ >
( )0,πx x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00,x ( )0,πx (0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x 0, [0,π]a x∈ ( )f x ax ( ,0]−∞ ( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − = π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2 π ,π2 π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = − ( )g x (0,π)
( )f x′ (0,π)
(π) π, (π) 0f a f =
( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ >
( )0,πx x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00,x ( )0,πx (0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x
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又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
6.解析（1） 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内
存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
7.解析（Ⅰ）由已知， 的定义域为 ，且
，
因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增.
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，
( )f x (0, )+∞
21 1 e( ) e ( 1)e
x
x x axf x a a xx x
′ − = − + − =
0a ≤ 21 e 0xax− > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
21( )
xax ef x x
′ −= 2( ) 1 xg x ax e= − 10 a e
< < ( )g x (0, )+∞ (1) 1 0g ae= − >
2 21 1 1 1ln 1 ln 1 ln 0g aa a a a
= − = − 0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ =
0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞
x α=
0 1xα > > 0
1 1 xα < < 1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff α α α α α α = − − − = = 1 α ( ) 0f x = ( )00, x ( ) 0f x =
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则 .
当 时 ， ， 所 以 在 内 单 调 递 增 ； 当
时， ，所以 在 内单调递减，因此
是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从
而当 时， ，所以 .
从而 ，
又因为 ，所以 在 内有唯一零点.又 在 内有唯一
零点 1，从而， 在 内恰有两个零点.
（ ii ） 由 题 意 ， 即 ， 从 而 ， 即
. 因 为 当 时 ， ， 又 ， 故
，两边取对数，得 ，于是
，
整理得 .
8.解析（Ⅰ）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（Ⅱ）由 ，得 ．
0
11 lnx a
< < ( )00,x x∈ ( )0( )( ) 0g xg xf x x x ′ = > = ( )f x ( )00, x
0( ),x x∈ +∞ ( )0( )( ) 0g xg xf x x x
′ = < = ( )f x 0( ),x +∞ 0x ( )f x ( ) ln 1h x x x= − + 1x > 1( ) 1 0h x x
′ = − < ( )h x (1, )+∞ 1x > ( ) ( )1 0h x h< = 1ln1 1 1 1 1 1ln ln ln ln 1 e ln ln ln 1 ln 0af a ha a a a a a = − − = − + = = ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( )00, x
( )f x (1, )+∞
( )
( )0
1
0,
0,
f x
f x
′ = = ( ) 1
2
0
1 1
1
ln 1
x
x
ax e
x a x e
= = −
1 01
1 2
0
1ln x xxx ex
−−=
1 0
2
0 1
1
ln
1
x x x xe x
− = − 1x > ln 1x x< − 1 0 1x x> >
( )
1 0
2
0 1 2
0
1
1e 1
x x x x xx
− −< =− 1 0 2 0ln lnx xe x− < ( )1 0 0 02ln 2 1x x x x− < < − 0 13 2x x− >
ln 1x x< − 3 4a = − 3( ) ln 1 , 04f x x x x= − + + >
3 1 ( 1 2)(2 1 1)( ) 4 2 1 4 1
x xf' x x x x x
+ − + += − + =
+ +
( )f x ∞
1(1) 2f a
≤ 20 4a< ≤
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当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，则
．
（i）当 时， ，则
．
记 ，则
.
故
1
0 +
单调递减
极小值
单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
20 4a< ≤ ( ) 2 xf x a ≤ 2 2 1 2ln 0x x xa a +− − ≥ 1t a = 2 2t ≥ 2( ) 2 1 2ln , 2 2g t t x t x x t= − + − ≥ ( ) (2 2) 8 4 2 1 2lng t g x x x≥ = − + − 1 ,7x ∈ +∞ 11 2 2x + ≤ ( ) (2 2) 8 4 2 1 2lng t g x x x≥ = − + − 1( ) 4 2 2 1 ln , 7p x x x x x= − + − ≥ 2 2 1 2 1 2 1( ) 1 1 x x x xp' x xx x x x + − − += − − = + + x 1 7 1( ,1)7 (1, )+∞ ( )p' x − ( )p x 1( )7p (1)p ( ) (1) 0p x p≥ = ( ) (2 2) 2 ( ) 0g t g p x≥ = ≥ 2 1 1,e 7x ∈ 1 2 ln ( 1)( ) 1 2 x x xg t g x x − − ++ = 2 1 1( ) 2 ln ( 1), ,e 7q x x x x x = + + ∈ ln 2( ) 1 0xq' x x += + >
( )q x 2
1 1,e 7
1( ) 7q x q
1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p = − < − =
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所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求 a 的取值范围是 ．
2010-2018 年
1．C【解析】由 ， 知， 在 上单调递增，
在 上单调递减，排除 A、B；又 ，
所以 的图象关于 对称，C 正确．
2．D【解析】由导函数的图象可知， 的单调性是减 增 减 增，排除 A、
C；由导函数的图象可知， 的极值点一负两正，所以 D 符合，选 D．
3．C【解析】函数 在 单调递增，
等价于
在 恒成立．
设 ，则 在 恒成立，
所以 ，解得 ．故选 C．
4．D【解析】因为 ，令 ， ，当
( )
2
1 ,ex ∈ +∞ [2 2, ), ( ) 0t g t∈ +∞
2
1 ,ex ∈ +∞ ( ) 2
xf x a
20, 4
2(1 )( ) (2 )
xf x x x
−′ = − 0 2x< < ( )f x (0,1) (1,2) (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x = ( )y f x= → → → ( )y f x= 1( ) sin2 sin3f x x x a x= − + ( , )−∞ +∞ 22 4 5( ) 1 cos2 cos cos cos 03 3 3f x x a x x a x′ = − + = − + + ( , )−∞ +∞ cos x t= 24 5( ) 03 3g t t at= − + + [ 1,1]− 4 5(1) 03 3 4 5( 1) 03 3 g a g a = − + + − = − − + 1 1 3 3a− 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 2x = ±
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时 ， 单调递增；当 时 ， 单调
递减；当 时 ， 单调递增．所以 ．故选 D．
5．D【解析】∵ ，∴ ，∵ 在（1，+ ）单调递增，
所以当 时， 恒成立，即 在（1，+ ）上恒成立，
∵ ，∴ ，所以 ，故选 D．
6．C【解析】由正弦型函数的图象可知： 的极值点 满足 ，
则 ，从而得 ．所以不等式
，即为 ，变形得 ，其中
．由题意，存在整数 使得不等式 成立．当 且
时，必有 ，此时不等式显然不能成立，故 或 ，此时，不等式
即为 ，解得 或 ．
7．C【解析】当 时，得 ，令 ，则 ，
，令 ， ，
则 ，显然在 上， ， 单调递
减，所以 ，因此 ；同理，当 时，得 ．由
以上两种情况得 ．显然当 时也成立，故实数 的取值范围为
．
8．C【解析】设 ，则 ，故 在 上有一个极值点，
即 在 上不是单调函数，无法判断 与 的大小，故 A、B 错；构造
函数 ， ，故 在 上单调递减，所以 ，
选 C．
9．B【解析】当 ，可得图象 D；记 ，
( , 2)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,2)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a =
( ) lnf x kx x= − 1( )f x k x
′ = − ( )f x ∞
1x > 1( ) 0f x k x
′ = − ≥ 1k x
≥ ∞
1x > 10 1x
< < k ≥1 ( )f x 0x 0( ) 3f x = ± 0 22 x km π π π= + ( )k Z∈ 0 1( ) ( )2x k m k Z= + ∈ ( )2 2 2 0 0[ ]x f x m+ < 2 2 21( ) 32k m m+ + < 2 1[1 ( )] 32m k− + >
k Z∈ k 2 1[1 ( )] 32m k− + > 1k ≠ − 0k ≠
21( ) 12k + > 1k = − 0k =
23 34 m > 2m < − 2m >
(0,1]x∈ 3 21 1 13( ) 4( )a x x x
− − +≥ 1t x
= [1, )t ∈ +∞
3 23 4a t t t− − +≥ ( )g t = 3 23 4t t t− − + [1, )t ∈ +∞
( ) 29 8 1 ( 1)(9 1)g x t t t t′ = − − + = − + − [1, )+∞ ( ) 0g t′ < ( )g t max( ) (1) 6g t g= = − 6a −≥ [ 2,0)x∈ − 2a −≤ 6 2a− −≤ ≤ 0x = a [ 6, 2]− − ( ) lnxf x e x= − 1( ) xf x e x ′ = − ( )f x (0,1) ( )f x (0,1) 1( )f x 2( )f x ( ) xeg x x = 2 ( 1)( ) xe xg x x −′ = ( )g x (0,1) ( ) ( )1 2g x g x>
0a = 2( ) 2
af x ax x= − +
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，
取 ， ，令 ，得 ，易知 的极小值为
，又 ，所以 ，所以图象 A 有可能；同理取 ，可
得图象 C 有可能；利用排除法可知选 B．
10．C【解析】若 则有 ，所以 A 正确。由 得
，因为函数 的对称中心为（0,0），
所以 的对称中心为 ,所以 B 正确。由三次函数的图象可知，
若 是 的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区间（ ∞, ）单调
递减是错误的，D 正确。选 C.
