2020年中考数学一模试卷 【解析版】

2020 年南京市中考数学一模试卷 一、选择题 1．“鼓楼 e 学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云 服务”，课程日均访问量达 1200000，用科学记数法表示 1200000 是（  ） A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105 2． 表示 4 的（  ） A．平方 B．平方根 C．算术平方根 D．立方根 3．数轴上，点 A、B 分别表示﹣1、7，则线段 AB 的中点 C 表示的数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知 5≤ ≤7，4≤ ≤6，则 的整数部分可以是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．某班 37 名同学中只有 1 位同学身高是 165cm．若除甲、乙外其余 35 名同学身高的平 均数和中位数都是 165cm，则该班 37 名同学身高的平均数 a 和中位数 b（单位：cm） ，不可能是（  ） A．a＞165，b＝165 B．a＜165，b＝165 C．a＜165，b＝164 D．a＝165，b＝166 6．如图，A、B 两地相距 am，它们之间有一半径为 r 的圆形绿地（r＜ ），绿地圆心位 于 AB 连线的中点 O 处，分别过 A、B 作⊙O 的切线相交于 C，切点分别为 D、E．现 规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿 ）→D→A，则下列说法正确 的是（  ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答趣卡相应位置上） 7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：   ． 8．若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是   ． 9．计算 的结果是   ． 10．解方程 ＝ 得   ． 11．已知方程 2x2+4x﹣3＝0 的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2＝   ，x1x2＝   ． 12．一组数据 2，3，2，3，5 的方差是   ． 13．若正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象都经过点（2，3），则k1x＝ 的解是   ． 14．如图，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，连接 BD、OD，则∠BDO＝   °． 15．如图，BC 是⊙O 的切线，D 是切点．连接 BO 并延长，交⊙O 于点 E、A，过 A 作 AC ⊥BC，垂足为 C．若 BD＝8，BE＝4，则 AC＝   ． 16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小 正方体的棱长为 1，则搭成的几何体的表面积是   ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算 ． 18．（1）解不等式 5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来． （2）写出一个实数 k，使得不等式 x＜k 和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个 整数解． 19．如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交直线 AB、CD 于点 G、H，GI、HI 分别平分∠BGH 、∠GHD． （1）求证 GI⊥HI． （2）请用文字概括（1）所证明的命题：   ． 20．如图是某区 1500 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长 的统计图． （1）根据图 1，计算该区 1500 名学生的近视率； （2）根据图 2，从两个不同的角度描述该区 1500 名学生各年级近视率的变化趋势； （3）根据图 1、图 2、图 3，描述该区 1500 名学生近视率和所在学段（小学、初中）、 每节课课间户外活动平均时长的关系． 21．（1）不透明的袋子A 中装有红球 1 个、白球 1 个，不透明的袋子 B 中装有红球 1 个、 白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的 两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为 ，乙正确的概率为 ，则甲乙恰有 一人正确的概率是   ． 22．点 E、F 分别是菱形 ABCD 边 BC、CD 上的点． （1）如图，若 CE＝CF，求证 AE＝AF； （2）判断命题“若 AE＝AF，则 CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图 上画出反例． 23．某工厂生产 A、B、C 三种产品，这三种产品的生产数量均为 x 件．它们的单件成本和 固定成本如表： 产品 单件成本（元/件） 固定成本（元） A 0.1 1100 B 0.8 a C b（b＞0） 200 （注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本） （1）若产品 A 的总成本为 yA，则 yA 关于 x 的函数表达式为   ． （2）当 x＝1000 时，产品 A、B 的总成本相同． ①求 a； ②当 x≤2000 时，产品 C 的总成本最低，求 b 的取值范围． 24．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为 D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O 的半径； （2）求 AD 的长． 25．如图，用一个平面去截正方体 ABCDEFGH，得到了三棱锥 S﹣DPQ．