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鸡西市第一中学高二学年阶段测试数学试卷（文科）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分）
1．设 ,则 （ ）
A．1 B． C． D．2
2．若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．某人在打靶中连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是（ ）
A．至少有一次中靶 B．至多有一次中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
4.下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
5.采用系统抽样的方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2,3...960，分组后在第一组采取简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，
编号落入区间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间[451,750]的人做问卷 B，其余的人做问
卷 C.则抽中的人中，做问卷 A 的人数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．15
6．已知 ：幂函数 在 是增函数，
： ，则 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．为了丰富学生的课余生活，鸡西一中高二学年利用周末组织了数学、物理、化学和生物
社团活动.为了了解学生参加社团活动的情况，随机调查了 50 位学生，其中参加数学或生物
社团的有 45 人，参加生物社团的共有 40 人，参加数学社团且参加生物社团的共有 30 位，
3
1 2
iz i
−= − | |z =
2 3
1
3
=log 2a 0.2b=3 0.3c=2−
a b c< < b a c< <
b c a< < a c b< <
a b> 2 2a b> a b> lna lnb>
2 2
a b
c c
< a b< 0a b> > 0c d< < ac bd>
p ( )= mf x x (0 + )∞，
q { } { }| 0 |x x x x m< ⊆ < p q第 2 页 共 9 页
则高二学年参加数学社团的人数与该学年学生总数比值的估计值为（ ）
A．0.6 B．0.7 C.0.8 D．0.9
8.有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各一个，现要把这四个小球分给两个小朋友，每人两个.
则红色和黄色的小球不分给同一个小朋友的概率是 （ ）
A． B． C． D．
9．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②在回归直线 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 平均增加
0.2 单位；
③用相关指数 来刻画回归效果， 越接近 0，说明模型的拟合效果越好；
④回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点
其中错误的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10．等腰 的顶角 ，过顶点 A 在 的内部做一条射线 AP，与线段 BC
交于点 P，则 的概率是（ ）
A． B． C． D．
11.若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12. 已 知 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 满 足 . 若 ， 则
（ ）
A．-2020 B．0 C．2 D．2020
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分）
13.计算： _______.
14. 某次数学测试中班级只有一人得了满分，甲说：“乙得了满分”，乙说：“得满分的是
1
3
2
3
1
4
3
4
0.2 12y x= + y
2R 2R
y bx a= + ( , )x y
ABC∆ 0A=120 BAC∠
BP AB<
2
2
3
3
5
8
1
2
[ ]0 1,2x∃ ∈ 2
0 0 2 0x xλ− + < λ
- 2 2]∞（ ， 2 2 3]（ ， 92 2 2
， { }3
( )f x - +∞ ∞（ ， ） (1- )= (1 )f x f x+ (1)=2f
(1) (2) (3) (2020)f f f f+ + + + =
2 0 13 + 254lg lgπ π− − + =（ ）第 3 页 共 9 页
丙”，丙说：“甲说的对”，丁说：“反正我没得满分”.四个人中只有一个人说的是真话，
则得满分的同学是_______.
15.若直线 与函数 的图像有两个公共点，则 的取
值范围是_______．
16．设函数 则满足 的 的取值范围是______.
三．解答题（共 5 小题，每题 12 分）
17． 年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目
结束后，现随机抽取了 500 名观众（含 300 名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到
如图所示的两个频率分布直方图.
（1）计算女性观众评分的平均数与男性观众评分的中位分；
（2）若把评分低于 分定为“不满意”，评分不低于 分定为“满意”.试比较男观众
与女观众不满意的概率大小，并说明理由；
（3）完成下列 列联表，并回答是否有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意
有关.
女性观众 男性观众 合计
“满意”
“不满意”
合计
3y a= | 1| ( 0 1)xy a a a= − > ≠且 a
( )=f x
2
2
2 , 0,
+ , 0,{ x x
x x x
≤
− > ( ( )) 2f f x ≥ − x
2019
70 70
2 2× 95%第 4 页 共 9 页
参考数据：
18．对于函数 ，若存在实数 ,使
成立，则称 为函数 关于参数 的不动点.
（1）若 时，求函数 关于参数 2 的不动点；
（2）若 时，函数 没有关于参数 1 的不动点，求 的取值范围；
（3）若 时，函数 在（0,1]上存在关于参数 的不动点，求参数
的取值范围.
