2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学 2020．5
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标
号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合 ，再根据交集的运算即可求出．
【详解】因为 ， ，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题．
2.复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数的代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 其 共 轭 复 数 为
{ }1 0A x x= − ≤ { }2 1,xB y y x R= = + ∈ A B =
( )1,+∞ [ )1,+∞ ( )0, ∞+ ∅
,A B
{ } [ )1 0 1,A x x= − ≤ = +∞ { } { } ( )2 1, 1 1,xB y y x R y y= = + ∈ = > = +∞
( )1,A B = +∞
23 1
ii i
− +
1 2i− + 1 2i− − 2 1i + 2 1i− +
( )
( )( ) ( )2 123 3 3 1 1 21 1 1
i iii i i i ii i i
−− = − = − + = − ++ + −．
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．
3.下图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说
法不正确的是（ ）
A. 2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C. 2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天
D. 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多
1549 人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．
【详解】对于 A，由图可知，2020 年 2 月 19 日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从 2 月 18 日
1660 人大幅下降至 615 人，所以 A 正确；
对于 B，从 2020 年 2 月 19 日起至 2 月 29 日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在 300-615
之间，3 月起继续减少，没有出现大幅增加，所以 B 正确；
对于 C，由图可知，2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人
的有，2 月 20 日，21 日，23 日，25 日，26 日，27 日，3 月 1 日，2 日，共 8 天，所以 C 正
确；
对于 D，2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是 2 月 16 日
1690 例，最少的是 3 月 2 日 111 例，1690-111=1579，所以 D 不正确．
的
1 2i− −故选：D．
【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．
4.等差数列 的前 n 项和为 ，满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 项和的定义以及等差数列的下标和性质，即可求出．
【详解】因 ，解得 ，所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查等差数列的前 项和的定义以及等差数列的性质的应用，属于容易
题．
5.角谷猜想，也叫 猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如
果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环最终都能够得到
1．如：取 ，根据上述过程，得出 6，3，10，5，16，8，4，2，1，共 9 个数．若 ，
根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角谷猜想的定义，可知当 时，得出的数为 5，16，8，4，2，1，再根据古典概型的
概率计算公式即可求出．
【详解】根据角谷猜想的定义，可知当 时，得出的数为 5，16，8，4，2，1．从中随机
任取两个不同的数有：
，共 15 个结果，
而取出这两个数都是偶数的有： ， 共 6 个结果，
为
{ }na nS 10 7 27S S− = 9a =
3 3± 3 3 3±
n
10 7 8 9 10 93 27S S a a a a− = + + = = 9 9a = 9 3a =
n
3 1n +
6n = 5n =
3
7
7
15
2
5
3
5
5n =
5n =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,16 , 5,8 , 5,4 , 5,2 , 5,1 , ( ) ( ) ( ) ( )16,8 , 16,4 , 16,2 , 16,1 , ( ) ( ) ( )8,4 , 8,2 , 8,1 ,
( ) ( ) ( )4,2 , 4,1 , 2,1
( ) ( ) ( )16,8 , 16,4 , 16,2 ( ) ( )8,4 , 8,2 , ( )4,2 ,所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查新定义的应用以及古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
6.已知函数 是偶函数， 为奇函数，并且当 时， ，则
下列选项正确的是（ ）
A. 在 上为减函数，且 B. 在 上为减函数，且