若∠SPD＝45° ，∠SQD＝37°，PQ＝1，求 SD 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37 °≈0.75．） 26．已知 y 是 x 的二次函数，该函数的图象经过点 A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）． （1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题： ①当 1≤x≤4 时，y 的取值范围是   ； ②当 m≤x≤m+3 时，求 y 的最大值（用含 m 的代数式表示）； ③是否存在实数 m、n（m≠n），使得当 m≤x≤n 时，m≤y≤n？若存在，请求出 m、 n；若不存在，请说明理由． 27．如图，已知矩形纸片 ABCD，怎样折叠，能使边 AB 被三等分？ 以下是小红的研究过程． 思考过程 要使边 AB 被三等分，若从边 DC 上考虑，就是要折出 DM＝ DC， 也就是要折出 DM＝ AB， 当 DB、AM 相交于 F 时，即要折出对角线上的 DF＝ DB．那么… 折叠方法和示意 图 ①折出 DB；对折纸片，使 D、B 重合，得到的折痕与 DB 相交于点 E；继续折叠纸片，使 D、B 与 E 重合，得到的折痕与 DB 分别相交 于点 F、G； ②折出 AF、CG，分别交边 CD、AB 于 M、Q； ③过 M 折纸片，使 D 落在 MC 上，得到折痕 MN，则边 AB 被 N、 Q 三等分． （1）整理小红的研究过程，说明 AN＝NQ＝QB； （2）用一种与小红不同的方法折叠，使边 AB 被三等分．（需简述折叠方法并画出示意 图） 参考答案及解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．“鼓楼 e 学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云 服务”，课程日均访问量达 1200000，用科学记数法表示 1200000 是（  ） A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×106 D．12×105 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a| ＜10，确定 a 与 n 的值是解题的关键． 解：1200000＝1.2×106． 故选：C． 2． 表示 4 的（  ） A．平方 B．平方根 C．算术平方根 D．立方根 【分析】根据算术平方根的定义计算可得． 解： 表示 4 的的算术平方根， 故选：C． 3．数轴上，点 A、B 分别表示﹣1、7，则线段 AB 的中点 C 表示的数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】数轴上点 A 所表示的数为 a，点 B 所表示的数为 b，则 AB 的中点所表示的数 为 ． 解：线段 AB 的中点 C 表示的数为： ＝3， 故选：B． 4．已知 5≤ ≤7，4≤ ≤6，则 的整数部分可以是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得 的整数部分． 解：∵5≤ ≤7，4≤ ≤6， ∴25≤a≤49，16≤b≤36， ∴41≤a+b≤85， 则 的整数部分可以是 6，7，8，9． 故选：A． 5．某班 37 名同学中只有 1 位同学身高是 165cm．若除甲、乙外其余 35 名同学身高的平 均数和中位数都是 165cm，则该班 37 名同学身高的平均数 a 和中位数 b（单位：cm） ，不可能是（  ） A．a＞165，b＝165 B．a＜165，b＝165 C．a＜165，b＝164 D．a＝165，b＝166 【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可． 解：因为 35 名同学身高的平均数和中位数都是 165cm，且只有 1 位同学身高是 165cm ， 所以该班 37 名同学身高的平均数 a＝165，中位数 b＝166， 故选：D． 6．如图，A、B 两地相距 am，它们之间有一半径为 r 的圆形绿地（r＜ ），绿地圆心位 于 AB 连线的中点 O 处，分别过 A、B 作⊙O 的切线相交于 C，切点分别为 D、E．现 规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿 ）→D→A，则下列说法正确 的是（  ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即 EC+CD 与 的大小即 可． 解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为： BE+EC+CD+DA； ②B→E→（沿 ）→D→A，所走的路程为： BE+ +DA； ∵EC+CD＞ ， ∴BE+EC+CD+DA＞BE+ +DA， 即①＞②． 故选：A． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答趣卡相应位置上） 7．写出一个数，使这个数等于它的倒数： 1 ． 【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1． 解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1． 故答案为：1． 8．若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 ． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 解：若 在实数范围内有意义， 则 x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1． 9．计算 的结果是 2  ． 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案． 解：原式＝ + ＝2 ． 故答案为：2 ． 10．解方程 ＝ 得 x＝9 ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解． 