11．A【解析】若 在 上恒成立，则 ，
则 在 上无解；
同理若 在 上恒成立，则 。
所以 在 上有解等价于 在 上有解，
即 ，
令 ，所以 ，
所以 ．
12．D【解析】A． ，错误． 是 的极大值点，并不是
最大值点；B． 是 的极小值点．错误． 相当于 关于 y 轴的对称
图像，故 应是 的极大值点；C． 是 的极小值点．错误．
相当于 关于 轴的对称图像，故 应是 的极小值点．跟 没有关系；
D． 是 的极小值点．正确． 相当于 先关于 y 轴的对称，再
关于 轴的对称图像．故 D 正确．
13．B【解析】∵ ,∴ ,由 ，解得 ，又 ，
0c = (0) 0f = 3 2( )f x x ax bx c= + + +
3 2( )f x c x ax bx− = + + 3 2y x ax bx= + +
3 2( )f x x ax bx c= + + + (0, )c
0x ( )f x 0x 0x
0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≤ 0 0( 0)x x ≠ ( )f x
0x− ( )f x− ( )f x− ( )f x
0x− ( )f x− 0x− ( )f x− ( )f x−
( )f x 0x ( )f x− 0x−
0x− ( )f x− − ( )f x− − ( )f x
2 3 2( ) 2 ( )g x a x ax x a a R= − + + ∈
1
2a = 21 1( ) ( 1)2 4f x x= − − ( ) 0g x′ = 2 ,23x = ( )g x
1(2) 2g = 1(2) 4f = (2) (2)g f> 2a =
−
( )f x x> [0,1] ( ( )) ( )f f x f x x> >
( ( ))f f x x= [0,1]
( )f x x< [0,1] ( ( )) ( )f f x f x x< < ( ( ))f f x x= [0,1] ( )f x x= [0,1] 2 , [0,1]x xx e x a a e x x x= + − ⇔ = − + ∈ 2( ) , [0,1]xg x e x x x= − + ∈ '( ) 2 1 0, [0,1]xg x e x x= − + > ∈
[1, ]a e∈
x
x
21 ln2y x x= − 1y x x
′ = − 0y′ 1 1x− 0x >
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∴ 故选 B．
14．D【解析】 ， ， 恒成立，令 ，则
当 时， ，函数单调减，当 时， ，函数单调增，
则 为 的极小值点，故选 D．
15 ． D 【 解 析 】 ， 由 ， 即 ， 得
．
由 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号．选 D．
16．D【解析】若 为函数 的一个极值点，则易知 ，∵选项 A，B 的函数
为 ，∴ ，∴ 为
函数 的一个极值点满足条件；选项 C 中，对称轴 ，且开口向下，
∵ ，∴ ，也满足条件；选项 D 中，对称轴
，且开口向上，∴ ，∴ ，与题图矛盾，
故选 D．
17．D【解析】由题 不妨令 ，则 ，
令 解得 ，因 时， ，当 时，
，所以当 时， 达到最小．即 ．
18．3【解析】 ．
19．①④【解析】因为 在 上是单调递增的，所以对于不相等的实数 ，
恒成立，①正确；因为 ，所以
= ， 正 负 不 定 ， ② 错 误 ； 由 ， 整 理 得
．
( ) xf x xe= 0>xe 1−=x
1−x
1x = − ( )f x
0 1x< ( ) ( 1)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ >
2( ) 12 2 2f x x ax b′ = − − (1) 0f ′ = 12 2 2 0a b− − =
6a b+ =
0a > 0b > 2( ) 92
a bab
+ =≤ 3a b= =
1x = − ( ) xf x e a c=
2( ) ( 1)f x a x= + [ ( ) ] [ ( ) ( )] ( 1)( 3)x x xf x e f x f x e a x x e′= + = + + 1x = −
( ) xf x e 02
bx a
= − >
0, 0a b< > ( 1) 2 0f a b− = − < 02 bx a = − < 0, 2a b a> > ( 1) 2 0f a b− = − < 2| | lnMN x x= − ( 0)x > 2( ) lnh x x x= − 1'( ) 2h x x x
= −
'( ) 0h x = 2
2x = 2(0, )2x∈ '( ) 0h x < 2( , )2x∈ +∞ '( ) 0h x > 2
2x = | |MN 2
2t =
( ) (2 +3) , (0) 3xf x x e f′ ′= ∴ =
( ) 2xf x = R 1 2,x x
1 2
1 2
2 2 0
x x
m x x
−= >−
2( )g x x ax= +
2 2
1 1 2 2
1 2
( )x ax x axn x x
+ − += −
1 2x x a+ + m n=
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = −
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令函数 ，则 ，
令 ，则 ，又 ，
，从而存在 ，使得 ，
于是 有极小值 ，所以存
在 ，使得 ，此时 在 上单调递增，故不存在
不相等的实数 ，使得 ，不满足题意，③错误；由
得 ，即 ，设 ，
则 ，所以 在 上单调递增的，且当 时，
，当 时， ，所以对于任意的 ， 与
的图象一定有交点，④正确．
20．2【解析】由题意 ，令 得 或 ．
因 或 时， ， 时， ．
∴ 时 取得极小值．
21．【解析】(1) 的定义域为 ， ．
由题设知， ，所以 ．
从而 ， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
(2)当 时， ．
设 ，则
当 时， ；当 时， ．所以 是 的最小值点．
故当 时， ．
2( ) ( ) ( ) 2xp x f x g x x ax= − = − − ( ) 2 ln 2 2xp x x a′ = − −
( ) ( )t x p x′= 2( ) 2 (ln 2) 2xt x′ = − 2(1) 2(ln 2) 2 0t′ = − < 2(3) 8(ln 2) 2 0t′ = − > 0 (1,3)x ∈ 0 2
0( ) 2 (ln 2) 2 0xt x′ = − =
( )p x′ 0
0 0 2 2
2 2( ) 2 ln 2 2 2logln 2 (ln 2)
xp x x a a′ = − − = − −
2 2
22log (ln 2)a = − 2( ) 0ln 2p x′ = > ( )p x R
1 2,x x 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = −
m n= − ( ) ( )f x g x′ ′= − 2 ln 2 2xa x− = + ( ) 2 ln 2 2xh x x= +
2( ) 2 (ln 2) 2 0xh x′ = + > ( )h x R x → +∞
( )h x → +∞ x → −∞ ( )h x → −∞ a y a= − ( )y h x=
2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x =
0x < 2x > ( ) 0f x′ > 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x = ( )f x ( )f x (0 )+ ∞， 1( )′ = −xf x ae x (2) 0′ =f 2 1 2e =a 2 1( ) e ln 12e = − −xf x x 2 1 1( ) e2e ′ = −xf x x 0 2< f x
( )f x (0,2) (2, )+∞
1
e
≥a ( )≥f x e ln 1e
x
x− −
e( ) ln 1e
= − −
x
g x x e 1( ) e
x
g x x
′ = − ．
0 1< g x 1=x ( )g x
0>x ( ) (1) 0=≥g x g
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因此，当 时， ．