19 ． 如 图 所 示 的 四 棱 锥 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 ,PA ⊥ 平 面 ABCD,
分别是 的中点．
(1)求证:MN//平面 PAD；
(2)若直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为 ,求三棱锥 C-DMN 的体积．
20．已知点 为坐标原点，椭圆 ： 的右焦点为 ， 为
椭圆 上一点，当 垂直于 轴时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）椭圆 上异于 的两点 ，若 关于 轴对称，设直线 ， 分别与 轴交
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2P K k≥ 0.05 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
2( )= (1 ) 1( 0)f x ax b x b a+ + + − ≠ 0x
0 0( )=f x mx 0x ( )f x m
1, 5a b= = ( )f x
2b = ( )f x a
1, 1a b= = − ( )f x m m
P ABCD−
2, ,PA AD M N= = AB PC，
1
2
O C )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x )0,1(F P
C PF x 2
3=PF
C
C P BA, BA, x PA PB x第 5 页 共 9 页
于点 ， ，问： 的值是否为定值？若是，请求出 的值；若不
是，请说明理由.
21．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取 名女高中生，
其身高 和体重 数据如下（表一）所示：
编号
身高
体重
（表一）
（1）调查员甲根据表一计算得出该组数据的线性回归方程为 ，请你
据此预报一名身高为 的女高中生的体重；
(2) 调查员乙通过计算残差得到以下数据（如表二所示），在计算过程中，发现有两组数据与
其他数据偏差较大.所以调查员乙提出要剔除这两组数据，并重新计算线性回归方程.请你帮
助他求出新的回归方程并据此预报一名身高为 的女高中生的体重.
编号
身高
体重
残差
（表二）
（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.
附：对于一组数据 ，其回归方程 的斜率和截距
的最小二乘法估计分别为： ，
)0,(mM )0,(nN mn mn
8
)(cmx )(kgy
1 2 3 4 5 6 7 8
)(cmx 164 160 158 172 162 164 174 166
)(kgy 60 46 43 48 48 50 61 52
ˆ 0.7 64.5y x= −
cm167
cm167
1 2 3 4 5 6 7 8
164 160 158 172 162 164 174 166
60 46 43 48 48 50 61 52
7.9 5.1− 1.3− 9.7− 9.0− 3.0− 7.3 3.0
),(,),,(),,( 2211 nn yxyxyx ⋅⋅⋅ axby ˆˆˆ +=
∑
∑
=
=
−
−−
=
n
i
i
ii
n
i
xx
yyxx
b
1
2
_
__
1
)(
))((
ˆ
∑
∑
=
=
−
−
=
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
1
2_2
__
1 __ ˆˆ xbya −=第 6 页 共 9 页
四．选做题（10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分）
22.（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为
极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
且在极坐标下点
P(1,0).
（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与曲线 交于 两点，求 的值.
23.（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最大值为 ,正数 满足 ,
求证： .
xoy 1C
=
=
α
α
sin3
cos2
y
x α o
x 2C 2
2)4sin( =+ πθρ
1C 2C
1C 2C BA, PA PB
xxxf 23)( −−=
2)( ≤xf
)(xf m cba ,, mcba =++ 2
2
3222 ≥++ cba第 7 页 共 9 页
鸡西市第一中学高二学年线上月考数学试卷（文科答案）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分）
1~12 BDBCD ABBCC AB
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分）
13.
14.甲
15.（0， ）
16.[ -1,
）
三．解答题（共 5 小题，每题 12 分）
17、（1）女性观众评分的平均数为
，
男性观众评分的中位数为
所以
（2）（i）男性观众不满意的概率大，
记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得
的估计值为 ，
的估计值为 ，
所以男性观众不满意的概率大.
（ii）列联表如下图：
女性观众 男性观众 合计
“满意”
“不满意”
合计
所以
故有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.
18、
（1）-2
π 1
3 +∞
5.7405.09525.0854.0752.0651.055 =×+×+×+×+×
x
5.003.0)70(025.010015.010 =×−+×+× x
3
220=x
AC BC ( )AP C
(0.01 0.02) 10 0.3+ × =
( )BP C (0.015 0.025) 10 0.4+ × =
210 120 330
90 80 170
300 200 500
348.5330170200300
)1209080210(500
))()()((
)( 22
2 ≈×××
×−××=++++
−=
dbcadcba
bcadnK
95%第 8 页 共 9 页
（2）[ 1,
）
（3）(
,-1]
19、（1）证明 （2）
20、（1）设椭圆半焦距为 ，根据题意可得 .
