2020 年高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出共轭复数 ，根据复数运算法则 即可得
解.
【详解】 ， ，
.
故选：A
【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法
则求解.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数不等式解法求出解集得到 A，根据交集运算即可得解.
【详解】
，
所以
2z i= + z z
z z
− =
8
5 i 2 4
5 5 i− 8
5 i− 2 4
5 5 i+
2z i= − ( ) ( )2 2
2
2 22 2
2 2 4
i iz z i i
z z i i i
+ − −+ −− = − =− + −
2z i= + 2z i= −
( ) ( )2 2
2
2 22 2 8
2 2 4 5
i iz z i i iz z i i i
+ − −+ −− = − = =− + −
( ){ }2lg 1 0A x x x= − − > { }0 3B x x= < < A B =
{ }0 1x x< < { } { }1 0x x x x< − ∪ >
{ }2 3x x< < { } { }0 1 2 3x x x x< < ∪ < <
( ){ } { }2 2lg 1 0 1 1A x x x x x x= − − > = − − >
( )( ){ } ( ) ( )2 1 0 , 1 2,x x x= − + > = −∞ − +∞ { }0 3B x x= < <
A B = { }2 3x x< > 2 22 4x y x y+ =
( )2 2
2 4 444log log log log log 1+ = + = =x y x y x y
2 4( 0, 0)x y x y= > >
2 22 4x y x y+ =
2 2x y= =
2x y+
10CD =
BACθ = ∠
2tan 2 3
θ = 17tan 4 7
πθ + = − A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出 的值，可得 ，再利用二倍角的正切公式求得 ，利用
两角和的正切公式求得 的值.
【详解】设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ .
即水深为 12 尺，芦苇长为 12 尺；
∴ ，由 ，解得 （负根舍去）.
∵ ，
∴ .
故正确结论的编号为①③④.
故选：B.
【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.
8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手 6 人，黑皮肤选手 6 人，黄皮肤选手 8 人，
一等奖规定至少 2 个至多 3 个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人
选的所有可能的种数为（ ）
A. 420 B. 766 C. 1080 D. 1176
【答案】D
BC tan BC
AB
θ = tan 2
θ
tan 4
πθ +
BC x= 1AC x= +
5AB = 2 2 25 ( 1)x x+ = + 12x =
12tan 5
BC
AB
θ = =
2
θ2tan 2tanθ θ1 tan 2
=
-
2tan 2 3
θ =
12tan 5
θ =
1 tan 17tan 4 1 tan 7
π θθ θ
+ + = = − − 【解析】
【分析】
分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.
【详解】一等奖两个名额，一共 种，
一等奖三个名额，一共 种，
所以一等奖人选的所有可能的种数为 1176.
故选：D
【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分
类，结合对立事件求解.
9.已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 曲线 关于 对称
C. 的最大值为 2 D. 曲线 关于 对称
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得 ，根据三角函数的性质逐一判断.
【详解】 ，则 .
最大值为 ，
当 时， ，故曲线 关于 对称，
当 时， ，故曲线 不关于 对称.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.
的
2 2 2 2
20 6 6 8 132C C C C− − − =
3 3 3 3
20 6 6 8 1044C C C C− − − =
( ) sin 2 sin 2 3f x x x
π = + +
( )f x
2
π ( )y f x= ,03
π
( )f x ( )y f x=
6x
π=
( ) 3sin 2 6f x x
π = +
( ) 1 3sin 2 sin 2 cos2 3sin 22 2 6f x x x x x
π = + + = + T π=
( )f x 3
6x
π= 3sin 26 6 36f
π ππ = × + =
( )y f x=
6x
π=
3x
π= 3sin 23 3 06f
π ππ = × + ≠
( )y f x= ,03
π
10.函数 的零点的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
将原题转化为求方程 的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当 时方程
的根的个数，根据对称性即可得解.
【详解】函数 的零点个数，即方程 的根的个数，
考虑 ，定义在 的偶函数，
当 时， ，作出函数图象：
两个函数一共两个交点，即当 时 有两根，
根据对称性可得：当 时 有两根，
所以 一共 4 个根，
即函数 的零点的个数为 4.
故选：C
【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解.