22．【解析】(1)函数 的导函数 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ．
由基本不等式得 ．
因为 ，所以 ．
由题意得 ．
设 ，
则 ，
所以
16
0 +
所以 在 上单调递增，
故 ，
即 ．
(2)令 ， ，则
，
所以，存在 使 ，
1
e
≥a ( ) 0≥f x
( )f x 1 1( )
2
f x xx
′ = −
1 2( ) ( )f x f x′ ′=
1 21 2
1 1 1 1
2 2x xx x
− = −
1 2x x≠
1 2
1 1 1
2x x
+ =
4
1 2 1 2 1 2
1 22 x x x x x x= + ≥
1 2x x≠ 1 2 256x x >
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1( ) ( ) ln ln ln( )2f x f x x x x x x x x x+ = − + − = −
1( ) ln2g x x x= −
1( ) ( 4)4g x xx
′ = −
x (0,16) (16, )+∞
( )g x′ −
( )g x 2 4ln 2−
( )g x [256, )+∞
1 2( ) (256) 8 8ln 2g x x g> = −
1 2( ) ( ) 8 8ln 2f x f x+ > −
(| | )a km e− += 2| | 1( ) 1an k
+= +
( ) | | 0f m km a a k k a− − > + − − ≥
1 | | 1( ) ( ) ( ) 0a af n kn a n k n knn n
+− − < − − − y kx a= + ( )y f x=
3=a 3 21( ) 3 3 33
= − − −f x x x x 2( ) 6 3′ = − −f x x x
( ) 0′ =f x 3 2 3= −x 3 2 3= +x
( ,3 2 3) (3 2 3, )∈ −∞ − + +∞x ( ) 0′ >f x
(3 2 3,3 2 3)∈ − +x ( ) 0′ x x ( ) 0=f x
3
2 3 01
− =+ +
x ax x
3
2( ) 31
= −+ +
xg x ax x
2 2
2 2
( 2 3)( ) 0( 1)
+ +′ = + + ≥x x xg x x x
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仅当 时 ，所以 在 单调递增．
故 至多有一个零点，从而 至多有一个零点．
又 ， ，
故 有一个零点．
综上， 只有一个零点．
24．【解析】(1)因为 ，
所以 ．
，
由题设知 ，即 ，解得 ．
(2)方法一：由(1)得 ．
若 ，则当 时， ；
当 时， ．
所以 在 处取得极小值．
若 ，则当 时， ，
所以 ．
所以 1 不是 的极小值点．
综上可知， 的取值范围是 ．
方法二： ．
(ⅰ)当 时，令 得 ．
随 的变化情况如下表：
1
+ 0 −
0=x ( ) 0′ =g x ( )g x ( , )−∞ +∞
( )g x ( )f x
2 21 1 1(3 1) 6 2 6( ) 03 6 6
− = − + − = − − − f a
( )f x
( )f x
2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + +
2( ) [ ( 1) 1]exf x ax a x′ = − + +
2(2) (2 1)ef a′ = −
(2) 0f ′ = 2(2 1)e 0a − = 1
2a =
2( ) [ ( 1) 1]e ( 1)( 1)ex xf x ax a x ax x′ = − + + = − −
1a > 1( ,1)x a
∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x 1x =
1a ≤ (0,1)x∈ 1 1 0ax x− −
( )f x
a (1, )+∞
( ) ( 1)( 1)exf x ax x′ = − −
0a = ( ) 0f x′ = 1x =
( ), ( )f x f x′ x
x ( ,1)−∞ (1, )+∞
( )f x′
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↗ 极大值 ↘
∴ 在 处取得极大值，不合题意．
(ⅱ)当 时，令 得 ．
①当 ，即 时， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 无极值，不合题意．
②当 ，即 时， 随 的变化情况如下表：
1
+ 0 − 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ 在 处取得极大值，不合题意．
③当 ，即 时， 随 的变化情况如下表：
+ 0 − 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ 在 处取得极小值，即 满足题意．
(ⅲ)当 时，令 得 ．
随 的变化情况如下表：
− 0 + 0 −
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴ 在 处取得极大值，不合题意．
( )f x
( )f x 1x =
0a > ( ) 0f x′ = 1 2
1 , 1ax x= =
1 2x x= 1a = 2( ) ( 1) e 0xf x x′ = − ≥
( )f x R
( )f x
1 2x x> 0 1a< < ( ), ( )f x f x′ x x ( ,1)−∞ 1(1, )a 1 a 1( , )a +∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1x = 1 2x x< 1a > ( ), ( )f x f x′ x
x 1( , )a
−∞ 1
a
1( ,1)a
1 (1, )+∞
( )f x′
( )f x
( )f x 1x = 1a >
0a < ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1ax x= = ( ), ( )f x f x′ x x 1( , )a −∞ 1 a 1( ,1)a 1 (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1x =
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综上所述， 的取值范围为 ．
25．【解析】(1) ， ．
因此曲线 在点 处的切线方程是 ．
(2)当 时， ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 ．因此 ．
26．【解析】(1)函数 ， ，则 ， ．
由 且 ，得 ，此方程组无解，
因此， 与 不存在“ 点”．
(2)函数 ， ，
则 ．
设 为 与 的“ 点”，由 且 ，得
，即 ，（*）
得 ，即 ，则 ．
当 时， 满足方程组（*），即 为 与 的“ 点”．
因此， 的值为 ．
(3)对任意 ，设 ．
因为 ，且 的图象是不间断的，
a (1, )+∞
2 (2 1) 2( ) ex
ax a xf x
− + − +′ = (0) 2f ′ =
( )y f x= (0, 1)− 2 1 0x y− − =
1a≥ 2 1( ) e ( 1 e )ex xf x x x + −+ + − +≥
2 1( ) 1 exg x x x ++ − +≥ 1( ) 2 1 exg x x +′ + +≥
1x < − ( ) 0g x′ < ( )g x 1x > − ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) ( 1)=0g x g −≥ ( ) e 0f x + ≥
( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − ( ) 1f x′ = ( ) 2 2g x x′ = +
( ) ( )f x g x= ( ) ( )f x g x′ ′=
2 2 2
1 2 2
x x x
x
= + −
= +
( )f x ( )g x S
2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x=
1( ) 2 ( )f x ax g x x
′ = ′ =，
0x ( )f x ( )g x S 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′=
2
0 0
0
0
1 ln
12