C. 在 上为增函数，且 D. 在 上为增函数，且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意 为奇函数，可知函数 关于点 对称，再结合函数 是偶函数
可得出函数 周期为 4，而 ， ，利用周期从而可求得
时的解析式，即解出．
【 详 解 】 因 为 函 数 为 奇 函 数 ， 所 以 函 数 关 于 点 对 称 ， 即
，
函数 是偶函数，所以 ，于是， ，用 替换 ，
可得 ，所以 ．
当 ， ，
当 时， ，所以 在 上为增
函数，且 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以
的
6 2
15 5P = =
( )f x ( )1f x+ [ ]1,2x∈ ( ) 1 2f x x= − −
( )f x ( )3, 2− − ( ) 0f x > ( )f x ( )3, 2− −
( ) 0f x <
( )f x ( )3, 2− − ( ) 0f x > ( )f x ( )3, 2− −
( ) 0f x <
( )1f x+ ( )f x ( )1,0 ( )f x
( )f x [ ]1,2x∈ ( ) 1 2 1f x x x= − − = −
( )3, 2x∈ − −
( )1f x+ ( )f x ( )1,0
( ) ( )2 0f x f x− + + =
( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )2 0f x f x+ + = 2x + x
( ) ( )2 4 0f x f x+ + + = ( ) ( )4f x f x+ =
[ ]1,2x∈ ( ) 1 2 1f x x x= − − = −
( )3, 2x∈ − − ( ) ( ) ( )4 4 1 3 0f x f x x x= + = + − = + > ( )f x ( )3, 2− −
( ) 0f x >及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7.如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为
（ ）
A. 16 B. C. 32 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体可知，该几何体为三棱柱，故根据其体积公式即可算出．
【详解】如图所示，该几何体为图中三棱柱 ，
所以该几何体的体积为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并求其体积，意在考查学生的直观想象能力和
数学运算能力，属于中档题．
8.双曲线 的渐近线与圆 在第一、二象限分别交于 M，N
两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
16
3
1 1 1ABC A B C−
1 2 4 4 162V = × × × =
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2 2 2x y a+ =
MN a=
1
2
2 3
3 3【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出图象，可知 为等边三角形，由双曲线的渐近线关于 y 轴对称，可知
，再结合 ，即可求出离心率．
【详解】依题意作出图象，如图所示：
因为 ，所以 为等边三角形，而双曲线的渐近线方程为 ，
它们关于 y 轴对称，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即离心率 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及圆的方程的应用，属于基础题．
9.已知 ， ．若 且 ，则 的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量的加法运算求出 ，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向
量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，
MON△
tan 60 3bk a
= = = 2 2 2c a b= +
OM ON MN a= = = MON△ by xa
= ±
60MOx∠ = tan 60 3bk a
= = =
2 2 2c a b= + 2 24c a= 2ce a
= =
( )1,0AB = ( )2,2BC = − ( )AB AC BCλ µ+ ⊥ 10ACµ = λ µ+
4 2 4 2± 6 2 6 2±
AC
( )1,2AC AB BC= + = − 10 5 10 2ACµ µ µ= ⇒ = ⇒ =，
即 ，因而， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，
意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10.如图是函数 的部分图象，设 是函数
在 上的极小值点，则 的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图象确定函数 的解析式，即可根据函数 在 上的极小值也是最小
值，得到 ，即可解出．
【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 ， ， 所 以
，
又因为 ，而且 ，所以 ，故
( ) ( ) 0 0AB AC BC AB AC BC AB BC AC BCλ µ λ µ λ µ+ ⊥ ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ =
2 6 0 3λ µ λ µ− + = ⇒ = 4 4 2λ µ µ+ = = ±
( ) ( )sin 0, 0,| | 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > 1, 2x
π ∈
( ) ( )0, 0g x g x′ > >
( )g x ( )1g e= tan1 tan 33 e
π< = < tany x= ex
y x
=
,2 2
π π − 所以，两函数图象有两个交点，即函数 在 上的零点个数为 2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导