解：去分母得：2x＝3x﹣9， 解得：x＝9， 经检验 x＝9 是分式方程的解． 故答案为：x＝9． 11．已知方程 2x2+4x﹣3＝0 的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2＝ ﹣2 ，x1x2＝ ﹣  ． 【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出 x1+x2 和 x1x2 的值． 解：∵x1、x2 是方程 2x2+4x﹣3＝0 的两根， ∴x1+x2＝﹣ ＝﹣2，x1x2＝ ＝﹣ ． 故答案为：﹣2；﹣ ． 12．一组数据 2，3，2，3，5 的方差是 1.2 ． 【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝ [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+… +（xn﹣ ）2]． 解： ＝（2+3+3+3+5）÷5＝3， S2＝ [（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2． 故填答案为 1.2． 13．若正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象都经过点（2，3），则k1x＝ 的解是 2 或﹣2 ． 【分析】两个函数 的图象都经过点（2，3），即 k1x＝ 的一个解为 x＝2，根据正 比例函数点的对称性，则另外一个解为 x＝﹣2，即可求解． 解：两个函数 的图象都经过点（2，3），即 k1x＝ 的一个解为 x＝2， 根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为 x＝﹣2， 故答案为 2 或﹣2． 14．如图，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，连接 BD、OD，则∠BDO＝ 18 °． 【分析】连接 OB，OC，可求出∠BOC 和∠COD 的度数，则∠BOD 的度数可知，因为 OB ＝OD，进而可求出∠BDO 的度数． 解：连接 OB，OC， ∵点 O 是正五边形 ABCDE 的中心， ∴∠BOC＝∠COD＝ ＝72°， ∴∠BOD＝2×72°＝144°， ∵OB＝OC， ∴∠BDO＝∠OBD＝ ＝18°， 故答案为：18． 15．如图，BC 是⊙O 的切线，D 是切点．连接 BO 并延长，交⊙O 于点 E、A，过 A 作 AC ⊥BC，垂足为 C．若 BD＝8，BE＝4，则 AC＝ 9.6 ． 【分析】连接 OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出 AE，证明△BDO∽△BCA， 求出 AC． 解：连接 OD、AD、ED， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ODB＝90°， ∴∠ODE+∠BDE＝90°， ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵OD＝OE ∴∠ODE＝∠OED， ∴∠BDE＝∠BAD， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAD， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，AE＝12， ∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B， ∴△BDO∽△BCA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，AC＝9.6， 故答案为：9.6． 16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小 正方体的棱长为 1，则搭成的几何体的表面积是 28 或 30 ． 【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多 的正方体的个数，相加解答即可． 解：搭这样的几何体最少需要 4+1+2＝7 个小正方体，最多需要 4+2+2＝8 个小正方 体， 所以搭成的几何体的表面积是 4×7＝28 或 4×8﹣2＝30， 故答案为：28 或 30． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算 ． 【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ． 18．（1）解不等式 5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来． （2）写出一个实数 k，使得不等式 x＜k 和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个 整数解． 【分析】（1）先去括号，再移项得到 5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为 1 即可， 再用数轴表示解集即可求解． （2）根据题意可得 0＜k≤1 满足条件，依此写出即可求解． 解：（1）5x+2≥3（x﹣1）， 去括号得 5x+2≥3x﹣3， 移项得 5x﹣3x≥﹣3﹣2， 合并得 2x≥﹣5， 系数化为 1 得 x≥﹣2.5， 用数轴表示为： （2）∵一个实数 k，使得不等式 x＜k 和（1）中的不等式组成的不等式组恰有 3 个整数 解， ∴0＜k≤1， ∴k＝1 满足条件． 19．如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交直线 AB、CD 于点 G、H，GI、HI 分别平分∠BGH 、∠GHD． （1）求证 GI⊥HI． （2）请用文字概括（1）所证明的命题： 两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直 ． 【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I 的度数，再说 明两直线的关系． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠BGH+∠GHD＝180°． ∵∠HGI＝ HGB，∠GHI＝ GHD， ∴∠HGI+∠GHI＝ ∠HGB+ GHD ＝ （∠HGB+∠GHD） ＝90°． ∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°， ∴∠I＝90°． ∴GI⊥HI． （2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直． 故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直． 20．如图是某区 1500 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长 的统计图． （1）根据图 1，计算该区 1500 名学生的近视率； （2）根据图 2，从两个不同的角度描述该区 1500 名学生各年级近视率的变化趋势； （3）根据图 1、图 2、图 3，描述该区 1500 名学生近视率和所在学段（小学、初中）、 每节课课间户外活动平均时长的关系． 【分析】（1）根据近视率＝ 计算即可． （2）利用图 2 中的信息解决问题即可． （3）根据图 3 解决问题即可． 解：（1）该区 1500 名学生的近视率＝ ＝52%． （2）①近视率随年级的增高而增高． ②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大． （3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少， 近视率也随之上升． 21．（1）不透明的袋子 A 中装有红球 1 个、白球 1 个，不透明的袋子 B 中装有红球 1 个 、白球 2 个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出 的两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为 ，乙正确的概率为 ，则甲乙恰有 一人正确的概率是   ． 【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数 ，然后根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到 结论． 解：（1）画树状图如下： 共有 6 种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有 3 种， 则摸出的两个球颜色不同的概率是 ＝ ； （2）甲正确乙不正确的概率为 （1﹣ ）＝ ， 甲不正确乙正确的概率为（1﹣ ）× ＝ ， ∴甲乙恰有一人正确的概率是 + ＝ ， 故答案为： ． 22．点 E、F 分别是菱形 ABCD 边 BC、CD 上的点． （1）如图，若 CE＝CF，求证 AE＝AF； （2）判断命题“若 AE＝AF，则 CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图 上画出反例． 【分析】（1）连接 AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 解：（1）连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ACE＝∠ACF， 在△ACE 与△ACF 中 ， ∴△ACE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF， （2）当 AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图， 所以命题“若 AE＝AF，则 CE＝CF”是假命题． 23．某工厂生产 A、B、C 三种产品，这三种产品的生产数量均为 x 件．它们的单件成本和 固定成本如表： 产品 单件成本（元/件） 固定成本（元） A 0.1 1100 B 0.8 a C b（b＞0） 200 （注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本） （1）若产品 A 的总成本为 yA，则 yA 关于 x 的函数表达式为 y＝0.1x+1100 ． （2）当 x＝1000 时，产品 A、B 的总成本相同． ①求 a； ②当 x≤2000 时，产品 C 的总成本最低，求 b 的取值范围． 【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品 A 的总成 本为 yA，则 yA 关于 x 的函数表达式； （2）①根据题意列方程解答即可； ②取 x＝2000 时，即可得出 b 的取值范围． 解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100； 故答案为：y＝0.1x+1100． （2）①由题意得 0.8×1000+a＝0.1×1000+1100， 解得 a＝400； ②当 x＝2000 时，yC≤yA 且 yC≤yB， 即 2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100， 解得：0＜b≤0.55． 24．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为 D，BD＝6，DC＝4． （1）求⊙O 的半径； （2）求 AD 的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求 出 OB； （2）连接 OA，过点 O 作 OE⊥AD 于 E，OF⊥BC 于 F，根据垂径定理求出 DF，根据 等腰直角三角形的性质求出 OF，根据勾股定理求出 AE，结合图形计算得到答案． 