ax x
ax x
− =
=
2
0 0
2
0
1 ln
2 1
ax x
ax
− = =
0
1ln 2x = −
1
2
0 ex
−= 1
22
1 e
22(e )
a −
= =
e
2a =
1
2
0 ex
−= 0x ( )f x ( )g x S
a e
2
0a > 3 2( ) 3h x x x ax a= − − +
(0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a= > = − − + = −
2 e( ) ( )
xbf x x a g x x
= − + =，
2
e ( 1)( ) 2 ( )
xb xf x x g x x
−= − =′ ， ′
( ) ( )f x g x= ( ) ( )f x g x′ ′=
2
2
e
e ( 1)2
x
x
bx a x
b xx x
− + = −− =
0
0
3
2 0
0
3
0
2
0
2 e
e (1 )
2 e ( 1)2 e (1 )
x
x
x
x
xx a x x
x xx x x
− + = ⋅ − −− = ⋅ −
0x 0x ( )f x ( )g x (0,1) S
0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ S
3( ) ( 1)( 1)f x x x x x x= − + = − ( ) 3 1f x x′ = −
(0) 0f = (0)f ′
( )y f x= (0, (0))f (0) (0)( 0)y f f x′− = −
0x y+ =
3
2 2 2 2 2( ) ( 3)( )( 3) ( ) 9( )f x x t x t x t x t x t= − + − − − = − − −
3 2 3 2
2 2 2 23 (3 9) 9x t x t x t t= − + − − +
3 2
2 2( ) 3 6 3 9f x x t x t′ = − + − ( )f x′ 2 3x t= − 2 3x t= +
x ( )f x′ ( )f x
x
2 3t − 2 3t −
2 3t −
2 3t +
2 3t + 2 3t +
( )f x′
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↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 的极大值为 ；函数小值为
．
(3)曲线 与直线 有三个互异的公共点等价于关于 的方程
有三个互异的实数解，
令 ，可得 ．
设函数 ，则曲线 与直线 有三
个互异的公共点等价于函数 有三个零点．
．
当 时， ，这时 在 R 上单调递增，不合题意．
当 时， =0，解得 ， ．
易得， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值 = >0．
的极小值 =− ．
若 ，由 的单调性可知函数 至多有两个零点，不合题意．
若 即 ，
也就是 ，此时 ，
且 ，从而由 的
单调性，可知函数 在区间 内各有一个零点，符
合题意．
所以 的取值范围是
( )f x
( )f x 3
2( 3) ( 3) 9 ( 3) 6 3f t − = − − × − =
3
2( 3) ( 3) 9 3 6 3f t + = − × = −
( )y f x= 2( ) 6 3y x t= − − − x
2 2 2 2( )( )( ) ( ) 6 3 0x t d x t x t d x t− + − − − + − + =
2u x t= − 3 2(1 ) 6 3 0u d u+ − + =
3 2( ) (1 ) 6 3g x x d x= + − + ( )y f x= 2( ) 6 3y x t= − − −
( )y g x=
3 2( ) 3 (1 )g' x x d= + −
2 1d ≤ ( ) 0g' x ≥ ( )g' x
2 1d > ( )g' x
2
1
1
3
dx
−= −
2
2
1
3
dx
−=
( )g x 1( , )x−∞ 1 2[ , ]x x 2( , )x +∞
( )g x
2
1
1( ) ( )
3
dg x g
−= −
3
2 22 3( 1) 6 39
d − +
( )g x
2
2
1( ) ( )
3
dg x g
−=
3
2 22 3( 1) 6 39
d − +
2( ) 0g x ≥ ( )g x ( )y f x=
2( ) 0,g x < 3 2 2( 1) 27d − >
| | 10d > 2| |d x> (| |) | | 6 3 0,g d d= + >
3
12| | , ( 2 | |) 6 | | 2 | | 6 3 62 10 6 3 0d x g d d d− < − = − − + < − + < ( )g x ( )y g x= 1 1 2 2( 2 | |, ),( , ),( ,| |)d x x x x d− d ( , 10) ( 10, ).−∞ − +∞
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28．【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，
①若 ，则 ，在 单调递增．
②若 ，则由 得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增．
③若 ，则由 得 ．
当 时， ；当 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增．
（2）①若 ，则 ，所以 ．
②若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为
．从而当且仅当 ，即 时， ．
③若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为
．
从而当且仅当 ，即 时 ．
综上， 的取值范围为 ．
29．【解析】（1）
令 得 ， ．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．
所以 在 ， 单调递减，在 单
调递增．
( )f x ( , )−∞ +∞
2 2( ) 2 (2 )( )x x x xf x e ae a e a e a′ = − − = + −
0a = 2( ) xf x e= ( , )−∞ +∞
0a > ( ) 0f x′ = lnx a=
( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
0a < ( ) 0f x′ = ln( )2 ax = − ( ,ln( ))2 ax∈ −∞ − ( ) 0f x′ < (ln( ), )2 ax∈ − +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ,ln( ))2
a−∞ − (ln( ), )2
a− +∞
0a = 2( ) xf x e= ( ) 0f x ≥
0a > lnx a= ( )f x
2(ln ) lnf a a a= − 2 ln 0a a− ≥ 1a ≤ ( ) 0f x ≥
0a < ln( )2 ax = − ( )f x 2 3(ln( )) [ ln( )]2 4 2 a af a− = − − 2 3[ ln( )] 04 2 aa − − ≥ 3 42ea ≥ − ( ) 0f x ≥ a 3 4[ 2e ,1]− 2( ) (1 2 ) xf x x x e′ = − − ( ) 0f x′ = 1 2x = − − 1 2x = − + ( , 1 2)x∈ −∞ − − ( ) 0f x′ < ( 1 2, 1 2)x∈ − − − + ( ) 0f x′ >
( 1 2, )x∈ − + +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 1 2)−∞ − − ( 1 2, )− + +∞ ( 1 2, 1 2)− − − +
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（2） ．
当 时，设函数 ， ，因此 在 单
调递减，而 ，故 ，所以
．
当 时，设函数 ， ，所以 在
单调递增，而 ，故 ．
当 时， ， ，
取 ，则 ， ，
故 ．
当 时,取 ,则 , ．
综上， 的取值范围是 ．
30．【解析】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则当 时， ，故 在 单调递增.