当 重直于 轴时， .
因为 ，由此解得 ， ，∴椭圆 的标准方程为 .
（2 因为 ， 关于 轴对称.
设 ， ， ，易知 ， ， .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
同理，得 .
∴ .
又 ， ，
∴ ， .
∴ ，为定值.
+∞
-∞
4
3
c 2 21c a b= = −
PF x
2 3
2
bPF a
= =
2 2 2a b c= + 2 4a = 2 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
A B x
( )1 1,A x y ( )1 1,B x y− ( )0 0,P x y 1 0x x≠ 1 0y y≠ 0x m≠
PA PMk k= 1 0 0
1 0 0
y y y
x x x m
− =− −
( )1 0 0
0
1 0
x x yx m y y
−− = −
( )1 0 0 0 1 1 0
0
1 0 1 0
x x y x y x ym x y y y y
− −= − =− −
0 1 1 0
1 0
x y x yn y y
+= +
2 2 2 2
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
2 2
1 0 1 0 1 0
x y x y x y x y x y x ymn y y y y y y
− + −= ⋅ =− + −
2 2
0 0 14 3
x y+ =
2 2
1 1 14 3
x y+ =
2
2 0
0 4 1 3
yx
= −
2
2 1
1 4 1 3
yx
= −
2 2
2 20 1
1 02 2 2 2
0 1 1 0
2 2 2 2
1 0 1 0
4 1 4 13 3 4
y yy y
x y x ymn y y y y
− ⋅ − − ⋅ − = = =− −第 9 页 共 9 页
21、解：（1）经计算： ，
于是： ，
则该组数据的线性回归方程为 ，
当 时， ，
于是：一名身高为 的女大学生的体重约为 ；
（2）按照调查人员乙的想法，剩下的数据如下表所示：
编号 2 3 5 6 7 8
身高 160 158 162 164 174 166
体重 46 43 48 50 61 52
经计算： ，
于是： ， ， ，
=
，
则该组数据的线性回归方程为 ，
当 时， = ，
于是：一名身高为 的女大学生的体重约为 ；
（3）乙的模型得到的预测值更可靠，
理由如下：从残差可以看出，第一组数据和第四组数据确实偏差较大，为更准确的刻画变化
趋势，有必要把这两个数据剔除掉；
165, 51x y= =
51 0.7 165 64.5a = − × = −
0.7 64.5y x= −
167=x 4.525.641677.0ˆ =−×=y
cm167 kg4.52
/x cm
/y kg
164, 50x y= =
49376
1
=∑
=
n
i
ii yx 49200
__
=yxn 161536
2
1
=∑
=
n
i
ix 161376
2_
=xn
∑
∑
=
=
−
−−
=
n
i
i
ii
n
i
xx
yyxx
b
1
2
_
__
1
)(
))((
ˆ
∑
∑
=
=
−
−
=
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
1
2_2
__
1 1.1160
176
161376161536
4920049376 ==−
−
50 1.1 164 130.4a = − × = −
1.1 130.4y x= −
167=x 1.1 130.4y x= − 3.534.1301671.1 =−×
cm167 kg3.53第 10 页 共 9 页
（二）选做题：10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分
22、（1）C1 的参数方程： （α 为参数）
得 ，
曲线 C1 的直角坐标方程： .
由 ，
得 ，
所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x+y﹣1＝0.
（2）点 P 的极坐标为 ，故其直角坐标为 ，
由 C2：x+y﹣1＝0，则其参数方程为 ，
将 C2 的参数方程代入曲线 C1 的方程 ，
得 ①
由于△＞0 恒成立，不妨令方程①有两个不等实根 t1、t2，
由于 ，
所以 t1、t2 异号，所以
23.（1）当 时， ，由 ，得 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，由 ，得 ，
2
3
x cos
y sin
α
α
= =
2 2( ) ( ) 12 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2
4 2sin
πρ θ + =
2 2 2
2 2 2sin cosρ θ ρ θ+ =
)0,1( )0,1(
为参数）t
ty
tx
(
2
2
2
21
=
−=
2 2
14 3
x y+ =
018267 2 =−− tt
07
18
21
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