11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 A1B1 上一点，且 AB＝2，若二面角 B1﹣BC1﹣E 为 45°，
则四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为（ ）
A. π B. 12π C. 9π D. 10π
【答案】D
【解析】
( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + −
2 2lg 2 | |x x x= − + 0x >
( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + − 2 2lg 2 | |x x x= − +
( ) ( )2 2lg , 2 | |g x x h x x x= = − + ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
0x > ( ) ( ) 22lg , 2g x x h x x x= = − +
0x > 2 2lg 2 | |x x x= − +
0x < 2 2lg 2 | |x x x= − +
2 2lg 2 | |x x x= − +
( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + −
17
2【分析】
连接 交 于 ，可得 ，利用线面垂直的判定定理可得： 平面
，于是 ，可得而 为二面角 的平面角，再求出四面体
的外接球半径 ，进而利用球的表面积计算公式得出结论．
【详解】
连接 交 于 ，则 ，
易知 ，则 平面 ，
所以 ，
从而 为二面角 的平面角，
则 .
因为 ，所以 ，
所以四面体 的外接球半径 ．
故四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为 ．
故选：D
【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表
面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.若曲线 存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
1B C 1BC O 1 1B O BC⊥ 1BC ⊥
1B OE 1BC EO⊥ 1B OE∠ 1 1B BC E− −
1 1BB C E R
1B C 1BC O 1 1B O BC⊥
1 1 1A B BC⊥ 1BC ⊥ 1B OE
1BC EO⊥
1B OE∠ 1 1B BC E− −
1 45B OE∠ =
2AB = 1 1 2B E B O= =
1 1BB C E 2 4 4 10
2 2R
+ += =
22 4 44 ( ) 102
π π+ + =
( )11
x my xe xx
= + < −+
4
27 ,0e
− 4
27 ,0e
−
4
27 ,e
− +∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
曲线 存在两条垂直于 轴的切线⇔函数 存
在两个极值点⇔ 在 上有两个解，即 在
上有两异根，令 ，利用导数法可求得 的值域，从
而可得 的取值范围.
【详解】解：∵曲线 存在两条垂直于 轴的切线，
∴函数 的导函数存在两个不同的零点，
又 ，
即 在 上有两个不同的解，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，
又当 时， ，当 时， ，
故 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想
的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位
置.
4
271, e
− −
( )11
x my xe xx
= + < −+ y ( )11
x my xe xx
= + < −+
( ) ( )
'
21 0
1
x my x e
x
= + − =
+ ( ), 1−∞ − ( )31 xm x e= +
( ), 1−∞ − ( ) ( ) ( )31 1xf x x e x= + < − ( )f x
m
( )11
x my xe xx
= + < −+ y
( )11
x my xe xx
= + < −+
( ) ( )
'
21 0
1
x my x e
x
= + − =
+
( )31 xm x e= + ( ), 1−∞ −
( ) ( ) ( )31 1xf x x e x= + < − ( ) ( ) ( )2' 1 4xf x x e x= + +
4x < − ( )' 0f x < 4 1x− ≤ < − ( )' 0f x >
( ) ( ) 4min
274f x f e
= − = −
x → −∞ ( ) 0f x → 1x → − ( ) 0f x →
4
27 ,0m e
∈ − 13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域， 几何意义为可行域内的点 与点 连线的斜率，根据图形观察计
算可得答案.
【详解】作出可行域，如图所示，
则 ，故 z 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.
14.某工厂共有 50 位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时
（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这 50 位工人组装每个零件所用工时的中位
数为___________.若将 500 个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过
_________分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
【答案】 (1). 3.3； (2). 33.14
2
1
2
x y
x y
y
+ ≥
− ≤
P | | | | 6PA PB+ =
PAB△ x 3 30
20
a =
3
P ( 0)y ax a= > 2 2
19 5
x y+ =
2
2
2
45
9 5
ay a
= + PAB△ x 3 30
20 PAB△
3 30
20r = a
P | | | | 6PA PB+ = P
2 2
19 5
x y+ =
P ( 0)y ax a= > 2 2
19 5
x y+ =
y ax= 2 2
19 5
x y+ = y 2
2
45
9 5x a
= +
2
2
2
45
9 5
ay a
= +
APB△ x 3 30
20 PAB△ 3 30
20r =
APB△ 1 1| | | | (| | | | | |)2 2AB y r AB PA PB× × = × × + +
2
2 2
2
5 45 5 25 27| | ,2 9 5 4 4 40
ay r y ra
= = = = ×+
2 3a = 0a > 3a =三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，
考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
17.设等差数列{an﹣bn}的公差为 2，等比数列{an+bn}的公比为 2，且 a1＝2，b1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2an+2n}的前 n 项和 Sn．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1） ， ，，可得 ， ，联立即可解得 .
（2） ，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 .
【详解】（1） ， ，
∴ ， .