若 ，则当 时， ；当 时， ．故
在 单调递增，在 单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 取得最大值，最大值为
．
所以 等价于 ，
即 ．
设 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递增，
( ) (1 )(1 ) xf x x x e= + −
1a≥ ( ) (1 ) xh x x e= − ( ) 0xh x xe′ = − < ( )h x [0, )+∞ (0) 1h = ( ) 1h x ≤ ( ) ( 1) ( ) 1 1f x x h x x ax= + + +≤ ≤ 0 1a< < ( ) 1xg x e x= − − ( ) 1 0( 0)xg x e x′ = − > > ( )g x
[0, )+∞ (0) 0g = 1xe x +≥
0 1x< < 2( ) (1 )(1 )f x x x> − + 2 2(1 )(1 ) 1 (1 )x x ax x a x x− + − − = − − −
0
5 4 1
2
ax
− −= 0 (0,1)x ∈ 2
0 0 0(1 )(1 ) 1 0x x ax− + − − =
0 0( ) 1f x ax< + 0a ≤ 0 5 1 2x −= 0 (0,1)x ∈ 2 0 0 0 0( ) (1 )(1 ) 1 1f x x x ax> − + = +≥
a [1, )+∞
( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)(2 1)( ) 2 2 1 x axf x ax ax x
+ +′ = + + + =
0a≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < 1(0, )2x a ∈ − ( ) 0f x′ > 1( , )2x a
∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1(0, )2a − 1( , )2a − +∞ 0a < ( )f x 1 2x a = − 1 1 1( ) ln( ) 12 2 4f a a a − = − − − − 3( ) 24f x a − −≤ 1 1 3ln( ) 1 22 4 4a a a − − − − −≤ 1 1ln( ) 1 02 2a a − + + ≤ ( ) ln 1g x x x= − + 1( ) 1g x x ′ = − (0,1)x∈ ( ) 0g x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1)
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在 单调递减.故当 时， 取得最大值，最大值为 ．所以当
时， ．从而当 时， ，即 ．
31．【解析】（I）由 ，可得
，
令 ，解得 ，或 ．由 ，得 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
所以， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
（II）（i）因为 ，由题意知 ，
所以 ，解得 ．
所以， 在 处的导数等于 0．
（ii）因为 ， ，由 ，可得 ．
又因为 ， ，故 为 的极大值点，由（I）知 ．
另一方面，由于 ，故 ，
由（I）知 在 内单调递增，在 内单调递减，
故当 时， 在 上恒成立，
从而 在 上恒成立．
由 ，得 ， ．
令 ， ，所以 ，
(1, )+∞ 1x = ( )g x (1) 0g = 0x >
( )g x ≤0 0a < 1 1ln( ) 1 02 2a a − + + ≤ 3( ) 24f x a − −≤ 3 2 4( ) 6 3 ( )f x x a xx a b= − − +− 2( ) 3 12 3 ( ) 3( )( (4 4 ))f ' x x a x aa xx a − = − − −= − − ( ) 0f ' x = x a= 4x a= − | | 1a ≤ 4a a< − x ( )f ' x ( )f x x ( , )a−∞ ( ),4a a− (4 , )a− +∞ ( )f ' x + − + ( )f x ( )f x ( , )a−∞ (4 , )a− +∞ ( ),4a a− ( ) e ( ( ) ( ))xx xg' f f ' x= + 0 0 0 0 ( ) e ( ) e x x x x g g' = = 0 00 0 0 0 0 ( )e e e ( ( ) ( )) ex x x x f f f x 'x x = + = 0 0 ( ) 1 ( ) 0 f ' x xf = = ( )f x 0x x= ( ) exg x ≤ 0 0[ 1 1],x x x∈ − + e 0x > ( ) 1f x ≤
0( ) 1f x = 0( ) 0f ' x = 0x ( )f x 0x a=
| | 1a ≤ 1 4a a+ < − ( )f x ( , )1a a− ( ), 1a a + 0x a= ( ) ( ) 1f fx a≤ = [ 1, 1]a a− + ( ) exg x ≤ 0 0,[ 1 1]x x− + 3 2( ) 6 3 ( ) 14a af a a a a b= −− − + = 3 22 6 1b a a= − + 1 1a− ≤ ≤ 3 2( ) 2 6 1t x x x= − + [ 1,1]x∈ − 2( ) 6 12t' x x x= −
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令 ，解得 （舍去），或 ．
因为 ， ， ，故 的值域为 ．
所以， 的取值范围是 ．
32．【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以
（Ⅱ）由
解得 或 ．
因为
x （ ，1） 1 （1， ） （ ， ）
- 0 + 0 -
↘ 0 ↗ ↘
又 ，
所以 在区间 上的取值范围是 ．
33．【解析】(1)由 ,得 .
当 时， 有极小值 .
因为 的极值点是 的零点.
所以 ，又 ，故 .
( ) 0t' x = 2x = 0x =
( 1) 7t − = − (1) 3t = − (0) 1t = ( )t x [ 7 ],1−
b [ 7 ],1−
1( 2 1) 1
2 1
x x
x
′− − = −
− ( )x xe e− −′ = −
1( ) (1 ) ( 2 1)
2 1
x xf x e x x e
x
− −′ = − − − −
−
(1 )( 2 1 2)
2 1
xx x e
x
−− − −=
−
1( )2x >
(1 )( 2 1 2)( ) 0
2 1
xx x ef x
x
−− − −′ = =
−
1x = 5
2x =
1
2
1
2
5
2
5
2
5
2
+∞
( )f x′
( )f x
21( ) ( 2 1 1) 02
xf x x e−= − − ≥
( )f x 1[ , )2
+∞
1
21[0, ]2 e
−
3 2( ) 1f x x ax bx= + + +
2
2 2( ) 3 2 3( )3 3
a af x x ax b x b′ = + + = + + −
3
ax = − ( )f x′
2
3
ab −
( )f x′ ( )f x
3 3
( ) 1 03 27 9 3
a a a abf − = − + − + = 0a >
22 3
9
ab a
= +
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因为 有极值，故 有实根，从而 ，即 .
时， ，故 在 R 上是增函数， 没有极值；
时， 有两个相异的实根 ， .
列表如下
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
故 的极值点是 .
从而 ，
因此 ，定义域为 .
（2）由（1）知， ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，故 ，即 ．
因此 ．
（3）由（1）知, 的极值点是 ，且 ， .
从而
( )f x ( )=0f x′
2
31 (27 a ) 03 9
ab a
− = − ≤ 3a ≥
3a = ( )>0( 1)f x x′ ≠ − ( )f x ( )f x
3a > ( )=0f x′
2
1
3= 3
a a bx
− − − 2
2
3= 3
a a bx
− + −
x 1( , )x− ∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x +∞
( )f x′
( )f x
( )f x 1 2,x x
3a >
22 3
9
ab a
= + (3, )+∞
2 3
9
b a a
a a a
= +
2 3( ) 9
tg t t
= +
2
2 2
2 2 2 27( ) 3 9
tg t t t
−′ = − =
3 6( , )2t ∈ +∞ ( ) 0g t′ > ( )g t 3 6( , )2
+∞
3a > 3 3a a > ( ) (3 3) 3g a a g> = 3b
a
>
2 3b a>
( )f x 1 2,x x 1 2
2
3x x a+ = −
2
2 2
1 2
4 6
9
a bx x
−+ =
3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1f x f x x ax bx x ax bx+ = + + + + + + +
2 2 2 21 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2(3 2 ) (3 2 ) ( ) ( ) 23 3 3 3
x xx ax b x ax b a x x b x x= + + + + + + + + + +
34 6 4 2 027 9
a ab ab−= − + =
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记 ， 所有极值之和为 ，
因为 的极值为 ，所以 ， .
因为 ，于是 在 上单调递减.
因为 ，于是 ，故 .
因此 的取值范围为 .
34．【解析】 (Ⅰ)
(i)设 ，则当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递减，在 单调递增.
(ii)设 ，由 得 或 ．
①若 ，则 ，所以 在 单调递增.
②若 ，则 ,故当 时， ；
当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单调递减.
③若 ，则 ，故当 时， ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单调递减.
(Ⅱ)(i)设 ，则由(I)知， 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，取 b 满足 b
( )( )ln 2 ,1x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )( ) ( ),ln 2 , 1,a−∞ − +∞ ( )( )ln 2 ,1a− 2 ea < − ( ) ( )( ),1 ln 2 ,x a∈ −∞ − +∞ ( )' 0f x >
( )( )1,ln 2x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )( ),1 , ln 2 ,a−∞ − +∞ ( )( )1,ln 2a− 0a > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞
( ) ( )1 2f e f a= − =， ln2 2
b a< ( )f x ( ) ( )2 xf x x e= − ( )f x 2 ea ≥ − ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )f x′ ( )h a ( )f x′ 2 21 3 3 9 ab a a − = − + 21 3( )= 9h a a a − + 3a >
2
2 3( )= 09h a a a
′ − − < ( )h a (3, )+∞ 7(6)= 2h − ( ) (6)h a h≥ 6a ≤ a (3 6]， ( )f x 1x = ln( 2 )x a= − ln( 2 ) 1a− < ln( 2 ) 1a− >
2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2
af b b a b a b b> − + − = − >
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又当 时， +
a xx x
( 1)( ) ln 1
−= − +
a xg x x x
2
2 2
1 2 2(1 ) 1( ) , (1) 0( 1) ( 1)
+ − +′ = − = =+ +
a x a xg x gx x x x
2≤a (1, )∈ +∞x 2 22(1 ) 1 2 1 0+ − + ≥ − + >x a x x x
( ) 0, ( )′ >g x g x (1, )∈ +∞x ( ) 0>g x
2>a ( ) 0′ =g x
2 2
1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1= − − − − = − + − −x a a x a a
2 1>x 1 2 1=x x 1 1 ( ) 0g x′ < ( )g x 11 ln c cc −< < 00 1x< < (0) (1) 0g g= = 0 1x< < ( ) 0g x >
(0,1)x∈ 1 ( 1) xc x c+ − >
( )f x (0, )+∞ 1( )f x ax
′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a > 1(0, )x a
∈ ( ) 0f x′ > 1( , )x a
∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1(0, )a 1( , )a +∞ 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x
1x a
= 1 1 1( ) ln (1 ) ln 1f a a aa a a
= + − = − + −
1( ) 2 2f aa
> − ln 1 0a a+ − < ( ) ln 1g a a a= + − ( )g a (0, )+∞ (1) 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a > ( ) 0g a >
a (0,1)
( )f x (0 + )∞， ( )2( )=2 0x af x e xx
′ − >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x′
0a > 2e x a
x
− ( )f x′ (0 + )∞，
( ) 0f x′ > b 0 4
ab< < 1 4b < ( ) 0f b′ < 0a > ( )f x′
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（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ；
当 时， ．
故 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
由于 ，所以 ．
故当 时， ．
39．【解析】（Ⅰ） = ， .