解：（1）如图 1，连接 OB、OC， ∵BD＝6，DC＝4， ∴BC＝10， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴OB＝ BC＝5 ； （2）如图 2，连接 OA，过点 O 作 OE⊥AD 于 E，OF⊥BC 于 F， ∴BF＝FC＝5， ∴DF＝1， ∵∠BOC＝90°，BF＝FC， ∴OF＝ BC＝5， ∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC， ∴四边形 OFDE 为矩形， ∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5， 在 Rt△AOE 中，AE＝ ＝7， ∴AD＝AE+DE＝12． 25．如图，用一个平面去截正方体 ABCDEFGH，得到了三棱锥 S﹣DPQ．若∠SPD＝45° ，∠SQD＝37°，PQ＝1，求 SD 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37 °≈0.75．） 【分析】在直角三角形 SDP 中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即 SD ＝PD，在 Rt 三角形 SDQ 中，利用锐角三角函数定义表示出 DQ，在直角三角形 PDQ 中，利用勾股定理求出所求即可． 解：在 Rt△SPD 中，∠SPD＝45°， ∴SD＝PD， 在 Rt△SDQ 中，∠SDQ＝37°， ∴tan37°＝ ＝0.75， ∴DQ＝ SD＝ PD， 在 Rt△PDQ 中， PQ＝ ＝ SD＝1， ∴SD＝ ． 26．已知 y 是 x 的二次函数，该函数的图象经过点 A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）． （1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2）结合图象，回答下列问题： ①当 1≤x≤4 时，y 的取值范围是 1≤y≤5 ； ②当 m≤x≤m+3 时，求 y 的最大值（用含 m 的代数式表示）； ③是否存在实数 m、n（m≠n），使得当 m≤x≤n 时，m≤y≤n？若存在，请求出 m、 n；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象； （2）①根据函数图象找出横坐标由 1 到 4 的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围； ②先求出对称轴 x＝﹣ ，分两种情况：﹣ ﹣m≥m+3﹣（﹣ ）或﹣ ﹣m＜ m+3﹣（﹣ ），根据二次函数的性质求 y 的最大值便可； ③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出 a 的值，即可得出 m，n 的值． 解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则 ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … 描点、连线， （2）①由函数图象可知，当 1≤x≤4 时，1≤y≤5， 故答案为：1≤y≤5； ②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5， ∴对称轴为 x＝2， 当 2﹣m≤m+3﹣2，即 m≥ 时，则在 m≤x≤m+3 内，当 x＝m+3 时，y 有最大值为 y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2； 当 2﹣m＞m+3﹣2，即 m＜ 时，则在 m≤x≤m+3 内，当 x＝m 时，y 有最大值为 y ＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5； ③由已知可得图象过（a，a）点， ∴a＝a2﹣4a+5， 解得，a＝ ， ∵当 m≤x≤n 时，m≤y≤n， ∴可以取 m＝ ，n＝ ． 27．如图，已知矩形纸片 ABCD，怎样折叠，能使边 AB 被三等分？ 以下是小红的研究过程． 思考过程 要使边 AB 被三等分，若从边 DC 上考虑，就是要折出 DM＝ DC， 也就是要折出 DM＝ AB， 当 DB、AM 相交于 F 时，即要折出对角线上的 DF＝ DB．那么… 折叠方法和示意 ①折出 DB；对折纸片，使 D、B 重合，得到的折痕与 DB 相交于点 图 E；继续折叠纸片，使 D、B 与 E 重合，得到的折痕与 DB 分别相交 于点 F、G； ②折出 AF、CG，分别交边 CD、AB 于 M、Q； ③过 M 折纸片，使 D 落在 MC 上，得到折痕 MN，则边 AB 被 N、 Q 三等分． （1）整理小红的研究过程，说明 AN＝NQ＝QB； （2）用一种与小红不同的方法折叠，使边 AB 被三等分．（需简述折叠方法并画出示意 图） 【分析】（1）由折叠的性质可得 DF＝ DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可 得 DM＝ AB，可得 AN＝ AB，同理可求 QB＝ AB，可得结论； （2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得 AF＝BF＝DE＝EC＝ CD，AN＝DM＝ NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得 ，由平行线分线段成比例可得 AN＝ MC＝DM，即可证 AN＝NQ＝QB． 解：（1）由折叠的性质可得，DF＝ DB，四边形 ADMN 是矩形， ∴DM＝AN， ∵CD∥AB， ∴△DFM∽△BAF， ∴ ＝ ， ∴DM＝ AB， ∴AN＝ AB， 同理可求 QB＝ AB， ∴AN＝NQ＝QB； （2）如图， ①将矩形 ABCD 对折，使 AD 与 BC 重合，折痕为 EF； ②连接 AC，DF，交点为 G， ③过点 G 折叠矩形 ABCD，使点 D 落在 CE 上，对应点为 E， 使点 A 落在 BF 上，对应点为 Q，折痕为 MN； ∴点 N，点 Q 为 AB 的三等分点． 理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝ CD，AN＝DM＝NQ， ∵AB∥CD， ∴△AGF∽△CGD， ∴ ， ∵AB∥CD， ∴ ， ∴AN＝ MC＝DM， ∴AN＝DM＝ CD＝ AB， ∴NQ＝ AB， ∴AN＝NQ＝QB．