联立解得： .
（2）
∴数列 的前 项和
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，同时考查了分组求和，
考查了学生推理能力与计算能力，属于简单题．
18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工
检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，
则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件逐一检验.已知
每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费
为 2 元.
（1）设 1 箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱 每个零件作检验，每个的
21 (2 1) 3 22
n
na n −= − + × 2 5 2 5n
nS n= + × −
1 1 1a b− = 1 1 3a b+ = 2 1n na b n- = - 13 2n
n na b −+ = × na
12 2 (2 1) 5 2n n
na n −+ = − + × nS
1 1 1a b− = 1 1 3a b+ =
1 2( 1) 2 1n na b n n− = + − = − 13 2n
n na b −+ = ×
21 (2 1) 3 22
n
na n −= − + ×
1 12 2 (2 1) 3 2 2 (2 1) 5 2n n n n
na n n− −+ = − + × + = − + ×
{2 2 }n
na + n
2(2 1 1) 1 25 5 2 52 1 2
n
n
n
n nS n
− + −= + × = + × −−
X X零件的检验费为 1.6 元.现有 1000 箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工
检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.
【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，工人抽查的 4 个零件中，分别计算出 4 个都是正品或者都是次品，4 个不全
是次品的人工费用，得出 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出 的分布列；
（2）由（1）求出 的数学期望 ，根据条件分别算出 1000 箱零件的人工检验和机器检验
总费用的数学期望，比较即可得出结论.
【详解】解：（1）由题可知，工人抽查的 4 个零件中，
当 4 个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为： 元，
当 4 个不全是次品时，人工检验总费用都为： 元，
所以 的可能取值为 8，20，
，
，
则 的分布列为
8 20
0.4112 0.5888
（2）由（1）知， ，
所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元，
因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元，
且 ，
所以应该选择人工检验.
【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，
属于基础题.
19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 平面 PCD， ， ，
X X
X EX
2 4 8× =
4 2 6 2 20× + × =
X
4 4( 8) 0.8 0.2 0.4112P X = = + =
( 20) 1 0.4112 0.5888P X = = − =
X
X
P
8 0.4112 20 0.5888 15.0656EX = × + × =
1000 15065.6EX =
1.6 10 1000 16000× × =
16000 15065.6>
AP ⊥ //AD BC AB BC⊥，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O.
（1）证明： 平面 ABCD.
（2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明 平面 ，得到 ，再证 即可证得 平面
ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面
角的正弦值.
【详解】（1）证明： 平面 PCD， 平面 ， ，
， 为 的中点，则 且 .
四边形 BCDE 为平行四边形， ， .
又 ，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE 为正方形，
，又 平面 ，
平面 ，则 .
平面 平面 ， ，
又 ， 为等腰直角三角形，
O 为斜边 AC 上的中点， 且 平面 ABCD.
（2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示
1
2AP AB BC AD= = =
PO ⊥
22
11
BE⊥ APC BE PO⊥ PO AC⊥ PO ⊥
AP ⊥ CD ⊂ PCD AP CD∴ ⊥
// ,AD BC
1
2BC AD= E AD //BC DE BC DE=
∴ //BE CD∴ AP BE∴ ⊥
,AB BC⊥
1
2AB BC AD= = ∴
BE AC∴ ⊥ ,AP AC A= BE∴ ⊥ APC
PO ⊂ APC BE PO⊥
AP ⊥ ,PCD PC ⊂ PCD AP PC∴ ⊥
2 2AC AB AP= = PAC∴∆
PO AC∴ ⊥ ,AC BE O= PO∴ ⊥不妨设 ，则 ,
则 .
设平面 PBD 的法向量为 ，
则 即
即
令 ，得 .
设 BC 与平面 所成角为 ，
则 .
【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.
20.已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）若 ，求不等式 的解集.