曲线 在点（0,2）处的切线方程为 ．
由题设得 ，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设 ，由题设知 ．
当 ≤ 0 时 ， ， 单 调 递 增 ，
，所以 =0 在 有唯一实根．
当 时，令 ，则 ．
， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 在 没有实根.
综上， =0 在 R 有唯一实根，即曲线 与直线 只有一个交点．
40．【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为
由 可得
所以当 时， ，函数 单调递减，
( )f x′ (0 + )∞， 0x 0(0 )x x∈ ， ( ) 0f x′ < 0( + )x x∈ ∞， ( ) 0f x′ >
( )f x 0(0 )x， 0( + )x ∞，
0x x= ( )f x 0( )f x
02
0
2e =0x a
x
− 0 0
0
2 2( )= 2 ln 2 ln2
af x ax a a ax a a
+ + +≥
0a > 2( ) 2 lnf x a a a
+≥
'( )f x 23 6x x a− + '(0)f a=
( )y f x= 2y ax= +
2 2a
− = − 1a =
3 2( ) 3 2f x x x x= − + +
( )g x ( ) 2f x kx= − + 3 23 (1 ) 4x x k x= − + − + 1 0k− >
x '( )g x 23 6 1 0x x k= − + − > ( )g x
( 1) 1 0, (0) 4g k g− = − < = ( )g x ( ],0−∞ 0x > 3 2( ) 3 4h x x x= − + ( )g x ( ) (1 ) ( )h x k x h x= + − >
2'( ) 3 6 3 ( 2)h x x x x x= − = − ( )h x (0,2) (2, )+∞
( ) ( ) (2) 0g x h x h> ≥ = ( ) 0g x = (0, )+∞
( )g x ( )y f x= 2y kx= −
( )y f x= (0, )+∞
2
4 2
2 2 1( ) ( )
x xe x xef x kx x x
⋅ −′ = − − + 3
( 2)( ) ( 0)
xx e kx xx
− −= >
0k ≤ 0xe kx− >
(0,2)x∈ ( ) 0f x′ < ( )y f x=
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所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 时， 在 内单调递减，
故 在 内不存在极值点；
当 时，设函数 ， ，因此 ．
当 时， 时 ，函数 单调递增
故 在 内不存在两个极值点；
当 时，
0
函数在 内存在两个极值点
当且仅当 ，解得
综上函数 在 内存在两个极值点时， 的取值范围为 ．
41．【解析】（Ⅰ） ，
由题设知 ，解得 ．
（Ⅱ） 的定义域为 ，由（Ⅰ）知， ，
（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调
递增，所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
(2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )y f x=
( )f x (0,2) ( )f x (2, )+∞
0k ≤ ( )f x (0,2)
( )f x (0,2)
0k > ( ) xg x e kx= − [0, )x∈ +∞ ln( ) x x kg x e k e e= − = −
0 1k< ≤ (0,2)x∈ ( ) 0xg x e k′ = − > ( )y g x=
( )f x (0,2)
1k >
x (0,ln )k ln k (ln , )k +∞
( )g x′ − +
( )g x
(0,2)
(0) 0
(ln ) 0
(2) 0
0 ln 2
g
g k
g
k
>
<
1 2 1 2, ( )x x x x< ( )g x
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则 ， ，
由 ，
所以 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
时， ，函数 单调递减，
综上可知，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调
递减，在 上单调递增．
43．【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）
1
( 1) 2 1a ax a
− + + += 2
( 1) 2 1a ax a
− + − +=
1
1 2 1a ax a
+ − += −
2 2 1 2 1 0a a a
a
+ + − += >−
1(0, )x x∈ '( ) 0, ( ) 0g x f x< < ( )f x 1 2( , )x x x∈ '( ) 0, ( ) 0g x f x> > ( )f x
2( , )x x∈ +∞ '( ) 0, ( ) 0g x f x< < ( )f x 0a ≥ ( )f x (0, )+∞ 1 2a ≤ − ( )f x (0, )+∞ 1 02 a− < < ( )f x ( 1) 2 1(0, )a a a − + + + ( 1) 2 1( , )a a a − + − + +∞ ( 1) 2 1 ( 1) 2 1( , )a a a a a a − + + + − + − + ' 2 2( ) 2 , 2 0 : 4 4 ,f x x x a x x a a= + + + + = ∆ = −方程 的判别式 '1 , 0, ( ) 0, ( ) ( , ) .a f x f x∴ ≥ ∆ ≤ ∴ ≥ −∞ +∞当 时 此时 在 上为增函数 21 , 2 0 1 1 ,a x x a a< + + = − ± −当 时 方程 的两根为 '( , 1 1 ) , ( ) 0, ( ) ,x a f x f x∈ −∞ − − − > ∴当 时 此时 为增函数
'( 1 1 , 1 1 ) , ( ) 0, ( ) ,x a a f x f x∈ − − − − + − '( ) 0f x > ( )f x (1 )+ ∞，
3( ) ( 3 )h x a x x= − + '( ) 3 ( 1)h x ax x= − −
0 1a x> >， '( ) 0h x < ( )h x (1 )x∈ + ∞， 0 [1 )x ∈ + ∞， 3 0 0 0( ) ( 3 )f x a x x< − + 1(1) e 2ef a= + < ( )1 1e2 ea > +
e-1
e 1 1
1ln ln lne (e 1)ln 1e
a
a
a a a a− −
−
= − = − − +
( ) (e 1)ln 1m a a a= − − + ( )e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2 e
am a aa a
− − −= − = > +，
( )1 1e e 12 e a+ < < − '( ) 0m a > ( )m a
e 1a > − '( ) 0m a < ( )m a ( )m a (1) (e) 0m m= = ea > ( ) 0m a < e 1 1eaa − −< ( )1 1e e2 e a+ < < ( ) 0m a < e 1 1eaa − −>
ea = ( ) 0m a = e 1 1eaa − −=
2( ) ( ) 2 4f x e ax a b x′ = + + − −（I ） (0) 4f = (0) 4f ′ =
4b = 8a b+ = 4a b= =
2) 4 ( 1) 4 ,xf x e x x x= + − −（
1( ) 4 ( 2) 2 4 4( 2)( ).2
x xf x e x x x e′ = + − − = + −
( ) 0f x′ = ln 2x = − 2x = −
( , 2) ( 1 2, )x n∈ −∞ − − +∞ ( ) 0f x′ > ( 2, 1 2)x n∈ − − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 2)−∞ − ( ln 2, )− +∞ ( 2, ln 2)− − 2x = − ( )f x 2( 2) 4(1 )f e−− = −
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46．【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， ①
当 或 时， ；当 时，
所以 在 ， 单调递减，在 单调递增．
故当 时， 取得极小值，极小值为 ；当 时， 取得极大
值，极大值为 ．
（Ⅱ）设切点为 ，则 的方程为
所以 在 轴上的截距为
由已知和①得 ．
令 ，则当 时， 的取值范围为 ；当
时， 的取值范围是 ．
所以当 时， 的取值范围是 ．
综上， 在 轴上截距的取值范围 ．
47．【解析】（Ⅰ）由 ，得 ．
又曲线 在点 处的切线平行于 轴，
得 ，即 ，解得 ．
（Ⅱ） ，
①当 时， ， 为 上的增函数，所以函数 无极值．
②当 时，令 ，得 ， ．
， ； ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值．
综上，当 时，函数 无极小值；
