文科数学
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）
1．已知 （ 虚数单位， ）， ，则 （ ）
A. 3 B. C. D. 1
2．已知单位向量 、 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 5
3．给出两个命题： ：“事件 与事件 对立”的充要条件是“事件 与事件 互斥”； ：
偶函数的图象一定关于 轴对称，则下列命题是假命题的是（ ）
A. 或 B. 且 C. 或 D. 且
4．过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为（ ）
A. B. 1 C. D.
5．执行如图所示程序框图，输出的 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6．函数 在区间 上的最小值是
（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
7．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数 在区间 上单调递增，若 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．已知等比数列 ， ， ，且 ，则 的取值范
围是（ ）
为z a bi= + i ,a b∈R ( )( )1 1 2i ai b i+ − = + z =
5 2
a b ( ) ( )2 2a b a b+ ⋅ −
3 5
p A B A B q
y
p q p q p¬ q p¬ q
( )1,0 30 ( )2 22 1x y− + =
3
2 3 2 3
k =
2( ) 2sin 4f x x
π = + 2sin cos4 4x x
π π + − − 42
3,
π π
1 2−
7
3
π ( )4 2 π+ 6π ( )5 2 π+
( )f x [ ]2 2− , ( ) ( )( )2 4log log 2f m f m< + m 1 ,24 1 ,14 ( ]1,4 [ ]2,4 { }na 1 1a = 4 1 8a = 1 2 2 3 1n na a a a a a k++ +⋅⋅⋅+ < k
A. B. C. D.
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 ，则不等
式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
11．正方体 棱长为 3，点 在边 上，且满足 ，动点
在正方体表面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹的周长为（ ）
A. B. C. D.
12．已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C
交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()
A.16 B.14 C.12 D.10
二.填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13．已知集合 ， ，则 __________．
14．学校为了调查学生在课外读物方面 支出情况，抽出了一个容量为
的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 元的同学
有 30 人，则 的值为__________．
15．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，
P 是腰 DC 上的动点，则|PA→
＋3PB→
|的最小值为________.
16．已知 ， ，若存在实数 同时满足
和 ，则实数 t 的取值范围是______．
三．解答题
17.（12 分）已知在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 ，
.
（1）求角 ；
的
1 2,2 3
1 ,2
+∞
1 2,2 3
2 ,3
+∞
R ( )f x (3) 16f = ( )f x '( ) 4 1f x x< − 2( ) 2 1f x x x< − + { }| 3 3x x− < < { }| 3x x > − { }| 3x x > { }| 3 3x x x< − >或
1 1 1 1ABCD A B C D− E BC 2BE EC= M
1ME BD⊥ M
6 2 4 3 4 2 3 3
{ }2| 4 3 0M x x x= − + < { }| 2 1 5N x x= + < M N∪ = n [ )40,50 n xx txf 39)( ⋅−= ( ) 2 1 2 1 x xg x −= + ba, 0)()( =+ bgag 0)()( =+ bfaf ABC∆ a b c A B C 2 cosa b C= sin sin cos4 2A B C π π − + = − A
（2）若 ，求 的面积.
18. （12 分）3 月 12 日，全国政协总工会界别小组会议上，人社部副部长汤涛在回应委
员呼声时表示无论是从养老金方面，还是从人力资源的合理配置来说，延迟退休是大
势所趋.不过，汤部长也表示，不少职工对于延迟退休有着不同的意见.某高校一社团
就是否同意延迟退休的情况随机采访了 200 名市民，并进行了统计，得到如下的
列联表：
赞同延迟退休 不赞同延迟退休 合计
男性 80 20 100
女性 60 40 100
合计 140 60 200
（1）根据上面的列联表判断能否有 的把握认为对延迟退休的态度与性别有关；
（2）为了进一步征求对延迟退休的意见和建议，从抽取的 200 位市民中对不赞同的按照
分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 名进行电话回访，求 3 人中至
少有 1 人为男性的概率.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19. （12 分）如图，四棱锥 的底面 是菱形，且 ，其对角线 、
交于点 ， 、 是棱 、 上的中点.
（1）求证：面 面 ；
（2）若面 底面 ， ， ， ，求三
棱锥 体积.的
2a = ABC∆
2 2×
99.5%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
P ABCD− ABCD 3DAB
π∠ = AC
BD O M N PA PB
/ /MNO PCD
PCD ⊥ ABCD 2AB = 3PC = 19PD =
M BON−
20. （12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 交椭圆
于 、 两点，椭圆 的右顶点为 ，且满足 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，且定点
满足 ，求实数 的取值范围.
21．（12 分） 已知函数 f(x)＝ex＋ax－a(a∈R 且 a≠0).
（1）若 f(0)＝2，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在[－2，1]上的最小值；
（2）若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围.
22. （10 分）在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴
建立极坐标系.已知曲线 的极坐标方程为 .
（1）试将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标系方程；
（2）直线 过点 ，交曲线 于 、 两点，若 的定值为 ，求
实数 的值.
文科数学答案
1---5 DCBCB 6---10ADADC 11--12AA
13. 14. 100 15. 5 16.