【答案】（1）当 时， ，则 在 上单调递增; 当 时, 的
单调递减区间为 ，单调递增区间为 ;当 时 的单调递减区间为
，单调递增区间为 ， ;当 时
1OB = (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P ( 2,1,0)D −
( 1,1,0),BC = − (1,0, 1),PB = − ( 2,1, 1)PD = − −
( , , )n x y z=
0
0
n PB
n PD
⋅ =
⋅ =
，
，
0,
2 0,
x z
x y z
− =
− + − =
,
3 ,
x z
y z
=
=
1z = (1,3,1)n =
PBD θ
( )22 2 2 2
1 1 3 1 0 1 22sin cos , 111 3 1 1 1
BC nθ − × + × + ×= < > = =
+ + − +
3( )f x x ax= +
( )f x ( ),a +∞
3a ≥ − ( ) ( )262 4 22 4 3 6 12 8 2f x x x x x a x− + < + + + + +
0a ≥ ( ) 0f x′
( )f x ( ),a +∞ 1
3a = − ( )f x
1 1,3 3
−
1 ,3
+∞
1
3a < − ( )f x
,3 3
a a − − −
, 3
aa
− −
,3
a − +∞
1 03
− < 3a ≥ − 2 2( ) 3 3 3f x x a x′ = + ≥ − ( )f x [ )1,+∞
2( ) 3f x x a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′
( )f x ( ),a +∞
0a < ( ) 0f x′ =
3
ax = ± −
1
3a = −
3
a a− − =
( ) 0f x′ < 1 1
3 3x− < < ( ) 0f x′ > 1
3x >
( )f x 1 1,3 3
−
1 ,3
+∞
1
3a < −
3
a a− − >
( ) 0f x′ <
3 3
a ax- - < < -
( ) 0f x′ >
3
aa x< < − −
3
ax > -
( )f x ,3 3
a a − − −
, 3
aa
− −
,3
a − +∞ （iii）当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 ，当 时， ，所以 在
上单调递增.
因为 ，
所以原不等式等价于 .
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，故所求不等式的解集为 .
【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题.
21.已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点．
（1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G．证明：点 G 在定直
线上．
（2）若 p＝2，点 M 在曲线 y 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求△MPQ 面
积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，根据条件分别求出直线 PG 的方程，QG 的方程，联立可得
，化简得到点 G 在定直线 上．
1 03
− <
3
ax > -
( )f x , 3
aa
−
,3
a − +∞
3a ≥ − 2 2( ) 3 3 3f x x a x′ = + ≥ − 1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
[ )1,+∞
( ) ( ) ( ) ( )36 4 2 2 2 2 26 12 8 2 2 2 2x x x a x x a x f x+ + + + + = + + + = +
( ) ( )2 22 4 3 2f x x f x− + < +
2 22 4 3 2( 1) 1 1x x x− + = − + ≥ 2 2 1x + >
2 22 4 3 2x x x− + < +
2 3 2 3x− < < + (2 3,2 3)− +
21 x= −
3 2 6 24
，
2
1
1( ), 2
xP x p
2
2
2( ), 2
xQ x p
( ) ( )1 2 1 2
1 2 2
x x x xx x y p
−− =
2
py = −（2）设 ，表示出 面积 ．结合
在曲线 y 上，即可求出面积的取值范围．
【详解】（1）证明：易知 ，设 ， ．
由题意可知直线 l 的斜率存在，故设其方程为 ．
由 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ， ，则 ，
直线 PG 的方程为 ，即 ①.
同理可得直线 QG 的方程为 ②.
联立①②，可得 ．
因为 ，所以 ，故点 G 在定直线 上．
（2）设 ，
， 的中点分别为 ， ．
因为 ， 得中点均在抛物线上，
所以 ， 为方程 的解，
即方程 的两个不同的实根，
则 ， ，
，即 ，
的0 0( , )M x y MPQ
3
2 2
1 2 0 0
1 3 2 ( 4 )2 4S MN x x x y= ⋅ − = − M
21 x= −
(0, )2
pF
2
1
1( ), 2
xP x p
2
2
2( ), 2
xQ x p
2
py kx= +
2
2
2
py kx
x py
= +
=
2 22 0x pkx p− − = 2
1 2x x p= −
2 2x py=
2
2
xy p
= ' xy p
= 1
PG
xk p
=
( )2
1 1
12y x xp
x x
p
− = −
2
1 1 02
x xx yp p
− − =
2
2 2 02
x xx yp p
− − =
1 2 1 2
1 2
( )( ) 2
x x x xx x y p
−− =
1 2x x≠ 1 2
2 2
x x py p
= =−
2
py = −
0 0( , )M x y
MP MQ
2
1
0
1 0 4( )2 2
x yx x ++
,
2
2
0
2 0 4( , )2 2
x yx x ++
MP MQ
1x 2x
2
020 4( ) 42 2
x yx x ++ = ×
2 2
0 0 02 8 0x x x y x− + − =
1 2 02x x x+ = 2
1 2 0 08x x y x= −
2 2
0 0 0(2 ) 4(8 ) 0x y x∆ = − − > 2
0 04x y>所以 的中点 的横坐标为 ，纵坐标为 .