x
( ) 1 x
af x x e
= − + ( ) 1 x
af x e
′ = −
( )y f x= ( )( )1, 1f x
( )1 0f ′ = 1 0a
e
− = a e=
( ) 1 x
af x e
′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a=
( ),lnx a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )ln ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞
( )f x lnx a= ( )ln lnf a a=
0a ≤ ( )f x
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2xf x e x x−′ = − −
( ),0x∈ −∞ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( )0,2
0x = ( )f x ( )0 0f = 2x = ( )f x
( ) 22 4f e−=
( )( ),t f t l ( )( ) ( )y f t x t f t′= − +
l x ( ) ( )
( )
22 32 2
f t tm t t t tf t t t
= − = + = − + +′ − −
( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞
( ) ( )2 0h x x xx
= + ≠ ( )0,x∈ +∞ ( )h x [2 2, )+∞
( ), 2x∈ −∞ − ( )h x ( ), 3−∞ −
( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( )m t ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞
l ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞
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当 ， 在 处取得极小值 ，无极大值．
（Ⅲ）当 时，
令 ，
则直线 ： 与曲线 没有公共点，
等价于方程 在 上没有实数解．
假设 ，此时 ， ，
又函数 的图象连续不断，由零点存在定理，可知 在 上至少有一解，
与“方程 在 上没有实数解”矛盾，故 ．
又 时， ，知方程 在 上没有实数解．
所以 的最大值为 ．
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）当 时， ．
直线 ： 与曲线 没有公共点，
等价于关于 的方程 在 上没有实数解，即关于 的方程：
（*）
在 上没有实数解．
①当 时，方程（*）可化为 ，在 上没有实数解．
②当 时，方程（*）化为 ．
令 ，则有 ．
令 ，得 ，
当 变化时， 的变化情况如下表：
0a > ( )f x lnx a= ln a
1a = ( ) 11 xf x x e
= − +
( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 xg x f x kx k x e
= − − = − +
l 1y kx= − ( )y f x=
( ) 0g x = R
1k > ( )0 1 0g = > 1
1
1 11 01 k
g k e −
= − + ( ) 0g x = R
k 1
1a = ( ) 11 xf x x e
= − +
l 1y kx= − ( )y f x=
x 11 1 xkx x e
− = − + R x
( ) 11 xk x e
− =
R
1k = 1 0xe
= R
1k ≠ 1
1
xxek
=−
( ) xg x xe= ( ) ( )1 xg x x e′ = +
( ) 0g x′ = 1x = −
x ( )g x′
x ( ), 1−∞ − 1− ( )1,− +∞
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当 时， ，同时当 趋于 时， 趋于 ，
从而 的取值范围为 ．
所 以 当 时 ， 方 程 （ * ） 无 实 数 解 ， 解 得 的 取 值 范 围 是
．
综上，得 的最大值为 ．
48．【解析】（Ⅰ）函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令 f′(x)＝0，得 .
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（Ⅱ）证明：当 0＜x≤1 时，f(x)≤0.
设 t＞0，令 h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的 s∈(1，＋∞)，使得 t＝f(s)成立．
（Ⅲ）证明：因为 s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且 s＞1，从而
，
其中 u＝ln s.
( )g x′ − 0 +
( )g x
1
e
−
1x = − ( )min
1g x e
= − x +∞ ( )g x +∞
( )g x 1 ,e
− +∞
1 1,1k e
∈ −∞ − − k
( )1 ,1e−
k 1
1
e
x =
10,
e
1
e
1 ,
e
+∞
10,
e
1 ,
e
+∞
2
ln ( ) ln ln ln
ln ln ( ) ln( ln ) 2ln ln(ln ) 2 ln
g t s s s u
t f s s s s s u u
= = = =+ +
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要使 成立，只需 .
当 t＞e2 时，若 s＝g(t)≤e，则由 f(s)的单调性，有 t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以 s＞e，即 u＞1，从而 ln u＞0 成立．
另一方面，令 F(u)＝ ，u＞1.F′(u)＝ ，令 F′(u)＝0，得 u＝2.
当 1＜u＜2 时，F′(u)＞0；当 u＞2 时，F′(u)＜0.
故对 u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此 成立．
综上，当 t＞e2 时，有 .
49．【解析】：（Ⅰ）由题 在 上恒成立， 在 上恒成
立， ；
若 ，则 在 上恒成立， 在 上递增，
在 上没有最小值， ， 当 时， ，由于
在 递增， 时 ， 递增， 时 ，
递减，从而 为 的可疑极小点，由题 ， ，
综上 的取值范围为 ．
（Ⅱ）由题 在 上恒成立，
在 上恒成立， ，
由 得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
时， 最大值为 ，
又 时， ，
2 ln ( ) 1
5 ln 2
g t
t
< < 0 ln 2 uu< < ln 2 uu − 1 1 2u − ln 2 uu < 2 ln ( ) 1 5 ln 2 g t t < < 1'( ) 0f x ax = − ≤ ),1( +∞ 1a x ∴ ≥ ),1( +∞ 1a∴ ≥ '( ) xg x e a= − 0a ≤ '( ) 0xg x e a= − > ),1( +∞ )(xg ),1( +∞ ( )g x∴
),1( +∞ 0a∴ > lnx a= '( ) 0g x = '( ) xg x e a= −
),1( +∞ lnx a∴ > '( ) 0g x > )(xg lnx a< '( ) 0g x < )(xg lnx a= )(xg ln 1a > a e∴ >
a a e>
'( ) 0xg x e a= − ≥ ( 1, )− +∞
xe a∴ ≥ ( 1, )− +∞ 1a e
∴ ≤
( ) ln 0,( 0)f x x ax x= − = > ln ,( 0)xa xx
= >
ln( ) ,( 0)xh x xx
= > 2
1 ln'( ) ,( 0)xh x xx
−= >
0 x e< < '( ) 0h x > ln( ) ,( 0)xh x xx
= >
x e> '( ) 0h x < ln( ) ,( 0)xh x xx = >
x e∴ = ln( ) ,( 0)xh x xx
= > 1
e
0 1x< < ln( ) 0xh x x = 0 等价于
（ ） ①
令 ，则
由（Ⅰ）知，函数 在 单调递增．而 ，所以
在 存在唯一的零点，故 在 存在唯一的零点，设此零点为 ，则
．当 时， ；当 时， ，所以 在
的最小值为 ，又由 ，可得 ，所以
故①等价于 ，故整数 的最大值为 2．
x
y
1
e
eO
1x > ln( ) 0xh x x
= >
ln( ) ,( 0)xh x xx
= >
0a ≤ 1a e
= )(xf 10 a e
< < )(xf ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) xf x e a′ = − 0a ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞
0a > ( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
1a = ( )( 1) 1xx k e x− − + +
0x >
1
1x
xk xe
+< +− 0x >
1( ) 1x
xg x xe
+= +− 2 2
1 ( 2)( ) 1( 1) ( 1)