数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
12.把圆心角为 的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥
的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，根据题意以及弧长公式可知， ，解得
，
所以该圆锥的侧面积为 ．
( ) tan xf x x x e= − ,2 2
π π −
120°
3
8
8
3
8
27
27
8
r l 22 3r lπ π=
3l r=
2
1 3S rl rπ π= =如图所示，
由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形 的外接圆半径，
设圆锥的外接球的半径为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因此，该圆锥的外接球的表面积为 ．
故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，
意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.抛物线 的焦点为 F，过 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，若
，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线过焦点弦的性质可知， 为通径，所以有 ，即可解出．
【详解】因为过焦点 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，所以 为通径，
即 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查抛物线过焦点弦的性质的应用，属于容易题．
PAB
R
2 2 2 2OP l r r= − = ( )2 2 22 2r R r R− + = 9 2
8
rR =
2
2
2
814 8
rS R
ππ= =
1
2
8
27
S
S
=
( )2 2 0y px p= >
3AB = p =
3
2
AB 2 3p =
AB
2 3p = 3
2p =
3
214.已知变量 x，y 满足 ，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可解出．
【 详 解 】 作 出 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 的 阴 影 区 域 ：
设 ，当直线平移至经过点 时， 取得最小值．
由 解得， ，所以点 的坐标为 ．
因此， 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的的解法应用，属于基础题．
15.若函数 有最小值，则实数 a 取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
的
1
1 0
2
x y
y
y x
+ ≤
+ ≥
≤
2x y−
1−
2z x y= − A z
2
1
y x
x y
=
+ = −
2
3
1
3
x
y
= −
= −
A 2 1,3 3
− −
2z x y= − 2 12 13 3minz = × − − − = −
1−
( ) 2
1log 1 , 12
1 , 1
x x
f x
a xx
− ≤ =
+ >
[ )1,− +∞根据分段函数的单调性即可知，函数在 处取得最小值，即可求出实数 a 的取值范围．
【详解】当 时，函数 单调递减，无最小值，无最大值，其值域为 ；
当 时，函数 单调递减，其最小值为 ，
所以若该函数 有最小值，最小值只能在 处取得，故 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，以及分段函数的最值求法，属于基础题．
16.已知等比数列 的公比为 ，前 n 项和为 ，且满足 ， ．若
对一切正整数 n，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
先 根 据 题 意 ， 求 出 首 项 和 公 比 ， 即 可 得 到 ， 再 根 据 分 离 参 数 法 ， 可 得
，再利用数列的单调性即可求出 的最小值，即可得出实数 m 的
取值范围．
【详解】由题意可得， ，
，变形为
，解得 或 ，又∵ ，所以 ．
故 ， ， ．
∴ ，即
设 ， ，
1x =
1x > 1y ax
= + ( ), 1a a +
1x ≤ 2
1log 1 2y x = − min 2
1log 1 12y = − = −
( )f x 1x = 1a ≥ −
[ )1,− +∞
{ }na ( )0q q > nS 1a q= 5 1 4a a S= +
15 2 2 n nn m ma mS− − + >
3, 512
−∞ −
1a q ,n nS a
15 2
2n
nm
−< ( ) 15 2
2n
ng n
−=
1a q=
4 2 3 4 2 3
1 1 1 15 11 4 1 2a a q a a a q a q a q q q q qa S ⇒ = + + + + ⇒ = + + += +
( )( )( )21 2 1 0q q q+ − + = 1q = − 2q = 0q > 2q =
2n
na = 12 2n
nS += − *n∈N
( )115 2 2 15 2 2 2 2 2 2n n n
n nn m ma mS n m m+ − − + > ⇒ − > − − + = ⋅
15 2
2n
nm
−<
( ) 15 2
2n
ng n
−= *n∈N当 时， ；
当 时， ，令
∴解得 ，因此，当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以，当 时， 的值最小，最小为 ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式和前 项和公式中基本量的计算，数列不等式恒成
立问题的解法应用，以及数列单调性的判断，综合性强，思维难度较大，较好的全面考查了