17. （1）由 及正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
又 为三角形的内角，∴ ，
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2
y x= C
A B C P 4PA PB+ =
C
( 0, 0)y kx m k m= + ≠ ≠ C M N 10, 2Q −
MQ NQ= m
xOy O x
C 2
1 cos
ρ θ= −
C
l ( ),0M m C A B 2 2
1 1
MA MB
+ 1
64
m
( ),3−∞ [ )1 + ∞，
2 cosa b C= sin 2sin cosA B C=
( )sin sin cos 2sin cosB C B C cosBsinC B C+ = + =
( )sin cos sin 0B C cosBsinC B C− = − =
,B C B C=
∴ ，∴ ，
又 ,∴ .
（2）由 知 ，
由余弦定理得 ，∴
∴ ， ∴ ．
18. （1）由列联表中的数据可得 ．
所以有 99.5%的把握认为对延迟退休的态度与性别有关．
（2）设从不赞同延迟退休的男性中抽取 人，从不赞同延迟退休的女性中抽取 人，
由分层抽样的定义可知 ，解得 ，
在抽取的不赞同延迟退休的 6 人中，男性 2 人记为 ， ，女性 4 人记为 ， ， ， ，
则所有的基本事件如下：
， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， 共 20 种，
其中至少有 1 人为男性的情况有 16 种．
记事件 为“至少有 1 人为男性不赞同延迟退休”，
则 ．
即至少有 1 人为男性不赞同延迟退休的概率为 ．
19. （1）证明：因为底面 是菱形，
所以 是 的中点，且 ，
又 、 是棱 、 上的中点，所以 ， 所以 ，
又 面 ， 面 ，
所以 平面 ．
sin sin sin4A B B
π − + = sin 04A
π − =
30 4 4A
π π< − < 4A π= B C= b c= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )2 2 224 2 2 2 22b b b= − × = − ( )2 2 2 2b = + 21 sin 2 12ABCS b A∆ = = + ( )2 2 200 80 40 20 60 200 9.524 7.879140 60 100 100 21K × × − ×= = ≈ >× × ×
x y
6
60 20 40
x y= = 2, 4x y= =
1A 2A 1B 2B 3B 4B
{ }1 2 1, ,A A B { }1 2 2, ,A A B { }1 2 3, ,A A B { }1 2 4, ,A A B
{ }1 1 2, ,A B B { }1 1 3, ,A B B { }1 1 4, ,A B B { }1 2 3, ,A B B { }1 2 4, ,A B B { }1 3 4, ,A B B
{ }2 1 2, ,A B B { }2 1 3, ,A B B { }2 1 4, ,A B B { }2 2 3, ,A B B { }2 2 4, ,A B B { }2 3 4, ,A B B
{ }1 2 3, ,B B B { }1 2 4, ,B B B { }1 3 4, ,B B B { }2 3 4, ,B B B
A
( ) 16 0.820P A = =
0.8
ABCD
O AC / /AB CD
M N PA PB / /MN AB / /MN CD
MN ⊄ 平 PCD CD ⊂ 平 PCD
/ /MN PCD
又在 中， ，且 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 ，
所以平面 面 ．
（2）解：在 中， ，
所以 ，由（1）知 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为平面 底面 ，平面 底面 ，
所以点 到面 的距离即为点 到 的距离．
又在菱形 中， ， ，
所以点 到 的距离为 ，
因为 、 、 是 、 、 的中点，平面 面 ，
所以点 到面 的距离为点 到面 的距离的一半，
所以 ．
20.（1）∵ ，
∴ ， 又 ，
∴ ，∴ ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）由 消去 y 整理得： ，
∵直线与椭圆交于不同的两点 、 ，
PAC∆ / /OM PC OM ⊄ 平 PCD PC ⊂ 平 PCD
/ /OM PCD MN OM M∩ =
/ /MNO 平 PCD
PCD∆
2 2 2 1cos 2 2
PC CD PDPCD PC CD
+ −∠ = = −⋅
120PCD∠ = / /MN CD / /OM PC
120NMO PCD ∠ = ∠ =
1 1 1 1 3 3sin sin1202 2 2 2 8NMOS MN OM NMO DC PC∆ = ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ =
PCD ⊥ ABCD PCD ABCD CD=
B PCD B CD
ABCD 3DAB
π∠ = 2AB =
B CD 3
O M N AC PA PB / /MNO 平 PCD
B MNO B PCD
1 1 3 3 333 2 8 16M BON B NMOV V− −
= = × × × =
2 2 4PA PB PO a+ = = =
2a = 3
2
c
a
=
3c = 2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 14
x y+ =
2
2 14
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
M N
∴ ，整理得 ．
设 ， ，
则 ，
又设 中点 的坐标为 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围 ．
21. (1)由题意知，函数 f(x)的定义域为 R，
又 f(0)＝1－a＝2，得 a＝－1，
所以 f(x)＝ex－x＋1，求导得 f′(x)＝ex－1.
易知 f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
所以当 x＝0 时，f(x)在[－2，1]上取得最小值 2.
(2)由(1)知 f′(x)＝ex＋a，由于 ex>0，
①当 a>0 时，f′(x)>0，f(x)在 R 上是增函数，
当 x>1 时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0；
当 x −
1 66 m< < m 1( ,6)6
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以当 x＝ln(－a)时，f(x)取最小值.
函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e2
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