则 ，
，
所以 的面积 ．
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 面积的取值范围为 ．
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利
用根与系数关系是关键，属于难题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）若点 P 的极坐标为 ，过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的最大
值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
PQ N 0x 2 2
1 2
1 ( )8 x x+
2 2 2 2
1 2 0 1 2 1 2 0 0 0
1 1 3( ) ( ) 2 38 8 4MN x x y x x x x y x y = + − = + − − = −
2 2
1 2 1 2 1 2 0 0( ) 4 2 2( 4 )x x x x x x x y− = + − = −
MPQ
3
2 2
1 2 0 0
1 3 2 ( 4 )2 4S MN x x x y= ⋅ − = −
2
0 01y x= − − ( )2 2
0 0 01 1 0x y y= − − ≤ ≤
2 2 2
0 0 0 0 04 4 1 ( 2) 5x y y y y− = − − + = − + +
01 0y− ≤ ≤ 2
01 ( 2) 5 4y≤ − + + ≤
MPQ
3 2[ ,6 2]4
2 5 cos
1 5 sin
x
y
θ
θ
= +
= − +
θ
( )1,π 1 1
PA PB
+
4cos 2sinρ θ θ= −
2 10
5【分析】
（1）先将 中的 消去得普通方程，再利用 可得
极坐标方程；
（2）先求出 AB 的参数方程，代入曲线 C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得
的最大值.
【详解】解：（1）由 ，得 ，
即 ，所以 ，
即 ，故曲线 C 的极坐标方程为 .
（2）因为 P 的极坐标为 ，所以 P 的直角坐标为 ，
故可设 AB 的参数方程为 （ 为参数）.
将 代入 ，得 ，
设点 对应的参数分别为 ，
则 ， ，
所以 ，
故 的最大值为 .
【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数
几何意义的应用，是中档题.
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
2 5 cos
1 5 sin
x
y
θ
θ
= +
= − +
θ cos sinx yρ θ ρ θ= =，
1 1
PA PB
+
2 5 cos
1 5 sin
x
y
θ
θ
= +
= − +
( ) ( )2 22 1 5x y− + + =
2 2 4 2x y x y+ = − 2 4 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= −
4cos 2sinρ θ θ= − 4cos 2sinρ θ θ= −
( )1,π ( )1,0−
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= − +
= t
1 cos
sin
x t
y t
α
α
= − +
=
( ) ( )2 22 1 5x y− + + = ( )2 2sin 6cos 5 0t tαα+ − + =
,A B 1 2,t t
1 2 2sin 6cost t α α+ = − + 1 2 5 0t t = >
( )1 1
1 2 1 2
2 10 sin2sin 6cos1 1 1 1
5 5
t t
PA PB t t t t
α ϕα α ++ −+ = + = = =
1 1
PA PB
+ 2 10
5
( ) 3 2f x x kx= − −
1k = ( ) 3 1f x x≤ −（2）设函数 的图象与 x 轴围成的封闭区域为 ，证明：当 时， 的面积大于
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对不等式进行零点分段讨论求解；
（2）求出函数与 x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据 求得面积即可得证.
【详解】（1）若 ，不等式 即：
，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
综上所述：
即：不等式 的解集为 ；
（2） ，
该函数图象与 x 轴围成的封闭区域为三角形，
其三个顶点为 ，
， 该三角形面积：
( )f x Ω 2 3k< < Ω
16
15
{ }1x x ≥ −
2 3k< <
1k = ( ) 3 1f x x≤ − 3 2 3 1x x x− − ≤ −
3 2 3 1 0x x x−−− − ≤
2
3x < 2 3 3 3 0, 1x x x x− + − − ≤ ≥ − 21 3x− ≤ <
2 13 x≤ ≤ 3 2 3 3 0, 1x x x x− + − − ≤ ≤ 2 13 x≤ ≤
1x > 3 2 3 3 0, 1x x x x− − + − ≤ ≥ 1x >
1x ≥ −
( ) 3 1f x x≤ − { }1x x ≥ −
( )
( )
( )
23 2, 33 2 23 2, 3
k x x
f x x kx
k x x
− − >= − − =
− − + ≤
2 2 2 2, , ,0 , ,03 3 3 3
kA B Ck k
− − +
2 3k< < 24 9k< <
1 2 2 2
2 3 3 3
kS k k
= − ⋅ − +
2
2
4
3 9
k
k
= × −所以原命题得证.
【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，
关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.
2
2
4 9 9
3 9
k
k
− += × −
2
4 9 4 9 161 13 9 3 9 4 15k
= − + > × − + = − −
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