学生综合运用数列知识的能力，属于较难题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（―）必考题：共 60 分．
17.在 中，有 ．
（1）求 B；
（2）若 ，角 B 的角平分线 BD 交 AC 于 D， ，求边 AD 的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析】
（1）将式子 两边除以 2，再逆用两角和的正弦公式即可化简得到
，结合角 的范围，即可求出；
（2）根据三角形内角和定理可得， ，可知 为顶角为 等腰三角
【
7n ≤ ( ) 0g n >
8n ≥ ( ) 0g n < ( )
( ) ( )
1 13 2 12 15 2
g n n
g n n
+ −= >−
17
2n < 17
2n < 8n = ( ) ( )1g n g n+ <
17
2n ≥ 9n ≥ ( ) ( )1g n g n+ >
9n = ( )g n ( ) 39 512g = − 3
512m < −
3, 512
−∞ −
n
ABC 3sin cos 2B B+ =
45A = ° 3 3DC = −
60B = ° 3AD =
3sin cos 2B B+ =
( )sin 30 1B + ° = B
75BDC C∠ = ° = ∠ BDC 30形，再根据余弦定理，可求出 的长，在 中根据正弦定理即可求出边 AD 的
长．
【详解】（1）由 ，知 ，
得 ．
， ，
，即 ．
（2） ， ， ． 为角平分线， ，
从而 ， ．
设 ，在 中，根据余弦定理得 ，求
得 ．
在 中，根据正弦定理得 ，求得 ．
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，意
在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18.如图，在三棱锥 中， 平面 ABC，平面 平面 PBC， ，
．
（1）证明： 平面 PBC；
（2）求点 C 到平面 PBA 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
,BD AC BAD
3sin cos 2B B+ = 3 1 12 2sin cosB B+ =
( )sin 30 1B + ° =
0 180B° < < ° 30 30 210B∴ ° < + ° < °
30 90B∴ + ° = ° 60B = °
45A = ° 60B = ° 75C∴ = ° BD 30ABD∴∠ = °
75BDC C∠ = ° = ∠ BD BC∴ =
BD BC x= = BDC ( )2 2 23 3 2 cos30x x x x− = + − ⋅ ⋅ ⋅ °
6x =
BAD
6
sin30 sin 45
AD =° ° 3AD =
P ABC− PB ⊥ PAC ⊥ 2PB BC= =
1AC =
AC ⊥
2 5
5【分析】
（1）由 平面 ABC，可得 ，通过取 中点 ，由平面 平面 PBC，
可得 平面 PAC，从而 ，然后根据线面垂直的判定定理即可证得 平面
PBC；
（2）根据 平面 ABC 可得平面 平面 ABC，过点过点 C 作 ，交 AB 于
M，则 即为所求，在 内根据等面积法即可求出．
【详解】（1）证明： 平面 ABC， 平面 ABC， ．
取 PC 的中点 D，连接 BD， ， ．
又 平面 平面 PBC，平面 平面 ， 平面 PBC，
平面 PAC．又 平面 PAC， ．
， 平面 PBC．
（2）易知平面 平面 ABC，AB 为交线，在 中，过点 C 作 ，交 AB
于 M，则 平面 PBA．
又 ， ，
点 C 到平面 PBA 的距离为 ．
【点睛】本题主要考查线面垂直的的判定定理，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理，判
定定理的应用，以及点到平面的距离的求法，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，
属于基础题．
19.已知椭圆 的焦距为 4．且过点 ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 ， ， ，过 B 点且斜率为 的直线 l 交椭圆 E 于另一
点 M，交 x 轴于点 Q，直线 AM 与直线 相交于点 P．证明： （O 为坐标原
PB ⊥ AC PB⊥ PC D PAC ⊥
BD ⊥ AC BD⊥ AC ⊥
PB ⊥ PBA ⊥ CM AB⊥
CM ABC
PB ⊥ AC ⊂ PB AC∴ ⊥
PB BC= BD PC∴ ⊥
PAC ⊥ PAC PBC PC= BD ⊂
BD∴ ⊥ AC ⊂ BD AC∴ ⊥
PB BD B= AC∴ ⊥
PBA ⊥ Rt ABC CM AB⊥
CM ⊥
AC BC AB CM⋅ = ⋅ 2 2 5
55
CM∴ = =
∴ 2 5
5
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > 141, 2
−
( )0,A b ( )0,B b− ( ),C a b ( )0k k >
x a= / /PQ OC点）．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出 ，然后根据 求出 ，
即可得到椭圆 E 的方程（或直接根据点在椭圆上，以及 ，即可解出）；
（2）由直线 l 的方程 可得点 ，联立直线 l 与椭圆 的方程可计算出点
的坐标，再根据联立直线 与直线 的方程可得点 的坐标，然后根据斜率公式分别计
算出直线 的斜率，根据斜率相等，即可证得 ．
【详解】（1）由题可知， ， ，
椭圆的左，右焦点分别为 ， ．
由椭圆的定义知 ，
， ，
椭圆 E 的方程为 ．
（另解：由题可知 ，解得 ）．
（2）易得 ， ， ，
直线 与椭圆 联立，得 ，
，从而 ， ．
直线 AM 的斜率为 ，直线 AM 的方程为 ．
2 2
18 4
x y+ =
a 2 2 2 ,a b c= + 2b
2 2 4a b= +
2y kx= − 2 ,0Q k
E M
AM x a= P
,PQ OC / /PQ OC
2 4c = 2c =
∴ ( )2,0− ( )2,0
( ) ( )
2 2
2 214 142 1 2 1 2 4 22 2a
= − + + + − − + =
2 2a∴ = 2 2 2 4b a c= − =