x x x
x x
xe e e xg x e e
− − − −′ = + =− −
( ) 2xh x e x= − − (0, )+∞ (1) 0, (2) 0h h< > ( )h x
(0, )+∞ ( )g x′ (0, )+∞ α
(1,2)α ∈ (0, )x α∈ ( ) 0g x′ < ( , )x α∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
(0, )+∞ ( )g α ( ) 0g α′ = 2eα α= + ( ) 1 (2,3)g α α= + ∈
( )k g α< k
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51．【解析】（Ⅰ）设 ；则
①当 时， 在 上是增函数
得：当 时， 的最小值为
②当 时，
当且仅当 时， 的最小值为
（Ⅱ）
由题意得：
52．【解析】（Ⅰ）由 = 可得 ，而 ，
即 ，解得 ；
（Ⅱ） ，令 可得 ，
当 时， ；当 时， ．
于是 在区间 内为增函数；在 内为减函数．
（Ⅲ）
=
因此对任意的 ， 等价于
设
所以 ，
因此 时， ， 时，
xe
kx +ln =′ )(xf xe
xkx ln1 −−
0)1( =′f
01 =−
e
k 1=k
=′ )(xf xe
xx ln11 −−
0)( =′ xf 1=x
10 −−=′ xxxf 1>x 0ln11)( x ( ) 21 −+< exg ( 1)xt e t= ≥ 2 2 2 2 1 1 1a ty at b y aat at at −′= + + ⇒ = − = 1a ≥ 0y′ > ⇒ 1y at bat
= + + 1t ≥
1( 0)t x= = ( )f x 1a ba
+ +
0 1a< < 1 2y at b bat = + + ≥ + 11( , ln )xat t e x aa = = = = − ( )f x 2b + 1 1( ) ( )x x x xf x ae b f x aeae ae ′= + + ⇒ = − 2 2 2 2 2 1 2(2) 3 3 3 1 3 1(2) 2 2 2 f ae b aae e f ae bae = + + = = ⇔ ⇔ ′ = − = = ( )f x 1(1 ln ), (0, )x x x x x xe + − − ∈ +∞ 2(1 ln ) (1 )1 xex x x ex −− − < ++ ( ) 1 ln , (0, )h x x x x x= − − ∈ +∞ 2( ) ln 2 (ln ln )h x x x e−′ = − − = − − 2(0, )x e−∈ ( ) 0, ( )h x h x′ >
2( , )x e−∈ +∞ ( ) 0, ( )h x h x′ <
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所以 ，故 ．
设 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，即
∴ ，对任意的 ， ．
53．【解析】（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故
即 ,解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
考虑函数 ，则
所以当 时， 故
当 时，
当 时，
从而当
54．【解析】（Ⅰ）因为
0>x ( ) 21 −+< exg 2 2 max( ) ( ) 1h x h e e− −= = + 2(1 ln ) 1x x x e−− − < + ( ) ( 1)xx e xϕ = − + 0( ) 1x xx e e eϕ′ = − = − 0x > ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( ) (0) 0xϕ ϕ> = 11
xe
x
>+
2(1 ln ) (1 )1
xex x x ex
−− − < ++ 2 2 1( ln ) '( ) ( 1) x x bxf x x x α + − = −+ 2 3 0x y+ − = 1 2 − (1,1) (1) 1, 1'(1) ,2 f f = = − 1, 1 ,2 2 b a b = − = − 1a = 1b = ln 1( ) 1 xf x x x = ++ )1ln2(1 1 1 ln)( 2 2 x xxxx xxf −+−=−= ( ) 2lnh x x= + x x 12 − ( 0)x >
2
2
2
22 )1()1(22)( x
x
x
xx
xxh
−−=−−−=′
1≠x ,0)1(,0)( =−> xhxxh 可得
),1( +∞∈x ;0)(1
1,0)( 2
>−< xhxxh 可得 .1 ln)(,01 ln)(,1,0 −>>−−≠>
x
xxfx
xxfxx 即且
2 2( ) ln . 0f x a x x ax x= − + >其中
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所以
由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为
（Ⅱ）【证明】：由题意得，
由（Ⅰ）知 内单调递增，
要使 恒成立，
只要 ，解得
55．【解析】（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 从而
，故：
（1）当 ；
（2）当
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为（0，1）；
当 时，函数 的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为 。
（Ⅲ）当 时，
由（Ⅱ）可得，当 在区间 内变化时， 的变化情况如下表：
－ 0 +
单调递减 极小值 1 单调递增 2
又 的值域为[1，2]．
由题意可得，若 ，则对每一个 ，直线 与曲线
2 ( )(2 )( ) 2a x a x af x x ax x
− +′ = − + = −
0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞
(1) 1 1,f a c a c= − ≥ − ≥即
( ) [1, ]f x e在
21 ( ) [1, ]e f x e x e− ≤ ≤ ∈对
2 2 2
(1) 1 1,
( )
f a e
f e a e ae e
= − ≥ −
= − + ≤
.a e=
( ) 2 2,f e b= =得
( ) 2 ln .f x ax ax x= − + + '( ) ln .f x a x=
0a ≠因为
0 , ( ) > 0 >1 ( ) < 0 < 时 由 得 , 由 得0 1
0 , '( ) 0 0 1, '( ) 0 1.a f x x f x x< > < < < >时 由 得 由 得
0a > ( )f x (1, )+∞
0a > ( )f x (1, )+∞
1a = ( ) 2 ln , '( ) ln .f x x x x f x x= − + + =
x 1( , )ee '( ), ( )f x f x
x 1
e
1( ,1)e 1 (1, )e e
'( )f x
( )f x 22 e
−
2 12 2, '( ) ( [ , ])f x x ee e
− < = ∈所以函数 1, 2 m M = = [ , ]t m M∈ y t=
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都有公共点．并且对每一个 ，
直线 与曲线 都没有公共点．
综 上 ， 当 时 ， 存 在 最 小 的 实 数 =1 ， 最 大 的 实 数 =2 ， 使 得 对 每 一 个
，直线 与曲线 都有公共点．
56．【解析】（Ⅰ） 时， ，
。当 时 ;当
时， ;当 时， 。故 在 ， 单调增加，
在（ 1，0）单调减少．
（Ⅱ） 。令 ，则 。若 ，则
当 时， ， 为减函数，而 ，从而当 x≥0 时 ≥
0，即 ≥0．
若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，
从而当 时 ＜0，即 ＜0．
综合得 的取值范围为 ．
1( )( [ , ])y f x x ee
= ∈ ( , ) ( , )t m M∈ −∞ +∞
y t= 1( )( [ , ])y f x x ee
= ∈
1a = m M
[ , ]t m M∈ y t= 1( )( [ , ])y f x x ee
= ∈
1
2a = 21( ) ( 1) 2
xf x x e x= − −
'( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x= − + − = − + ( ), 1x∈ −∞ − '( )f x > 0 ( )1,0x∈ −
'( ) 0f x < ( )0,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞
−
( ) ( 1 )af x x x ax= − − ( ) 1ag x x ax= − − '( ) xg x e a= − 1a ≤
( )0,x∈ +∞ '( )g x > 0 ( )g x (0) 0g = ( )g x
( )f x
a >1 ( )0,lnx a∈ '( )g x < 0 ( )g x (0) 0g = ( )0,lnx a∈ ( )g x ( )f x a ( ],1−∞
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