∴ 2 2
18 4
x y+ =
2 2
2 2
1 7 12
4
a b
a b
+ =
− =
2
2
4
8
b
a
=
=
( )0,2A ( )0, 2B − ( )2 2,2C
: 2l y kx= − 2 22 8x y+ = ( )2 22 1 8 0k x kx+ − =
2
8
2 1M
kx k
∴ = +
2
2 2
8 4 2,2 1 2 1
k kM k k
−
+ +
2 ,0Q k
∴
2
2
2
4 2 2 12 1
8 2
2 1
k
k
k k
k
− −+ = −
+
1 22y xk
= − +令 ，得 ，
直线 PQ 的斜率 ．
直线 OC 的斜率 ，
，从而 ．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率
相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
20.2020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最
有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为
了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了 100 位成年人，记录了他们某天的锻炼时
间，其频率分布直方图如下：
（1）求 a 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中
点值代表）；
（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长：
序号 n 1 2 3 4 5 6 7
锻炼时长 m（单位：分钟） 10 15 12 20 30 25 35
（Ⅰ）根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程；
（Ⅱ）若 （ 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家
2 2x = 22 2, 2P k
− +
∴
( )
( )
2 2 2 2 12 2 2
2 22 2 2 2 2 12 2
PQ
kkkk
k k
k
− + −− += = = =
− −−
2 2
22 2OCk = =
PQ OCk k∴ = / /PQ OC
x
4m x− ≥ x第 8 天是否是“有效运动日”？
附；在线性回归方程 中， ， ．
【答案】（1） ，30.2；（2）（Ⅰ） ，（Ⅱ）估计小张“宅”家第 8 天是“有
效运动日”．
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为 1，即可求出 a 的值，再根据平均值
等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；
（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出 和 ，即可求出 m 关于 n 的线性回归方程；
（Ⅱ）根据线性回归方程，令 ，求出预测值 ，再验证是否满足 ，即可判
断．
【详解】（1） ，
．
（分钟）．
（2）（Ⅰ） ，
，
，
， ，
关于 n 的线性回归方程为 ．
（Ⅱ）当 时， ．
y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
0.03a = 113 34
28 7m n= +
ˆb ˆa
8n = m 4m x− ≥
( )0.005 0.012 0.035 0.015 0.003 10 1a+ + + + + × =
0.03a∴ =
5 0.005 10 15 0.012 10 25 0.03 10 35 0.035 10 45 0.015 10 55x = × × + × × + × × + × × + × × + ×
0.003 10 30.2× =
1 2 3 4 5 6 7 47n
+ + + + + += =
10 15 12 20 30 25 35 217m
+ + + + + += =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7
1
1 4 10 21 2 4 15 21 3 4 12 21 4 4i i
i
n n m m
=
− − = − × − + − × − + − × − + − ×∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 21 5 4 30 21 6 4 25 21 7 4 35 21 113− + − × − + − × − + − × − =
113
28b =∴ 113 3421 428 7a = − × =
m∴ 113 34
28 7m n= +
8n = 113 34 260828 7 7m = × + =，
估计小张“宅”家第 8 天是“有效运动日”．
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回
归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，
属于基础题．
21.已知函数 ．
（1）判断函数 在点 处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说
明理由．
（2）若 有最大值 ，证明： ．
【答案】（1）在 处的切线过定点，坐标为 ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求出函数 在点 处的切线方程，根据过定点的直线系方
程的判断方法，即可判断该切线是否过定点；
（2）先求出函数 的导数，判断其单调性，求出其最大值为 ，将需
证明的不等式 等价变形为 ，令 ，构造函数
，利用导数求出其最小值， ，即得证．
【详解】（1） ， ，切点坐标为 ，
在 处的切线方程为 ，
即 ，令 ，得 ， ．
在 处的切线过定点．其坐标为 ．
（2）由题知， 的定义域为 ．
．
260 30.2 47
− >
∴
( ) 2lnf x x ax= −
( )f x 1x =
( )f x ( )g a ( )g a a≥ −
1x = 1 1,2 2
−
( )f x 1x =
( )f x ( ) 1 1ln 22 2g a a= − −
( )g a a≥ − 1 1ln 2 02 2a a− − ≥ 2 0a t= >
( ) ( )ln 1 0p t t t t= − − > ( ) ( )min 1 0p t p= =
( ) 1 2f x axx
′ = − ( )1 1 2f a′ = − ( )1, a−
( )f x∴ 1x = ( )( )1 2 1y a a x+ = − −
( ) ( )1 1 2y x a x= − + − 1 2 0x− = 1
2x = 1
2y = -
( )f x∴ 1x = 1 1,2 2
−
( )f x ( )0, ∞+
( ) 21 1 22 axf x axx x
−′ = − =若 ，则 恒成立， 在 上单调递增， 无最大值．
若 ，令 ，得 （舍）或
当 ， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
即 ．
若证 ，可证 ，令 ， ，
则有 ，即证 ．
设 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
故 ． ，即 ．
【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，直线系过定点的
求法，以及利用导数求函数的最值和函数不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的数
学转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则
按所做的第一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 ，曲线 （ 为参数）；
在以 О 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ．l
与 ， 分别交于异于极点的 A，B 两点，且 ．
（1）写出曲线 的极坐标方程；
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = 1
2x a
= − 1
2x a
=
10, 2x a
∈
( ) 0f x′ > 1 ,2x a
∈ +∞
( ) 0f x′ <
( )f x 10, 2a
1 ,2a
+∞
( )
2
max
1 1 1 1 1ln ln 22 2 2 2 2f x f a aa a a
= = − = − −
( ) 1 1ln 22 2g a a= − −
( )g a a≥ − 1 1ln 2 02 2a a− − ≥ 2a t=
2
ta =
ln1 1 02 2 2tt − − ≥ ln 1 0t t− − ≥
( ) ( )ln 1 0p t t t t= − − > ( ) 11p t t
′ = −
( )0,1t ∈ ( ) 0p t′ < ( )p t ( )1,t ∈ +∞ ( ) 0p t′ > ( )p t
( ) ( )min 1 0p t p= = ( ) 0p t∴ ≥ ( )g a a≥ −
( )2
1 : 0C y ax a= < 2
2cos: 2 2sin
xC y
θ
θ
=
= +
θ
( )3
4 R
πθ ρ= ∈
1C 2C 2 OB OA=
2C（2）求实数 a 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，消去参数，即可求得曲线 的普通方程，再根据直角坐标和
极坐标互化公式即可求得曲线 的极坐标方程；
（2）将曲线 化成极坐标方程，然后将 分别代入，曲线 和 的极坐标方程即可求
得 ，由题意列出方程，即可解出实数 a 的值．
【详解】（1）把曲线 化成普通方程为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ．
（2）把曲线 化成极坐标方程为 ，
把 分别代入 和 得， ，
，
， ，解得 ．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系
下 的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若函数 的图象与直线 围成的图形的面积为 6，求实数 a 的值．
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
4sinρ θ= 4a = −
2 2sin cos 1θ θ+ = 2C
2C
1C 3
4
πθ = 1C 2C
,OA OB
2C ( )22 2 4x y+ − = 2 2 4 0x y y+ − =
2C 4sinρ θ=
1C 2sin cosaρ θ θ=
3
4
πθ = 1C 2C 2
3cos 4 2
3sin 4
a
OA a
π
π
= = −
34sin 2 24OB
π= =
2 OB OA= 4 2 2a∴ = − 4a = −
ρ
( ) ( )2 0f x x a x a= − + >
( ) 2f x a≥
( )f x 2y a=
/ 3
ax x ≤ −
}x a≥ 3a =【分析】
（1）先根据绝对值的定义，确定分段点 ， ，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别
解不等式即可求出；
（2）根据题意作出函数函数 的图象与直线 ，由图可知，围成的图形为三角形，
再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数 a 的值．
【详解】（1） ，
当 时，由 ，得 ，解得 ；
当 时，由 ，得 ，无解；
当 时，由 ，得 ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）由（1）知，方程 的解为 或 ．
作出函数 的图象，如图所示：
由图象可知，函数 的图象与直线 围成的图形为三角形，面积为
，故 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．
0x = x a=
( )f x 2y a=
( )
3 , 0
2 ,0
3 ,
x a x
f x x a x x a x a
x a x a
− + ≤
= − + = + < 3a =
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